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数学必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用教案
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这是一份数学必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用教案，共9页。教案主要包含了知识回顾，新知探究，归纳小结，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。
教学目标
利用一元二次不等式结合二次函数解决实际应用问题．
教学重难点
教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法．
教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式．
课前准备
PPT课件
教学过程
一、知识回顾
问题1：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格.
师生活动：学生默写，完成之后教师展示，学生互相检查纠错.
预设的答案：
教师讲解：
（1）函数的角度：一元二次不等式表示二次函数的函数值大于0，图象在轴的上方；一元二次不等式的解集即二次函数图象在轴上方部分的自变量的取值范围.（2）方程的角度：一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根.
设计意图：复习旧知识，并通过默写的形式让师生都了解是否掌握了，为本节课的学习扫清知识障碍.
问题2：求解一元二次不等式的步骤是怎样的？
师生活动：学生写出步骤，教师用如下的程序框图呈现.
预设的答案：
设计意图：本节课重点依然是一元二次不等式的解法，学生需要借助三个“二次”的联系，获得一元二次不等式的一般性解法，从整体上把握所学内容，让学生明确不等式解法，有助于学生良好认知结构的建立和完善，并为后面知识的学习提供帮助.
二、新知探究
例1：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满，该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间.，每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？
问题3：这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？
师生活动：学生分析题目，得出一元二次不等式，并求解，完成之后展示交流，师生点评修改，教师给出解答示范.
预设的答案：
（1）设每间客房日租金提高个10元；
（2）列出关于未知数的不等式；
（3）解不等式，确定的范围；
（4）考虑到所以x只能取整数，即当每间客房日租金提高20元，30元，，50元时，每天客房的租金总收入不低于1800元.
解答：设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到(80 + 10x)元，则客房出租数减少x间，此时客房的租金总收入为元.
又因为每天客房的租金总收入不低于1 800元，所以
化简，得
解得.
所以.
由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即，所以.因此， 该农家院每间客房日租金提高的空间是20元，30元，40元，50元.
设计意图：对实际问题深入分析，确定不等关系，解不等式，感受到由“形”到“数”的转换过程．通过问题体会二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系，体会用一元二次不等式解决实际问题的意义，掌握利用一元二次不等式解决实际问题的基本步骤.
例2 ：为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成 本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.袁阳按照相 关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂 价为每件12元，每月的销售量单位：件)与销售单价(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：.
设袁阳每月获得的利润为(单位：元)，写出每月获得的利润与销售单价的函数关系.物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果袁阳想要每月获得的 利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
问题4：该问题中的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？
师生活动：教师给学生充足的时间独立思考并作答，再做课堂展示，教师巡视，对有困难的同学进行个别指导.
预设的答案：
（1）列出每月获得的利润与销售单价的关系式；
（2）列出关于未知数的不等式；
（3）求解所列出的不等式；
（4）考虑到这种节能灯的销售单价不得高于25元，从而确定答案.
解： (1)依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件， 所以每月获得的利润与销售单价(的函数关系为
(2)由每月获得的利润不小于3 000元，得
.
化简，得.
解得.
又因为这种节能灯的销售单价不得高于25 ．
.
设政府每个月为他承担的总差价为元，则
.
由 .得 .
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为.
设计意图：提升学生独立解决问题的能力，体现数学的应用价值.
初步应用
公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?
分析 由题意可知，本题可借助抛物线这一数学模型求解.关键是要根据题设条件求出所需的具体抛物线方程，为此，以O为原点，以OA所在直线为y轴，水面中垂直OA的直线为x轴建立直角坐标系，如上右图所示，则水流所呈现的抛物线方程为
由题意，点A的坐标为，把代入方程解得，于是抛物线方程为
令，得，解得，(不合题意，舍去)
所以水池半径至少要2.5米，才能使水流不落到池外.
师生活动：学生自主完成，小组讨论展示.
预设的答案：
设计意图：使学生进一步掌握一元二次不等式解决实际问题的基本步骤，并再次体会相关变量所具有的“实际含义”，避免今后做题过程中在此处出错.
需要注意的是问题中的变量所具备的“实际意义”，须结合实际将一元二次不等式的解集转化成最终问题答案.
设计意图：本节课由学生所熟悉的现实生活问题或具体情景，抽象出数学问题，并利用一元二不等式表示出数量关系，求其结果并讨论结果的意义，经历“实际问题—数学问题—不等式—求出结果并讨论实际意义”的模式，经历数学建模的完整过程，通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确如何利用一元二次不等式解决生活中的实际问题，并牢记此类问题的易错点：忽略变量的实际意义，体会解决实际问题的方法，形成解决实际问题的一般思路.
【课堂练习一】
1．某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（ ）
A．B．C．D．
师生活动：学生独立完成，学生代表做出解答.
预设的答案：A
设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本．
因为销售的总收入不低于万元．
列不等式为：．
即，即，故选：A.
【课堂练习二】
2．商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（ ）
A．11元B．16元
C．12元到16元之间D．13元到15元之间
预设的答案：C
设销售价定为每件元，利润为元．
则．
由题意可得：．
即， 所以．
解得：．
所以每件销售价应定为12元到16元之间，故选：C
设计意图：巩固一元二次不等式的实际应用.
四、归纳小结、布置作业
问题5：利用一元二次不等式解决生活中实际问题要经历哪些步骤？需要注意什么？
师生活动：学生总结，教师帮助梳理.预设的答案：
利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
1.选取合适的字母表示题中的未知数；
2.由题中给出的不等关系冽出关于未知数的不等式(组)；
3.求解所列出的不等式(组)；
4.结合题目的实际意义确定答案.
作业布置： 教材第39页，练习1，2，课本第40页A组第5题，B组第3题.
五、目标检测设计
1．已知关于的不等式．若时，不等式对都成立，求实数的取值范围．
设计意图：考查一元二次函数图象在一元二次不等式中的应用能力.
2．设二次函数，其中，，.
（1）若，，且关于的不等式的解集为，求的取值范围；
（2）若，，，方程有两个大于1的根，求实数的取值范围.
设计意图：考查一元二次不等式恒成立问题.
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
4．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%）．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低个百分点，收购量能增加个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．
5．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
设计意图：3，4，5均考查学生利用一元二次不等式解决实际问题的能力．
参考答案：
1．.令．
∵，且不等式对都成立．
则，即，解得．
又，∴实数k的取值范围是.
2．（1）；（2）.
（1）若，，则．
因为．
所以的解集为等价于的解集为．
所以，解得.
（2）若，，，则有两个大于1的根．
所以，解得.
3．设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为
，即
解得，
4．解：设税率调低后“税收总收入”为y元．根据题意，得
，
根据题意，得，即，解得
根据x的实际意义，可知x的范围为．
5．解：设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为 m，宽为 m．
根据题意可得．
整理得，即．
所以或，而不符合题意，舍去．
故所求花卉带宽度范围为是大于0米不超过100米．
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
的图象
的根
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
的解集
的解集
教学目标
利用一元二次不等式结合二次函数解决实际应用问题．
教学重难点
教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法．
教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式．
课前准备
PPT课件
教学过程
一、知识回顾
问题1：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格.
师生活动：学生默写，完成之后教师展示，学生互相检查纠错.
预设的答案：
教师讲解：
（1）函数的角度：一元二次不等式表示二次函数的函数值大于0，图象在轴的上方；一元二次不等式的解集即二次函数图象在轴上方部分的自变量的取值范围.（2）方程的角度：一元二次不等式的解集的端点值是一元二次方程的根.
设计意图：复习旧知识，并通过默写的形式让师生都了解是否掌握了，为本节课的学习扫清知识障碍.
问题2：求解一元二次不等式的步骤是怎样的？
师生活动：学生写出步骤，教师用如下的程序框图呈现.
预设的答案：
设计意图：本节课重点依然是一元二次不等式的解法，学生需要借助三个“二次”的联系，获得一元二次不等式的一般性解法，从整体上把握所学内容，让学生明确不等式解法，有助于学生良好认知结构的建立和完善，并为后面知识的学习提供帮助.
二、新知探究
例1：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满，该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间.，每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？
问题3：这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？
师生活动：学生分析题目，得出一元二次不等式，并求解，完成之后展示交流，师生点评修改，教师给出解答示范.
预设的答案：
（1）设每间客房日租金提高个10元；
（2）列出关于未知数的不等式；
（3）解不等式，确定的范围；
（4）考虑到所以x只能取整数，即当每间客房日租金提高20元，30元，，50元时，每天客房的租金总收入不低于1800元.
解答：设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到(80 + 10x)元，则客房出租数减少x间，此时客房的租金总收入为元.
又因为每天客房的租金总收入不低于1 800元，所以
化简，得
解得.
所以.
由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即，所以.因此， 该农家院每间客房日租金提高的空间是20元，30元，40元，50元.
设计意图：对实际问题深入分析，确定不等关系，解不等式，感受到由“形”到“数”的转换过程．通过问题体会二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系，体会用一元二次不等式解决实际问题的意义，掌握利用一元二次不等式解决实际问题的基本步骤.
例2 ：为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成 本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.袁阳按照相 关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂 价为每件12元，每月的销售量单位：件)与销售单价(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：.
设袁阳每月获得的利润为(单位：元)，写出每月获得的利润与销售单价的函数关系.物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果袁阳想要每月获得的 利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
问题4：该问题中的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？
师生活动：教师给学生充足的时间独立思考并作答，再做课堂展示，教师巡视，对有困难的同学进行个别指导.
预设的答案：
（1）列出每月获得的利润与销售单价的关系式；
（2）列出关于未知数的不等式；
（3）求解所列出的不等式；
（4）考虑到这种节能灯的销售单价不得高于25元，从而确定答案.
解： (1)依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件， 所以每月获得的利润与销售单价(的函数关系为
(2)由每月获得的利润不小于3 000元，得
.
化简，得.
解得.
又因为这种节能灯的销售单价不得高于25 ．
.
设政府每个月为他承担的总差价为元，则
.
由 .得 .
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为.
设计意图：提升学生独立解决问题的能力，体现数学的应用价值.
初步应用
公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?
分析 由题意可知，本题可借助抛物线这一数学模型求解.关键是要根据题设条件求出所需的具体抛物线方程，为此，以O为原点，以OA所在直线为y轴，水面中垂直OA的直线为x轴建立直角坐标系，如上右图所示，则水流所呈现的抛物线方程为
由题意，点A的坐标为，把代入方程解得，于是抛物线方程为
令，得，解得，(不合题意，舍去)
所以水池半径至少要2.5米，才能使水流不落到池外.
师生活动：学生自主完成，小组讨论展示.
预设的答案：
设计意图：使学生进一步掌握一元二次不等式解决实际问题的基本步骤，并再次体会相关变量所具有的“实际含义”，避免今后做题过程中在此处出错.
需要注意的是问题中的变量所具备的“实际意义”，须结合实际将一元二次不等式的解集转化成最终问题答案.
设计意图：本节课由学生所熟悉的现实生活问题或具体情景，抽象出数学问题，并利用一元二不等式表示出数量关系，求其结果并讨论结果的意义，经历“实际问题—数学问题—不等式—求出结果并讨论实际意义”的模式，经历数学建模的完整过程，通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确如何利用一元二次不等式解决生活中的实际问题，并牢记此类问题的易错点：忽略变量的实际意义，体会解决实际问题的方法，形成解决实际问题的一般思路.
【课堂练习一】
1．某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（ ）
A．B．C．D．
师生活动：学生独立完成，学生代表做出解答.
预设的答案：A
设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本．
因为销售的总收入不低于万元．
列不等式为：．
即，即，故选：A.
【课堂练习二】
2．商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（ ）
A．11元B．16元
C．12元到16元之间D．13元到15元之间
预设的答案：C
设销售价定为每件元，利润为元．
则．
由题意可得：．
即， 所以．
解得：．
所以每件销售价应定为12元到16元之间，故选：C
设计意图：巩固一元二次不等式的实际应用.
四、归纳小结、布置作业
问题5：利用一元二次不等式解决生活中实际问题要经历哪些步骤？需要注意什么？
师生活动：学生总结，教师帮助梳理.预设的答案：
利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
1.选取合适的字母表示题中的未知数；
2.由题中给出的不等关系冽出关于未知数的不等式(组)；
3.求解所列出的不等式(组)；
4.结合题目的实际意义确定答案.
作业布置： 教材第39页，练习1，2，课本第40页A组第5题，B组第3题.
五、目标检测设计
1．已知关于的不等式．若时，不等式对都成立，求实数的取值范围．
设计意图：考查一元二次函数图象在一元二次不等式中的应用能力.
2．设二次函数，其中，，.
（1）若，，且关于的不等式的解集为，求的取值范围；
（2）若，，，方程有两个大于1的根，求实数的取值范围.
设计意图：考查一元二次不等式恒成立问题.
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
4．国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%）．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低个百分点，收购量能增加个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．
5．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
设计意图：3，4，5均考查学生利用一元二次不等式解决实际问题的能力．
参考答案：
1．.令．
∵，且不等式对都成立．
则，即，解得．
又，∴实数k的取值范围是.
2．（1）；（2）.
（1）若，，则．
因为．
所以的解集为等价于的解集为．
所以，解得.
（2）若，，，则有两个大于1的根．
所以，解得.
3．设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为
，即
解得，
4．解：设税率调低后“税收总收入”为y元．根据题意，得
，
根据题意，得，即，解得
根据x的实际意义，可知x的范围为．
5．解：设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为 m，宽为 m．
根据题意可得．
整理得，即．
所以或，而不符合题意，舍去．
故所求花卉带宽度范围为是大于0米不超过100米．
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
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的根
有两个不相等的实数根
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