《变量与函数》教案

这是一份《变量与函数》教案，共6页。

变量与函数教学目标1.概括并理解函数概念中的单值对应关系．2.用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题的自变量取值范围和函数值．教学重难点重点：概括并理解函数概念中的单值对应关系，用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题的自变量取值范围和函数值．难点：探究在一个运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念．课前准备电脑、多媒体、课件教学过程（一）变量与常量的概念1．出示上节课题目，导入新课.（1）电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售出x张票，票房收入为y元.在以上的变化过程中，有几个量？变量是_______,常量是________ 有三个量，分别是票价、张数和票房收入， 张数和票房收入是变量，票价是常量. （2）你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢扩大，在这一过程中，当圆的半径r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？在以上的变化过程中，有几个量？变量是_______,常量是________ 有三个量，分别是半径、周长和π 半径和周长是变量，π是常量 （3）用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？在以上的变化过程中，有哪几个量？变量是_______,常量是________ 矩形的周长、边长和邻边长， 边长和邻边长是变量，矩形的周长是常量． （二）函数的概念1．继续探究上面出示的问题（1）~（3）中是否各有两个变量？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？首先，师生一起分析变化过程（1）中变量之间的关系．情境问题中有两个变量t、s．s是怎样随t的具体变化而变化呢？用数值进行说明．当t的值取定后，s的值有一个并且只有一个．也就是说，当t取定一个值时，s有唯一确定的值与其对应．然后，教师引导学生类比情景问题中变量之间的关系的分析，对问题（1）（2）（3）进行分析，并得出结论：变化过程（1）有两个变量x、y，当x取定一个值时，y有唯一确定的值与其对应．变化过程（3）有两个变量r、S，当r取定一个值时，S有唯一确定的值与其对应．变化过程（4）有两个变量x、y，当x取定一个值时，y有唯一确定的值与其对应．2．归纳小结由以上探究我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应．3．再次讨论其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：（1）下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？（2）在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y．对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每个确定值，y都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．4．形成概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．据此可以认为：上面问题（1）中时间t是自变量，路程s是t的函数．当t＝1时的函数值s＝60；当t＝2时的函数值s＝120；当t＝2.5时的函数值s＝150；…．同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏部位的生物电流y是x的函数；在人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数．当x＝2 010时，函数值y＝13.71亿．从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系．5．巩固概念下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？蚂蚁离起点的水平距离t是离地高度h的函数吗？为什么？学生独立思考后，小组讨论，师生共同得出答案：蚂蚁离地高度h不是离起点的水平距离t的函数，因为在蚂蚁爬行过程中虽有两个变量t、h，但当t取定一个值时，h有多个值与其对应．蚂蚁离起点的水平距离t是离地高度h的函数，因为在蚂蚁爬行过程中有两个变量t、h，当h取定一个值时，t有唯一确定的值与其对应．设计意图：通过具体问题，探究在一个运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念．（三）例题解析例1一水管以均匀的速度向容积为100立方米的空水池中注水，注水的时间t与注入的水量Q如下表： 请从表中找出t与Q之间的函数关系式，且求当t＝5分15秒时，水池中的水量Q的值．解：∵水管是匀速流出水于池中，速度是(4÷2)＝2，即每分钟2立方米，∴函数解析式为Q＝2t，自变量t为非负数．又∵水池容积为100立方米，时间不能超过100÷2＝50(分钟)，∴0≤t≤50．当t＝5分15秒时，Q＝2×＝，即当t为5分15秒时，水量为立方米．例2　汽车油箱中有汽油50 L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km．（1）写出表示y与x的函数关系的式子；（2）指出自变量x的取值范围；解：（1）行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．行驶路程为x时耗油为：0.1x．油箱中的油量为：50－0.1x．所以函数关系式为：y＝50－0.1x．（2）仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶路程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油50 L，即0.1x≤50，x≤500．因此自变量x的取值范围是：0≤x≤500．设计意图：通过例题的讲解，让学生学会用解析法表示函数关系，使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．（四）课堂练习1．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式．（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变．（2）秀水村的耕地面积是，这个村人均占有耕地面积y（单位：m2）随这个村人数n的变化而变化．2.甲乙两地相距520km ，一辆汽车一80km/h的速度从甲地开往乙地，行驶t(h)后停车加油.（1）写出汽车距乙地的路程s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系式；（2）求出自变量t的取值范围.答案：1．（1）正方形的边长x是自变量，正方形的面积S是x的函数．函数关系式：．（2）这个村人口数n是自变量，人均占有耕地面积y是n的函数．函数关系式：2.(1)S=520-80t (2)0≤t≤6.5设计意图：通过练习，加强对自变量、函数等概念的理解，掌握用解析式法表示变量间的单值对应以及函数自变量取值范围的确定．（五）课堂小结（1）在一个变化过程中，什么是变量？什么是常量？举一个运动变化的例子并指出其变量和常量．（2）在一个变化过程中，对于变量x和y而言，满足什么对应关系时，y才是x的函数？两个变量满足“一对多”的关系是函数吗？并举例说明对函数概念中“对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”的认识．（3）函数的表示方法有哪些？自变量的取值范围如何确定？受哪些因素的限制？如何确定函数值？设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，加深对函数等概念的理解．（六）板书设计1.变量、常量、函数的概念2.自变量的取值范围3.函数解析式年份人口数/亿198410.34198911.06199411.76199912.52201013.71t(分钟)2468……Q（立方米）481216……