高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 样本的数字特征教案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 样本的数字特征教案，共6页。教案主要包含了教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。


教学目标
1．正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
2．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
4．形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
教学重难点
【教学重点】
1．标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，
s＝1nx1−x2+x2−x2+…+xn−x2
2．方差
标准差的平方s2叫做方差．
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2](xn是样本数据，n是样本容量，eq \x\t(x)是样本平均数)
【教学难点】
会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本数字特征。
教学过程
（一）思考交流
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均有时也会使我们作出对总体的片面判断。因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽的。因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态。
（二）新课导入
问题 平均数向我们提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使我们作出对总体的片面判断，因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽视的．因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态。如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价？
思考1：甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？
答：经计算得：eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得eq \x\t(x)乙＝7
思考2：观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？
答：直观上看，还是有差异的．如：甲成绩比较分散，乙成绩相对集中。
思考3：对于甲乙的射击成绩除了画出频率分布条形图比较外，还有没有其它方法来说明两组数据的分散程度？
答：还经常用甲乙的极差与平均数一起比较说明数据的分散程度，甲的环数极差＝10－4＝6，乙的环数极差＝9－5＝4，它们在一定程度上表明了样本数据的分散程度，与平均数一起，可以给我们许多关于样本数据的信息．显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们可以得到一种“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略。
思考4：如何用数字去刻画这种分散程度呢？
答：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
（三）新课讲授
标准差：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本平均数的一种平均距离，一般用s表示．
s＝1nx1−x2+x2−x2+…+xn−x2
思考5：所谓“平均距离”，其含义如何理解？
答：假设样本数据是x1，x2，…，xn，eq \x\t(x)表示这组数据的平均数．xi到eq \x\t(x)的距离是|xi－eq \x\t(x)|(i＝1,2，…，n)．于是，样本数据是x1，x2，…，xn到eq \x\t(x)的“平均距离”是
S＝eq \f(|x1－\x\t(x)|＋|x2－\x\t(x)|＋…＋|xn－\x\t(x)|,n).由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差：
s＝1nx1−x2+x2−x2+…+xn−x2
思考6：标准差的取值范围如何？若s＝0表示怎样的意义？
答：从标准差的定义可以看出，标准差s≥0，当s＝0时，意味着所有的样本数据等于样本平均数。
探究：方差
思考1：方差的概念是怎样定义的？
答：人们有时用标准差的平方s2—方差来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具，方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]
思考2：对于一个容量为2的样本：x1，x2(x1＜x2)，它们的平均数和标准差如果分别用eq \x\t(x)和a表示，那么eq \x\t(x)和a分别等于什么？
答： eq \x\t(x)＝eq \f(1,2)(x1＋x2)，a＝eq \f(1,2)(x2－x1)
思考3：在数轴上，eq \x\t(x)和a有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？
答：eq \x\t(x)和a的几何意义如下图所示．说明了标准差越大离散程度越大，数据较分散；标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围。
思考4：现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道的．如何求得总体的平均数和标准差呢？
答：通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差。这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接受的。
（四）例题探究
例1 求出问题中的甲乙两运动员射击成绩的标准差，并说明他们的成绩谁比较稳定？
解 eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7，同理可得eq \x\t(x)乙＝7，根据标准差的公式，
s甲＝1107−72+8−72+…+4−72＝2；
同理可得s乙≈1.095，所以s甲>s乙
因此说明甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定。
反思与感悟：标准差能够衡量样本数据的稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定。标准差越小，数据的离散程度就越小，也就越稳定。
例2 画出下列四组样本数据的条形图，说明它们的异同点。
(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8
解 四组样本数据的条形图如下：
四组数据的平均数都是5.0，标准差分别是：0.00，0.82，1.49，2.83
它们有相同的平均数，但它们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的。
反思与感悟：比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑。
跟踪训练2 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下：
甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42；
乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；
(1)哪种玉米的苗长得高？
(2)哪种玉米的苗长得齐？
解 (1)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31，eq \x\t(x)甲＜eq \x\t(x)乙．
即乙种玉米的苗长得高。
(2)由方差公式得：seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)[(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－30)2]＝104.2，同理seq \\al(2,乙)＝128.8，
∴seq \\al(2,甲)＜seq \\al(2,乙)
即甲种玉米的苗长得齐。
答：乙种玉米苗长得高，甲种玉米苗长得齐。
例3 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件。为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：
甲
25．46 25.32 25.45 25.39 25.36
25．34 25.42 25.45 25.38 25.42
25．39 25.43 25.39 25.40 25.44
25．40 25.42 25.35 25.41 25.39
乙
25．40 25.43 25.44 25.48 25.48
25．47 25.49 25.49 25.36 25.34
25．33 25.43 25.43 25.32 25.47
25．31 25.32 25.32 25.32 25.48
从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位)
解 用计算器计算可得
eq \x\t(x)甲≈25.401，eq \x\t(x)乙≈25.406；s甲≈0.037，s乙≈0.068
从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于s甲＜s乙，因此甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多．于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些。
反思与感悟 从上述例子我们可以看到，尽管总体是同一个，但由于样本不同，相应的样本频率分布与平均数、标准差等都会发生改变，这就会影响到我们对总体情况的估计．如果样本的代表性差，那么对总体所作出的估计就会产生偏差；样本没有代表性时，对总体作出错误估计的可能性就非常大。
（五）课堂检测
1．下列说法正确的是( )
A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
答案 B
解析 A中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种关系；C中求和后还需取平均数；D中方差越大，射击越不平稳，水平越低．
2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是eq \x\t(x)＝2，方差是eq \f(1,3)，那么另一组数据3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均数和方差分别为( )
A．2，eq \f(1,3) B．2,1 C．4，eq \f(1,3) D．4,3
答案：D
解析：因为eq \x\t(x)＝2，s2＝eq \f(1,3)；所以eq \x\t(X)＝3eq \x\t(x)－2＝4，S2＝9s2＝3，故选D.
3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
则：(1)平均命中环数为________
(2)命中环数的标准差为________
答案：(1)7 (2)2
解析：(1)eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝eq \f(70,10)＝7.
(2)s2＝eq \f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，
∴命中环数标准差为2
（六）课堂总结
1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度。方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差。
2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性。
3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案。