北师大版 (2019)必修 第一册第四章 对数运算和对数函数1 对数的概念教案及反思

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教学目标
1．经历对数概念的形成过程，理解对数的概念，提升数学抽象核心素养．
2．理解指数、对数的关系，掌握指数、对数的互化，提升数学运算核心素养．
3．了解对数产生的历史及背景，体会对数概念提出的必要性，提升数学人文素养．
教学重难点

教学重点：对数的概念．
教学难点：指数与对数的关系．
课前准备

PPT课件．
教学过程
（一）整体感知，明确任务
引导语：在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y=1.11x中求出经过x年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
师生活动：学生讨论交流后，给出初步想法．
预设的答案：这个问题实际上就是从2=1.11x，3=1.11x，4=1.11x，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是解一个关于x的一元方程，本节课要学的正是怎么表达这个方程的解，即对数．
设计意图：通过回顾指数学习中的问题引发学生思考，让学生明白指数与指数幂的值及底数的值的紧密关系，明确本节课研究的重点．
（二）新知探究
1．对数概念的引入
问题1：为了从2=1.11x，3=1.11x，4=1.11x，…中分别求出x，首先要确定的是，这里满足要求的x存在吗？如果存在，是唯一的吗？为什么？结合已掌握的知识，谈谈你的看法．
师生活动：学生展开讨论，个别提问回答，教师予以补充完善．
预设的答案：根据前面学过的指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)的性质可知，无论底数a如何取值，其值域都是(0，+∞)，所以对于这里1.11x的取值2，3，4，…，都存在相应的x满足要求．并且，根据指数函数的单调性，满足要求的x都是唯一的．
设计意图：数学的运算都应是有意义的，运算结果都应是确定的．讨论这里的x的存在性和唯一性，为对数运算引入的合理性作铺垫．
问题2：回顾减法、除法、开方的概念是如何引入的？类似的，我们有什么办法表示2=1.11x，3=1.11x，4=1.11x，…中的x吗？
师生活动：学生思考后，个别提问回答，教师归纳讲解．
预设的答案：在加法运算a+x=y中为了求解x，定义了减法y-a=x，因此加法和减法互为逆运算；在乘法运算a×x=y中为了求解x，定义了除法y÷a=x，因此乘法和除法互为逆运算；在乘方运算xa=y中为了求解x，定义了开方ay=x，因此乘方和开方互为逆运算．现在问题的本质是，我们想从ax=y中求解x，因此也需要定义一种新的运算．
教师讲解：一般地，如果ax=N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数（lgarithm），记作x=lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
例如，由于2=1.11x，所以x就是以1.11为底2的对数，记作x=lg1.112；再如，由于42=16，所以以4为底16的对数是2，记作lg416=2．类似地，3=1.11x，4=1.11x，…中的x可以分别记作x=lg1.113，x=lg1.114，…．
设计意图：让学生认识到引入与指数幂运算有关的另外一种运算的必要性．在引入的必要性明确后，给出对数的概念．学生初步理解对数的概念，并会利用对数的定义进行表示．
问题3：18世纪，瑞士数学家欧拉首先使用y=ax来定义x=lgay．他指出“对数源出于指数”．结合对数的定义，你是如何理解这句话的？由此可以得到对数的哪些性质？
师生活动：学生分组讨论交流．
设计意图：通过数学家的名言，激发学生兴趣，引起学生思考，探索发现对数的本质．
追问1：根据对数的定义，可以得到对数与指数间怎样的关系？
师生活动：个别提问回答，教师予以补充完善．
预设的答案：对数是通过指数幂的形式定义出来的，由此可以看出，对数运算是由指数幂运算衍生出来的．当a＞0，且a≠1时，．两者在形式上有所不同，其中字母x，a，N都各自有确切的含义，且名称也有差别，如下表（表1）．因此，指数与对数互为逆运算．
表1
设计意图：使学生进一步了解对数与指数的关系，明确对数表达式的意义．
追问2：明确了对数与指数的关系后，结合当a＞0，且a≠1时，指数式ax=N中的N取值范围为(0，+∞)，以及a0=1，a1=a，你能得到对数的什么性质？
师生活动：学生独立完成后展示交流．
预设的答案：（1）当a＞0，且a≠1时，，根据指数式ax=N中的N取值范围为(0，+∞)，可知负数和0没有对数，即对数式x=lgaN中的N只能是正实数．
（2）当a＞0，且a≠1时，．利用这个关系：由a0=1，可得lga1=0；由a1=a，可得lgaa=1．
设计意图：由于对数是指数幂中指数的等价表示形式，所以从指数的角度研究对数．培养学生用简洁直观的形式发现事物之间的联系，巩固对新、旧概念的认识，体会转化思想在数学中的作用．
2．自然对数的底数e
问题4：阅读教科书122页“对数的概念”，说说什么是常用对数和自然对数？它们如何表示？
师生活动：学生结合阅读内容，回答问题．
预设的答案：以10为底数的对数称为常用对数（cmmn lgarithm），并把lg10N记为lg N．以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数（natural lgarithm），并把lgeN记为ln N．
设计意图：常用对数和自然对数，是数学中常见的两类对数．在此引入常用对数和自然对数，为下节课中换底公式的重要性作铺垫．
追问：事实上，e和π不仅是数学史上，甚至是人类科学史上最伟大的两个数．e不仅是无理数，还是超越数（不是任何有理系数多项式方程的根）．在科技、经济以及社会生活中，经常使用以e为底的对数．在概率统计、微积分等众多领域，也会经常见到e．请通过查询互联网、相关书籍等，进一步了解无理数e的结论或性质，及其应用．
师生活动：学生课后自行完成．
设计意图：以10为底的常用对数学生不难理解，因为科学计数法的底数是10，以10为底，既符合数学习惯，又符合日常习惯．但以e为底的自然对数是如何产生的，在高中阶段很难向学生说清楚．让学生利用网络平台查阅相关内容，可以激发学生学习兴趣．
3．初步应用，深化理解
例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）54=625； （2）； （3）；
（4）； （5）lg0.01=-2； （6）ln10=2.303．
追问：转化的依据是什么？
师生活动：学生独立完成后展示交流．
预设的答案：转化的依据就是对数的定义．
解：（1）lg5625=4； （2）； （3）；
（4）； （5）10-2=0.01； （6）e2.303=10．
设计意图：让学生了解两类表达式的意义，熟悉对数的表达方式．
例2 求下列各式中x的值：
（1）； （2）lgx8=6；
（3）lg100=x； （4）-lne2=x．
师生活动：学生独立完成后展示交流．
预设的答案：
解：（1）因为，所以．
（2）因为lgx8=6，所以x6=8．又a＞0，所以．
（3）因为lg 100=x，所以10x=100=102，于是x=2．
（4）因为-ln e2=x，所以ln e2=-x，e-x=e2，x=-2．
设计意图：让学生进一步认识对数运算与指数幂运算之间的关系．
（三）归纳小结，布置作业
问题5：回顾本节课，说说对数的概念是如何提出的？这对我们发现和提出问题有什么启示？
师生活动：学生讨论交流，教师予以完善．
预设的答案：为了从形如ax=y的指数式中求解x，我们引入了对数运算．事实上，对数式是从不同的角度去看待指数式．这对我们的启示是，对于我们熟知的结论，如果换个角度去看待，可能就会有全新的发现，获得全新的理解．
设计意图：帮助学生进一步理解对数和指数的关系，培养学生善于思考的学习习惯．
作业布置：教科书习题4.3第1，2，6，8题．
（四）目标检测设计
1．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（1）23=8； （2）； （3）；
（4）lg39=2； （5）lg n=2.3； （6）．
设计意图：考查两种表达式互化的能力．
2．求下列各式的值：
（1）lg525； （2）lg0.41； （3）； （4）lg0.001．
设计意图：考查利用指数计算对数的能力．
3．求下列各式中x的值：
（1）； （2）lgx49=4； （3）lg0.000 01=x； （4）．
设计意图：考察学生对指数运算与对数运算关系的掌握．
参考答案：
1．（1）lg28=3． （2）． （3）．
（4）32=9． （5）102.3=n． （6）．
2．（1）2． （2）0． （3）-1． （4）-3．
3．（1）27． （2）． （3）-5． （4）．
表达式
字母名称
x
a
N
指数式
ax=N
指数
底数
幂
对数式
x=lgaN
对数
底数
真数