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函数的概念及其表示第二课时教案
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这是一份函数的概念及其表示第二课时教案，共7页。
《函数的概念及其表示（第二课时）》教学设计教学目标1．能求简单函数的定义域，会求函数值，提升学生的数学运算素养．2．在理解函数概念的基础上，理解相同函数的含义，掌握相同函数的判定步骤，提升学生的数学抽象素养．3．了解区间的含义，能进行区间、不等式与数轴表示的相互转化，提升学生的直观想象素养．教学重难点教学重点：在理解函数概念的基础上，理解相同函数的含义，掌握相同函数的判定步骤．教学难点：体会函数记号的含义．课前准备PPT课件．教学过程一、复习引入问题1：在上一小节里，我们重新学习了函数的概念，请你默写这个概念．师生活动：学生可能并不能逐字逐句默写，但是只要抓住它的三个要素就予以肯定．预设的答案：对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．设计意图：通过默写为本节课的学习奠定基础．引语：函数是本章乃至整个高中数学的核心内容，概念就是它的基石，稳定的基石是搭建知识大厦的前提，我们这节课继续深入研究函数的概念．（板书：函数的概念）二、新知探究1．研读课本，理解区间的概念问题2：研究函数时我们经常会用到区间的概念，请同学们阅读课本第64页的相关内容，试着完成下列两个表格：师生活动：学生阅读教材，独立完成表格，老师巡视指导并强调一些共性问题．预设的答案：追问1：区间的左端点a与右端点b的关系是什么？（a＜b）追问2：区间与数轴之间的关系是什么？（任何区间均可在数轴上表示出来，区间中的每个元素对应数轴上的一个点．）追问3：学习区间的意义是什么？（区间表示连续性的数集，为我们研究函数的定义域、值域提供方便．）设计意图：学习新知识，为后续简洁地表示定义域、值域等作铺垫．2．应用新知，深化对函数概念的理解例1 已知函数f(x)＝ eq \r(x＋3)＋ eq \f(1,x＋2)，（1）求函数f(x)的定义域；（2）求f(－3)，f( eq \f(2,3))的值；（3）当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值．师生活动：学生独立完成，老师挑选有代表性的解答进行投影点评，最后用PPT演示规范的书写过程．预设的答案：解：（1）使根式 eq \r(x＋3)有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式 eq \f(1,x＋2)有意义的实数实数x的集合是{x|x≠－2}．所以，这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3且x≠－2}，即：[－3，－2)∪(－2，＋∞)．通常，求定义域的过程可以适当简化，过程如下：解：（1）要使该函数有意义，则需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3≥0，,x＋2≠0．))解得：x≥－3且x≠－2．所以函数f(x)的定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞)．（2）将－3与 eq \f(2,3)代入解析式，有f(－3)＝ eq \r(－3＋3)＋ eq \f(1,－3＋2)＝－1；f( eq \f(2,3))＝ eq \r( eq \f(2,3)＋3)＋ eq \f(1, eq \f(2,3)＋2)＝ eq \r( eq \f(11,3)) ＋ eq \f(3,8)＝ eq \f(3,8)＋ eq \f(\r(33),3)．（3）因为a＞0时，所以f(a)，f(a－1)有意义．f(a)＝ eq \r(a＋3)＋ eq \f(1,a＋2)；f(a－1)＝ eq \r(a－1＋3)＋ eq \f(1,a－1＋2)＝ eq \r(a＋2)＋ eq \f(1,a＋1)．追问1：如何求解函数的定义域？（如果给出解析式 y＝f(x)，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合．比如：①偶次方根中被开方数非负；②分式中分母不能为0；③0次幂式中底数不能为0；④在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体量的允许值范围．）追问2：f(x)＝ eq \r(x＋3)＋ eq \f(1,x＋2)与y＝ eq \r(x＋3)＋ eq \f(1,x＋2)的含义相同，都是给出了一个函数的解析式，用f(x)替换y之后有什么优势？（在y＝ eq \r(x＋3)＋ eq \f(1,x＋2)中，要表示－3对应的函数值，我们一般都需要这样描述：当x＝－3时，y＝－1；而在f(x)＝ eq \r(x＋3)＋ eq \f(1,x＋2)中，我们只需要用 f(－3)＝－1表示即可．）追问3：f(x)与f(a)有何区别与联系？（f(a)表示当自变量x＝a时的函数值，是一个确定的数，而f(x)表示变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．）追问4：能说说你对记号“y＝f(x)”的理解吗？（首先它不能理解为“y等于f与x的乘积”，它是“y是x的函数”的符号表示，具体而言是：变量x在对应关系f的作用下对应到y．）教师点拨：在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示．设计意图：通过例1的学习，让学生对函数的定义域、对应关系、以及符号“y＝f(x)”有具体的感受，能更透彻的理解，并且在求解定义域过程中，熟悉区间的使用．例2 下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？（1）y＝( eq \r(x))2； （2）u＝ eq \r(3,v3)；（3）y＝ eq \r(x2)； （4）m＝ eq \f(n2,n)．师生活动：老师先引导学生思考同一个函数的含义，然后让学生尝试判断，在判断中发现问题：正确化简解析式，定义域优先原则的应用以及函数记号的理解等，老师应该给予及时的解答与帮助．预设的答案：解：（1）y＝( eq \r(x))2＝x（x∈[0，＋∞)），它与函数y＝x（x∈R）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．（2）u＝ eq \r(3,v3)＝v（v∈R），它与函数y＝x（x∈R）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）是同一个函数．（3）y＝ eq \r(x2)＝|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,x，x≥0，))，它与函数y＝x（x∈R）虽然定义域都是实数集R，但是当x＜0时，它的对应关系与y＝x（x∈R）不相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．（4）m＝ eq \f(n2,n)＝n（n∈(－∞，0)∪(0，＋∞)），它与函数y＝x（x∈R）的对应关系相同但定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．追问1：两个函数相等的含义是什么？（函数的三要素都相等．值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系一致，这两个函数就相等．）追问2：你能总结判断两个函数是否相同的步骤吗？（先求函数的定义域，如果定义域不相同，则不是相同函数，结束判断；如果相等，则判断对应关系是否相同，定义域和对应关系均相等才能得出相等的结论．高中阶段对应关系一般都是以解析式的形式给出，我们一般需要先考虑化简解析式再判断，若解析式也相等，则是相同函数，若否，则不是相同函数．）追问3：你如何理解函数u＝ eq \r(3,v3)的对应关系？（因为u＝＝v（v∈R），所以对于R中的任一实数v，通过对应关系u＝v，在R中都有唯一的一个实数u与之对应，因为u＝v，所以就是任一实数与它本身的对应．）追问4：你能结合函数的图象验证你的判断吗？（能．老师PPT投影图象，让学生论述．比如在（1）中，y＝( eq \r(x))2的图象为一条射线，对应定义域为[0，＋∞)，对比y＝x的图象，缺少第三象限的部分．）（1）y＝( eq \r(x))2 （2）u＝ eq \r(3,v3)vu（3）y＝ eq \r(x2) （4）m＝ eq \f(n2,n)mn教师点拨：对于同一个自变量，对应的函数值相同，就是对应关系一致，这与用什么符号表示无关，再比如：y＝x2(x∈R)，y＝u2(u∈R)是同一个函数．设计意图：通过判断函数是否相同来认识函数的整体性，进一步加深对函数概念的理解．借助信息技术从图象角度体会函数的三要素，提高学生解析式与图象表示间的转化能力．三、归纳小结，布置作业问题3：请同学们回顾本节课的内容，回答下列问题：（1）区间是表示什么的符号？（2）在判断两个函数是否相同时，我们需要注意什么？师生活动：学生先独立思考，再由学生代表回答，其他学生依次补充，老师最后总结．预设的答案：（1）区间是用于表示连续数集的符号；（2）定义域相同是函数相等的先决条件，需要优先判断；对应关系相等与否不在于解析式用什么字母符号表示，而在于同一自变量对应的函数值是否相等．设计意图：引导学生对关键内容进行小结，进一步加深对函数概念的理解．四、目标检测设计1．求下列函数的定义域：（1）f(x)＝ eq \f(1,4x＋7)； （2）f(x)＝ eq \r(1－x)＋ eq \r(x＋3)－1．设计意图：考查函数定义域的求解．2．已知函数f(x)＝3x3＋2x，（1）求f（2），f(－2)，f（2）＋f(－2)的值；（2）求f(a)，f(－a)，f(a)＋f(－a)的值．设计意图：通过函数求值问题发现函数的一些性质，可为后面学习函数性质积累素材．3．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2；（2）f(x)＝1和g(x)＝x0．设计意图：加深对函数相同的理解以及对函数符号的认识．参考答案：1．（1）(－∞，－ eq \f(7,4))∪(－eq \f(7,4)，＋∞)；（2）[－3，1]．2．（1）f（2）＝28，f(－2)＝－28，f（2）＋f(－2)＝0；（2）f(a)＝3a3＋2a，f(－a)＝－3a3－2a，f(a)＋f(－a)＝0．3．（1）不相同，因为前者的定义域为[0，26]，后者的定义域为R；（2）不相同，因为前者的定义域为R，后者的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}{x|a＜x＜b}{x|a≤x＜b}{x|a＜x≤b}定义符号数轴表示{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤b}{x|x＜b}定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]定义符号数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x＜b}(－∞，b)
《函数的概念及其表示（第二课时）》教学设计教学目标1．能求简单函数的定义域，会求函数值，提升学生的数学运算素养．2．在理解函数概念的基础上，理解相同函数的含义，掌握相同函数的判定步骤，提升学生的数学抽象素养．3．了解区间的含义，能进行区间、不等式与数轴表示的相互转化，提升学生的直观想象素养．教学重难点教学重点：在理解函数概念的基础上，理解相同函数的含义，掌握相同函数的判定步骤．教学难点：体会函数记号的含义．课前准备PPT课件．教学过程一、复习引入问题1：在上一小节里，我们重新学习了函数的概念，请你默写这个概念．师生活动：学生可能并不能逐字逐句默写，但是只要抓住它的三个要素就予以肯定．预设的答案：对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．设计意图：通过默写为本节课的学习奠定基础．引语：函数是本章乃至整个高中数学的核心内容，概念就是它的基石，稳定的基石是搭建知识大厦的前提，我们这节课继续深入研究函数的概念．（板书：函数的概念）二、新知探究1．研读课本，理解区间的概念问题2：研究函数时我们经常会用到区间的概念，请同学们阅读课本第64页的相关内容，试着完成下列两个表格：师生活动：学生阅读教材，独立完成表格，老师巡视指导并强调一些共性问题．预设的答案：追问1：区间的左端点a与右端点b的关系是什么？（a＜b）追问2：区间与数轴之间的关系是什么？（任何区间均可在数轴上表示出来，区间中的每个元素对应数轴上的一个点．）追问3：学习区间的意义是什么？（区间表示连续性的数集，为我们研究函数的定义域、值域提供方便．）设计意图：学习新知识，为后续简洁地表示定义域、值域等作铺垫．2．应用新知，深化对函数概念的理解例1 已知函数f(x)＝ eq \r(x＋3)＋ eq \f(1,x＋2)，（1）求函数f(x)的定义域；（2）求f(－3)，f( eq \f(2,3))的值；（3）当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值．师生活动：学生独立完成，老师挑选有代表性的解答进行投影点评，最后用PPT演示规范的书写过程．预设的答案：解：（1）使根式 eq \r(x＋3)有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式 eq \f(1,x＋2)有意义的实数实数x的集合是{x|x≠－2}．所以，这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3且x≠－2}，即：[－3，－2)∪(－2，＋∞)．通常，求定义域的过程可以适当简化，过程如下：解：（1）要使该函数有意义，则需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3≥0，,x＋2≠0．))解得：x≥－3且x≠－2．所以函数f(x)的定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞)．（2）将－3与 eq \f(2,3)代入解析式，有f(－3)＝ eq \r(－3＋3)＋ eq \f(1,－3＋2)＝－1；f( eq \f(2,3))＝ eq \r( eq \f(2,3)＋3)＋ eq \f(1, eq \f(2,3)＋2)＝ eq \r( eq \f(11,3)) ＋ eq \f(3,8)＝ eq \f(3,8)＋ eq \f(\r(33),3)．（3）因为a＞0时，所以f(a)，f(a－1)有意义．f(a)＝ eq \r(a＋3)＋ eq \f(1,a＋2)；f(a－1)＝ eq \r(a－1＋3)＋ eq \f(1,a－1＋2)＝ eq \r(a＋2)＋ eq \f(1,a＋1)．追问1：如何求解函数的定义域？（如果给出解析式 y＝f(x)，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合．比如：①偶次方根中被开方数非负；②分式中分母不能为0；③0次幂式中底数不能为0；④在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体量的允许值范围．）追问2：f(x)＝ eq \r(x＋3)＋ eq \f(1,x＋2)与y＝ eq \r(x＋3)＋ eq \f(1,x＋2)的含义相同，都是给出了一个函数的解析式，用f(x)替换y之后有什么优势？（在y＝ eq \r(x＋3)＋ eq \f(1,x＋2)中，要表示－3对应的函数值，我们一般都需要这样描述：当x＝－3时，y＝－1；而在f(x)＝ eq \r(x＋3)＋ eq \f(1,x＋2)中，我们只需要用 f(－3)＝－1表示即可．）追问3：f(x)与f(a)有何区别与联系？（f(a)表示当自变量x＝a时的函数值，是一个确定的数，而f(x)表示变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．）追问4：能说说你对记号“y＝f(x)”的理解吗？（首先它不能理解为“y等于f与x的乘积”，它是“y是x的函数”的符号表示，具体而言是：变量x在对应关系f的作用下对应到y．）教师点拨：在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示．设计意图：通过例1的学习，让学生对函数的定义域、对应关系、以及符号“y＝f(x)”有具体的感受，能更透彻的理解，并且在求解定义域过程中，熟悉区间的使用．例2 下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？（1）y＝( eq \r(x))2； （2）u＝ eq \r(3,v3)；（3）y＝ eq \r(x2)； （4）m＝ eq \f(n2,n)．师生活动：老师先引导学生思考同一个函数的含义，然后让学生尝试判断，在判断中发现问题：正确化简解析式，定义域优先原则的应用以及函数记号的理解等，老师应该给予及时的解答与帮助．预设的答案：解：（1）y＝( eq \r(x))2＝x（x∈[0，＋∞)），它与函数y＝x（x∈R）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．（2）u＝ eq \r(3,v3)＝v（v∈R），它与函数y＝x（x∈R）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）是同一个函数．（3）y＝ eq \r(x2)＝|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,x，x≥0，))，它与函数y＝x（x∈R）虽然定义域都是实数集R，但是当x＜0时，它的对应关系与y＝x（x∈R）不相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．（4）m＝ eq \f(n2,n)＝n（n∈(－∞，0)∪(0，＋∞)），它与函数y＝x（x∈R）的对应关系相同但定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．追问1：两个函数相等的含义是什么？（函数的三要素都相等．值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系一致，这两个函数就相等．）追问2：你能总结判断两个函数是否相同的步骤吗？（先求函数的定义域，如果定义域不相同，则不是相同函数，结束判断；如果相等，则判断对应关系是否相同，定义域和对应关系均相等才能得出相等的结论．高中阶段对应关系一般都是以解析式的形式给出，我们一般需要先考虑化简解析式再判断，若解析式也相等，则是相同函数，若否，则不是相同函数．）追问3：你如何理解函数u＝ eq \r(3,v3)的对应关系？（因为u＝＝v（v∈R），所以对于R中的任一实数v，通过对应关系u＝v，在R中都有唯一的一个实数u与之对应，因为u＝v，所以就是任一实数与它本身的对应．）追问4：你能结合函数的图象验证你的判断吗？（能．老师PPT投影图象，让学生论述．比如在（1）中，y＝( eq \r(x))2的图象为一条射线，对应定义域为[0，＋∞)，对比y＝x的图象，缺少第三象限的部分．）（1）y＝( eq \r(x))2 （2）u＝ eq \r(3,v3)vu（3）y＝ eq \r(x2) （4）m＝ eq \f(n2,n)mn教师点拨：对于同一个自变量，对应的函数值相同，就是对应关系一致，这与用什么符号表示无关，再比如：y＝x2(x∈R)，y＝u2(u∈R)是同一个函数．设计意图：通过判断函数是否相同来认识函数的整体性，进一步加深对函数概念的理解．借助信息技术从图象角度体会函数的三要素，提高学生解析式与图象表示间的转化能力．三、归纳小结，布置作业问题3：请同学们回顾本节课的内容，回答下列问题：（1）区间是表示什么的符号？（2）在判断两个函数是否相同时，我们需要注意什么？师生活动：学生先独立思考，再由学生代表回答，其他学生依次补充，老师最后总结．预设的答案：（1）区间是用于表示连续数集的符号；（2）定义域相同是函数相等的先决条件，需要优先判断；对应关系相等与否不在于解析式用什么字母符号表示，而在于同一自变量对应的函数值是否相等．设计意图：引导学生对关键内容进行小结，进一步加深对函数概念的理解．四、目标检测设计1．求下列函数的定义域：（1）f(x)＝ eq \f(1,4x＋7)； （2）f(x)＝ eq \r(1－x)＋ eq \r(x＋3)－1．设计意图：考查函数定义域的求解．2．已知函数f(x)＝3x3＋2x，（1）求f（2），f(－2)，f（2）＋f(－2)的值；（2）求f(a)，f(－a)，f(a)＋f(－a)的值．设计意图：通过函数求值问题发现函数的一些性质，可为后面学习函数性质积累素材．3．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2；（2）f(x)＝1和g(x)＝x0．设计意图：加深对函数相同的理解以及对函数符号的认识．参考答案：1．（1）(－∞，－ eq \f(7,4))∪(－eq \f(7,4)，＋∞)；（2）[－3，1]．2．（1）f（2）＝28，f(－2)＝－28，f（2）＋f(－2)＝0；（2）f(a)＝3a3＋2a，f(－a)＝－3a3－2a，f(a)＋f(－a)＝0．3．（1）不相同，因为前者的定义域为[0，26]，后者的定义域为R；（2）不相同，因为前者的定义域为R，后者的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}{x|a＜x＜b}{x|a≤x＜b}{x|a＜x≤b}定义符号数轴表示{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤b}{x|x＜b}定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]定义符号数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x＞a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x＜b}(－∞，b)
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