函数的基本性质习题课教案

这是一份函数的基本性质习题课教案，共6页。

《函数的基本性质习题课》教学设计教学目标1．复习函数的基本性质—单调性、最大（小）值、奇偶性，构建函数性质的知识结构．2．能应用数形结合、函数与方程、化归与转化的思想进行运算求解、推理论证，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养．教学重难点教学重点：理解函数的基本性质，应用函数的性质进行运算求解、推理论证．教学难点：应用函数的性质进行运算求解、推理论证．课前准备用软件制作动画；PPT课件．教学过程一、复习导入问题1：请同学们梳理第3.2节（课本P76～P85）的内容，回答以下几个问题：（1）函数的基本性质有哪些？你能依次从图象特征和代数符号的角度叙述这些性质吗？（2）你能说说研究函数的性质的方法吗？师生活动：学生先独立阅读思考，老师根据学生的回答补充．预设的答案：（1）的答案见表1：表1中，函数y＝f(x)的定义域为I，区间D⊆I．（2）先观察具体函数图象，分析图象特征，形成对函数性质的感性认识；再结合解析式从代数的角度定量刻画函数性质，抽象出一般概念；最后应用概念分析解决问题．设计意图：通过复习帮助学生梳理学习方法，构建函数基本性质的知识结构．引语：我们在第3.2节主要学习了三种函数性质，本节课我们一起来深入体会这些性质的作用．（板书：函数的基本性质习题课）二、新知探究1．单调性的应用例1 （习题3.2 P86第8题）（1）根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋ eq \f(9,x)在区间（3，＋∞）上单调递增；（2）讨论函数y＝x＋ eq \f(9,x)在区间（0，＋∞）上的单调性；（3）讨论函数y＝x＋ eq \f(k,x)（k＞0）在区间（0，＋∞）上的单调性．师生活动：学生回忆单调性的探究思路，老师在学生回答的基础上进行补充．预设的答案：（1）证明：∀x1，x2∈(3，＋∞)，且x1＜x2，有y1－y2＝(x1＋ eq \f(9,x1))－(x2＋ eq \f(9,x2))＝(x1－x2)＋( eq \f(9,x1)－ eq \f(9,x2))＝(x1－x2)＋ eq \f(9(x2－x1),x1x2) ＝(x1－x2)－ eq \f(9(x1－x2),x1x2) ＝(x1－x2)(1－ eq \f(9,x1x2))＝(x1－x2)( eq \f(x1x2－9,x1x2))由x1，x2∈(3，＋∞)，得x1＞3，x2＞3，所以x1x2＞9，x1x2－9＞0．由x1＜x2，得x1－x2＜0，于是(x1－x2)( eq \f(x1x2－9,x1x2))＜0，即y1＜y2．所以，函数y＝x＋ eq \f(9,x)在区间(3，＋∞)上的单调递增．（2）当x1，x2∈(0，3)时，x1x2－9＜0，则y1－y2＞0，即y1＞y2，所以y＝x＋ eq \f(9,x)在区间(0，3)上单调递减．综上，y＝x＋ eq \f(9,x)在区间(0，3)上单调递减，在区间（3，＋∞）上单调递增．（3）函数y＝x＋ eq \f(k,x)（k＞0）在区间(0， eq \r(k)]上单调递减，在区间[ eq \r(k)，＋∞）上单调递增．追问1：判断函数y＝x＋ eq \f(k,x)（k＞0）在区间（0，＋∞）上是否存在最值并说明理由；（根据函数y＝x＋ eq \f(k,x)（k＞0）的单调性，可知该函数在x＝ eq \r(k)处取到最小值，最小值为2 eq \r(k)，无最大值．）追问2：函数y＝x＋ eq \f(k,x)（k＞0）在区间[2，3]上具有单调性，求k的取值范围；（由该函数的单调性可知：3≤ eq \r(k)或2≥ eq \r(k)，解得：k≥9或0＜k≤4，所以k的取值范围为(0，4]∪[9，＋∞）．）追问3：你还能得到函数y＝x＋ eq \f(k,x)（k＞0）的哪些性质？（函数y＝x＋ eq \f(k,x)（k＞0）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，该函数为奇函数．它在区间(0， eq \r(k)]上单调递减，在区间[ eq \r(k)，＋∞）上单调递增；在区间(－∞，－ eq \r(k)]上单调递增，在区间[－ eq \r(k)，0）上单调递减．）图1追问4：请你试着画出该函数y＝x＋ eq \f(k,x)（k＞0）的图象．（学生根据函数性质画出与图1类似的图象．）设计意图：例1通过单调性的证明与求解单调区间加深学生对单调性定义的理解，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．追问1，2训练学生对函数的图象与性质（单调性、最大（小）值）的理解，追问3，4训练学生对函数性质的整体把握，通过性质的探究预测图象的大致走向，感受代数与几何的相互成就，提升学生的直观想象和数学抽象素养．2．单调性与奇偶性的综合应用例2 （习题3.2 P86第11题）已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．画出函数f(x)的图象，并求出函数的解析式．追问1：求f(－1)．（f（1）＝1×(1＋1)＝2，又因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f（1）＝－2．）追问2：求f(t)．（当t≥0时，f(t)＝t(1＋t)；当t＜0时，－t＞0，f(－t)＝－t×(1＋(－t))＝－t(1－t)，又因为函数f(x)是奇函数，所以f(t)＝－f(－t)＝t(1－t)．）师生活动：学生先独立地根据奇偶性画出函数的图象，体会该函数在定义域R内的不同范围内的对应关系不同，明确所求函数是分段函数．求解解析式对于大多数高一学生来说比较困难，老师可以适当通过追问加以引导．预设的答案：当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x×(1＋(－x))＝－x(1－x)，又因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x(1－x)．综上，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x(1－x)，x＜0，,x(1＋x)，x≥0．)) 图象如图2实线部分．图2图3追问3：若函数f(x)是定义域为R的偶函数，其他条件不变，画出函数f(x)的图象，并求出函数的解析式．（当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x×(1＋(－x))＝－x(1－x)，又因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－x(1－x)＝x(x－1)．综上，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x(x－1)，x＜0，,x(1＋x)，x≥0．)) 图象如图3实线部分．）追问4：在例2与追问3中，分别判断在(－∞，0)上的单调性，据此你能得到奇函数和偶函数单调性的哪些特点？（例2中，函数在(－∞，0)上单调递增；追问3中，函数在(－∞，0)上单调递减．据此得到猜想：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反．）追问5：下面的命题是真命题吗？如果是请你证明，如果不是，请你举出反例：已知函数f(x)是偶函数，而且在[a，b]上单调递减，则f(x)在[－b，－a]上单调递增．（这是个真命题．证明：∀x1，x2∈[－b，－a]，且x1＜x2，由－b≤x1＜x2≤－a，得a≤－x2＜－x1≤b，由f(x)在[a，b]上单调递减，得f(－x2)＞f(－x1)，即f(－x1)－f(－x2)＜0，得 f(x1)－f(x2)＝f(－x1)－f(－x2)＜0，所以，函数f(x)在[－b，－a]上单调递增．）设计意图：追问1，2是引导学生从具体的函数求值入手过渡到一般的函数求值，然后比较自然地求解例2，追问3巩固例2中所学的思路与方法，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．追问4，5引导学生体会单调性与奇偶性之间的关系，提升学生的直观想象和逻辑推理素养．三、归纳小结，布置作业问题2：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：（1）奇偶性与单调性如何互相影响？（2）应用奇偶性和单调性的定义，我们可以解决什么问题？师生活动：师生一起总结．预设的答案：（1）如果函数是奇函数，则在对称区间上的单调性是相同的；如果函数是偶函数，则在对称区间上的单调性是相反的．（2）利用单调性定义，可以用于证明一些图象已知的函数的单调性，还可以用于判定图象未知的函数的单调性．利用奇偶性定义，可以判定奇偶性，还可以解决对称区间上的函数求值问题．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生明确函数性质的各种作用．四、目标检测设计1．已知f(x)＝ eq \f(2x,x2＋1)，x∈R．（1）求证：f(x)在区间[－1，1]上单调递增；（2）你还能得到函数的哪些性质？设计意图：考查函数单调性、奇偶性、最值等性质．2．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x＜0时，f(x)＝x(x＋1)，则当x＞0时，f(x)＝________．设计意图：考查运用奇偶性的定义求解析式．3．函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则a的取值范围是______．设计意图：考查单调性的应用．参考答案：1．（1）∀x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)= eq \f(2(x2－x1)(x1x2－1),(x12＋1)(x22＋1)) ，因为x2－x1＞0，x1x2－1＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝ eq \f(2x,x2＋1) 在区间[－1，1]上单调递增．（2）①f(x)在区间(－∞，－1]和[1，＋∞)上单调递减； ②f(x)是奇函数； ③值域为[－1，1]．2．x(x－1)．3．(－∞，－5]．表1函数的性质单调性最大（小）值奇偶性图象语言在区间D上，图象从左到右是上升（下降）的，函数值随着自变量的增大而增大（减小）．最高（低）点的纵坐标就是函数f(x)的最大（小）值．图象关于原点（y轴）对称，则为奇（偶）函数．符号语言∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)（f(x1)＞f(x2)），那么就称函数f(x)在区间D上单调递增（递减）．如果存在实数M（m）满足：（1）∀x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥m）；（2）∃x0∈I，使得f(x0)＝M（m），那么就称M（m）是函数y＝f(x)的最大（小）值．∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)（f(－x)＝f(x)），那么函数就叫做奇（偶）函数．