北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念教案

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念教案，共9页。


教学目标
1．通过对具有现实背景的具体实例的分析，经历数学抽象的过程，了解指数函数刻画的变化规律的特征，理解指数函数的概念．
2．结合指数函数概念的形成过程，进一步体会研究具体的一类函数的过程和方法，提升数学抽象的核心素养．
教学重难点
教学重点：指数函数的概念．
教学难点：概括得到指数函数概念的过程．
课前准备
PPT课件，计算器．
教学过程
（一）整体感知
引导语：对于幂ax(a＞0)，我们已经把指数x的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数．
设计意图：明确本节课研究的内容，以及和前面课程的关系．
（二）新知探究
1．研究具体问题，积累感性经验
问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．下表（表1）给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
表1
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
师生活动：学生观察表中数据，个别提问回答．
预设的答案：从表格中的数据不难看出，A，B两地景区的游客人次都在增长，但是A地景区游客的年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区游客的年增加量越来越大，从开始的31万次增长到最后的126万次．
设计意图：该问题是旅游经济的相关问题，A，B两地游客人数的增长和经济指标都源于真实数据，贴近现在国内的实际，利于学生从实际出发体会函数是刻画实际问题变化规律的数学模型．分析数据时，先从表格中的具体数据出发，通过直接观察数据的变化情况，做初步的定量分析．
追问1：除了通过直接观察表格中数据的变化情况，我们还可以对数据做怎样的处理，进而发现其变化规律？比如能否将数据转化为图象的形式进行观察？怎样转化？
师生活动：学生讨论交流后提出方案，教师予以补充完善，然后进行实施．
预设的答案：为了有利于观察规律，根据表1，可以分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年，游客人次随年份变化的图象．我们可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来．画好的图象如图1．
图1
设计意图：当通过直接观察数据的变化情况，不能发现数据的变化规律时，引导学生采取其他方法发现变化规律，比如将数据转化为图象形式进行观察．通过这种对数据的初步处理和形式转化，提升学生分析问题的能力．
追问2：通过观察图象，并结合表格中的数据，你能发现什么规律？
师生活动：学生观察图象和表格，个别提问回答．
预设的答案：通过观察图象，并结合表格中的数据，可以发现A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长）；B地景区的游客人次则是非线性增长，并且增长速度越来越快．
设计意图：通过观察图象的变化趋势，做定性分析，得到初步结论，同时提升学生直观想象的核心素养．
追问3：图象显示出A，B两地景区的游客人次呈不同的增长方式，这两种增长变化如何用数量表示？我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，通过年增加量可以看出A地景区的游客人次的变化规律．那么，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？谈谈你的想法．
师生活动：学生讨论交流后提出方案，教师予以补充完善，然后进行实施．
预设的答案：我们可以用“增长率”来刻画B地景区人次的变化规律．从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
2002年游客人次2001年游客人次=309278≈1.11，
2003年游客人次2002年游客人次=344309≈1.11，
……
2015年游客人次2014年游客人次=1 2441 118≈1.11．
结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为1.11－1=0.11，是一个常数．
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长．
设计意图：引导学生利用已知数据来说明图象的变化规律，并从图象中得到启发去处理数据，从而数形结合地发现实际问题变化规律的本质，得出B地景区的游客人次变化的规律．
追问4：根据我们发现的B地景区游客人次的变化规律，能否给出B地景区游客人次随时间（经过的年数）变化的规律的关系式？这一关系式有什么特点？
师生活动：学生独立完成后展示交流．
预设的答案：从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
……
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么
y=1.11x (x∈[0,+∞))． ①
这是一个函数，其中指数x是自变量，这个函数刻画的实际问题的变化规律的特征是增长率不变，并且是呈指数增长．
设计意图：给出具体问题变化规律的数学表示，根据B地景区游客人次年增长率相等的这一变化规律的本质，得到解析式，并以此解释追问3中“指数增长”这一概念的由来．
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？请同学们进行思考．
师生活动：学生进行思考．
设计意图：该问题是碳14衰减的问题，生物体内的碳14含量随时间呈连续的指数衰减变化，这是一个经典的指数函数实例，有助于学生对指数函数概念的理解．另外，问题1和问题2一个是增长问题，一个是衰减问题，两个问题有利于学生从实际出发全面地认识指数函数．
追问1：能否求出生物死亡后，体内碳14含量的年衰减率是多少？
师生活动：学生独立完成后展示交流．
预设的答案：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
死亡1年后，生物体内碳14含量为；
死亡2年后，生物体内碳14含量为；
死亡3年后，生物体内碳14含量为；
……
死亡5 730年后，生物体内碳14含量为；
根据已知条件，，从而，所以年衰减率为．
设计意图：先计算出碳14含量的年衰减率，为给出死亡生物体内碳14含量随死亡年数变化的规律的关系式作铺垫．
追问2：根据计算出的碳14含量的年衰减率，能否给出死亡生物体内碳14含量随死亡年数变化的规律的关系式？这一关系式有什么特点？
师生活动：学生独立完成后展示交流．
预设的答案：设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么，即
． ②
这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减．
设计意图：给出具体问题变化规律的数学表示，根据死亡生物体内碳14含量的年衰减率相等的这一变化规律的本质，得到解析式．
2．抽象概括，形成指数函数的定义
问题3：比较问题1和问题2中的两个实例，它们所描述的变化规律有什么共同特征？
师生活动：教师引导学生从数据、图象上分析，然后对两个实例的表达式进行归纳概括．学生讨论交流，教师予以补充完善．
预设的答案：如果用字母a代替上述①②两式中的底数1.11和，那么函数y=1.11x和就可以表示为
y=ax
的形式，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常数．
教师讲解：一般地，函数y=ax (a＞0，且a≠1)叫做指数函数（expnential functin），其中指数x是自变量，定义域是R．
设计意图：尽管两个问题的实际背景不同，但它们都具有相同的形式y=ax．通过分析、比较两个实例，概括它们的本质特征，从而抽象概括出指数函数概念．通过这一过程，可以提升学生数学抽象的核心素养．
3．初步应用，深化理解
例1 已知指数函数f(x)=ax (a＞0，且a≠1)，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
师生活动：学生独立完成后展示交流．教师可以引导学生，要求f(0)，f(1)，f(－3)的值，应先求出f(x)=ax的解析式，即先求a的值．而根据题设中的f(3)=π就可以求出a的值．
预设的答案：
解：因为f(x)=ax，且f(3)=π，则a3 =π，解得，于是
．
所以，．
设计意图：熟悉指数函数的解析式和对应关系，还可以学习利用函数解析式列方程求解底数a的值．
例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1 000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．
（2）在问题2中，某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
师生活动：学生独立完成后展示交流．
预设的答案：
解：（1）设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则
f(x)=1 150×(10x+600)，
g(x)=1 000×278×1.11x．
图2
利用计算工具可得，
当x=0时，f(0)－g(0)=412 000．
当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)．
结合图2可知：
当x＜10.22时，f(x)＞g(x)，
当x＞10.22时，f(x)＜g(x)．
当x=14时，g(14)－f(14)≈347 303．
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412 000万元；随后10年，虽然f(x)＞g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2001年2月某个时刻就有f(x)=g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)＜g(x)，游客给B地带来的收入超过了A地；由于g(x)增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多了347 303万元了．
（2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x)．
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
．
当x=10 000时，利用计算工具求得
．
所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30％．
设计意图：通过利用指数函数概念解决问题1和问题2有关的问题，让学生进一步了解指数函数的实际意义，并理解指数函数的概念．同时利用第（1）小问，引出y=kax（k∈R，a＞0，且a≠1）刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型．
4．指数增长和指数衰减
问题4：观察例2（1）中的函数解析式g(x)=1 000×278×1.11x，它与我们前面所定义的指数函数y=ax (a＞0，且a≠1)有何异同？
师生活动：学生讨论交流，教师总结归纳，进行讲解．
预设的答案：例2（1）中的函数解析式g(x)=1 000×278×1.11x，也是呈指数增长型的函数，它与指数函数y=ax相比，在ax（a＞0，且a≠1）前面多了一个系数．
教师讲解：在实际问题中，经常会遇到类似于例2（1）的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y=N(1+p)x(x∈N)．形如y=kax（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
设计意图：通过比较，明确指数函数和指数型函数的区别．
（三）归纳小结，布置作业
问题5：回顾本节课，谈谈问题1中的增长率和问题2中的衰减率为什么是一个常数？这体现了指数函数的什么本质特性？
师生活动：学生讨论交流，教师予以完善．
预设的答案：增长率和衰减率是一个常数，这是由指数的运算性质决定的，增长率或衰减率相等在一定程度上体现了指数函数增长或衰减变化的本质．
拓展：对于指数函数f(x)=ax（a＞0，且a≠1），其本质特征是：对任意x，y∈R，f(x+y)=f(x)f(y)．因此，问题1和问题2的两个实例中指数增长或指数衰减的本质可以用下列式子体现：
当x0=0，Δx=1时，上式即
事实上，对于形如y=kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数，也满足上面的式子．
设计意图：通过回顾两个实例中提到的增长率和衰减率，更清楚地认识指数函数的概念，更好地把握指数函数变化规律的本质．
问题6：阅读教科书115页“阅读与思考—放射性物质的衰减”，完成相应的思考问题．
师生活动：学生课后自行完成．
设计意图：进一步了解放射性物质的衰减．激发学生兴趣，利用网络平台，或从生活中发现指数函数模型的实例．体会指数函数的重要性．
作业布置：教科书习题．
（四）目标检测设计
1．下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ）．
设计意图：从图象的角度帮助学生对指数函数概念的理解，并为后续的课程—指数函数的图象和性质作铺垫．
2．已知函数y=f(x)，x∈R，且，n∈N*，求函数y=f(x)的一个解析式．
设计意图：考查对指数函数的增长率或衰减率为一个常数的理解，巩固指数函数变化规律的本质．
3．在某个时期，某湖泊中的海藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）
设计意图：熟悉不同的指数增长的函数模型，并利用指数函数的概念解决实际问题，进一步巩固概念，加强对概念的理解．
参考答案：
1．C．
2．因为，n∈N*，所以，，…，，n∈N*．说明函数f(x)以4为增长比例呈指数增长．又因为，说明函数f(x)的初始量为3．所以，所求的一个解析式为y=3×4x．
3．设该湖泊现有蓝藻为k，经过x天后蓝藻变为f(x)．根据题意，f(x)是以k为初始量，增长率为0.062 5，即增长比例为1.062 5的指数函数，则f(x)=k1.062 5x (x≥0)．于是f(0)=k，f(30)=k1.062 530．利用计算工具可得，所以，经过30天该湖泊的蓝藻大约会为原来的6倍．
时间/年
A地景区
B地景区
人次/万次
年增加量/万次
人次/万次
年增加量/万次
2001
600
278
2002
609
9
309
31
2003
620
11
344
35
2004
631
11
383
39
2005
641
10
427
44
2006
650
9
475
48
2007
661
11
528
53
2008
671
10
588
60
2009
681
10
655
67
2010
691
10
729
74
2011
702
11
811
82
2012
711
9
903
92
2013
721
10
1 005
102
2014
732
11
1 118
113
2015
743
11
1 244
126