第07讲 函数与方程（十一大题型）（讲义）-备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考新教材通用）

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一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【解题方法总结】
函数的零点相关技巧:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
【典例例题】
题型一：求函数的零点或零点所在区间
【例1】（2023·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【对点训练1】（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的零点依次为，则（ ）
A．B．C．D．
【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
【例2】（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练5】（2023·河北·高三学业考试）已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练6】（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________.
【对点训练7】（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数在上有零点，则实数的取值范围___________.
【解题总结】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
【例3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数，满足，，则________.
【对点训练8】（2023·新疆·校联考二模）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________．
【对点训练9】（2023·天津滨海新·统考三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是________．
【对点训练10】（2023·江苏·校联考模拟预测）若曲线有两条过的切线，则a的范围是______.
【对点训练11】（2023·天津北辰·统考三模）设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围是________．
【对点训练12】（2023·广东·统考模拟预测）已知实数m，n满足，则___________.
【解题总结】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
题型四：嵌套函数的零点问题
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练13】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【对点训练14】（2023·四川资阳·高三统考期末）定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为
A．2B．4
C．2或4D．2或4或6
【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为
A．B．或C．或D．或或
【解题总结】
1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．
题型五：函数的对称问题
【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在点P，函数g（x）=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练17】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
转化为零点问题
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
【例6】（2023·浙江宁波·高三统考期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练19】（2023·湖北·高三校联考期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【对点训练20】（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个，使得方程成立．则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【对点训练21】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
分类讨论数学思想方法
题型七：唯一零点求值问题
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
【对点训练22】（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
【对点训练23】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
A．或B．1或C．或2D．或1
【对点训练24】（2023·全国·高三专题练习）已知函数有唯一零点，则负实数
A．B．C．D．或
【解题总结】
利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
题型八：分段函数的零点问题
【例8】（2023·天津南开·高三南开中学校考期末）已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练25】（2023·全国·高三专题练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练26】（2023·陕西西安·高三统考期末）已知函数， 若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【对点训练27】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
题型九：零点嵌套问题
【例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【对点训练28】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为
A．B．C．-1D．1
【对点训练29】（2023·辽宁·校联考二模）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（ ）
A．81B．﹣81C．﹣9D．9
【对点训练30】（2023·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且 则的值是（ ）
A．81B．-81C．9D．-9
【解题总结】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
题型十：等高线问题
【例10】（2023·全国·高三专题练习）设函数
①若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
②若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
③若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
④方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6
四个结论中，正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【对点训练31】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练32】（2023·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练33】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则的取值范围是（ ）
A．（）B．（1，4）C．（，4）D．（4，6）
【解题总结】
数形结合数学思想方法
题型十一：二分法
【例11】（2023·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练34】（2023·全国·高三专题练习）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：


那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44
【对点训练35】（2023·全国·高三专题练习）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练36】（2023·全国·高三专题练习）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：，，，，）
A．B．C．D．
【对点训练37】（2023·全国·高三专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解题总结】
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
1．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2019·全国·高考真题）函数在的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2014·湖南·高考真题）已知函数与图象上存在关于y轴对称的点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）理解函数的零点与方程的解的联系.
（2）理解函数零点存在定理，并能简单应用.
（3）了解用二分法求方程的近似解．
2022年天津卷第15题，5分
2021年天津卷第9题，5分
2021年北京卷第15题，5分
从近几年高考命题来看，高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生关注．