培优点5　带电粒子在交变场中的运动（含解析）--2024年高考物理大二轮复习讲义

这是一份培优点5　带电粒子在交变场中的运动（含解析）--2024年高考物理大二轮复习讲义，共7页。
1.对于带电粒子在交变电场中的运动问题，会分过程进行受力分析、运动分析，并结合v－t图像求解问题。
2.掌握带电粒子在交变电、磁场中运动问题的分析方法，熟悉带电粒子运动的常见模型。
考点一 带电粒子在交变电场中的运动
处理带电粒子在交变电场中运动的问题时，对带电粒子进行受力分析，判断带电粒子在每一段的运动情况，画出粒子在电场方向的v－t图像、运动示意图，结合图像去分析粒子的运动情况，在v－t图像中，图线与t轴所围面积表示沿电场方向粒子的位移。带电粒子在交变电场中沿电场强度方向的运动常见的v－t图像如图所示。
例1 (2023·江苏扬州市高邮中学模拟)如图甲，真空中水平放置的平行金属板MN、PQ间所加交变电压U随时间t的变化图像如图乙所示，U0已知。距离平行板右侧有一足够大的荧光屏，荧光屏距平行板右侧的距离与平行板的长度相等，粒子打到荧光屏上形成亮斑。现有大量质量为m、电荷量为＋q的粒子以初速度v0平行于两板沿中线OO′持续不断地射入两板间。已知t＝0时刻进入两板间的粒子穿过两板的时间等于所加交变电压的周期T，出射方向偏转了53°，所有粒子均可以从板间射出，忽略电场的边缘效应及重力的影响，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6。求：
(1)平行板的长度；
(2)板间距离；
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(3)荧光屏上亮斑离O′点的最大距离。
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考点二 带电粒子在交变电、磁场中的运动
此类问题是场在时间上的组合，电场或磁场往往具有周期性，粒子的运动也往往具有周期性。这种情况下要仔细分析带电粒子的受力情况和运动过程，弄清楚带电粒子在每一时间段内在电场、磁场中各处于什么状态，做什么运动，画出一个周期内的运动轨迹，确定带电粒子的运动过程，选择合适的规律进行解题。
例2 如图甲所示，水平放置的平行金属板P和Q相距为d，两板间存在周期性变化的电场或磁场。P、Q间的电势差UPQ随时间的变化规律如图乙所示，磁感应强度B随时间变化的规律如图丙所示，磁场方向垂直纸面向里为正方向。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度v0由P板左端靠近板面的位置，沿平行于板面的方向射入两板之间，q、m、d、v0、U0为已知量。
(1)若仅存在交变电场，要使粒子飞到Q板时，速度方向恰好与Q板相切，求交变电场周期T；
(2)若仅存在匀强磁场，且满足B0＝eq \f(2mv0,qd)，粒子经一段时间恰能垂直打在Q板上(不考虑粒子反弹)，求打中点到出发点的水平距离。
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如图甲所示，在y轴左侧存在沿x轴正方向的匀强电场，在y轴右侧的矩形虚线空间存在垂直于纸面的周期性的磁场，磁感应强度大小为eq \f(mv,qa)，磁场上边界在y＝2a处，下边界在y＝－2a处，右边界在x＝3a处，磁场的变化规律如图乙所示，规定垂直纸面向里的方向为磁场的正方向。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从位置坐标为(a,2a)的A点以速度v沿y轴负方向射入磁场，若粒子恰能垂直打到放置在下边界处的水平挡板上的B点(图中B点未标出)，并经碰撞后原速率反弹(不计碰撞时间和电荷量的变化)，最终粒子会从A点垂直上边界向上射出，离开磁场区域。不计粒子重力，不考虑变化的磁场所产生的电场。求：
(1)带电粒子在磁场中的运动半径与运动周期；
(2)若使粒子从A点运动到B点的时间最短，图乙中T0的最小值；
(3)T0取第(2)问的数值，使带电粒子从与B点碰后运动到A点的时间最短，则此条件下所加的电场强度E的大小。
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培优点5 带电粒子在交变场中的运动
例1 (1)v0T (2)eq \f(3qU0T,8mv0) (3)3v0T
解析 (1)粒子沿OO′方向做匀速直线运动，则平行板长L＝v0T
(2)由几何关系可知，粒子离开平行板时沿电场线方向的速度为
vy＝v0tan 53°＝eq \f(4,3)v0
由动量定理可得－qeq \f(U0,d)·eq \f(T,2)＋qeq \f(2U0,d)·eq \f(T,2)＝mvy－0
解得d＝eq \f(3qU0T,8mv0)
(3)t＝eq \f(T,2)进入电场的粒子打在屏上的亮点离O′点最远，t＝eq \f(T,2)进入电场时的加速度大小为a＝eq \f(2qU0,md)＝eq \f(16v0,3T)
t＝T时竖直方向的速度v1＝eq \f(aT,2)＝eq \f(8v0,3)
在eq \f(T,2)～T内粒子在竖直方向上的位移为y1＝eq \f(v1,2)·eq \f(T,2)＝eq \f(2,3)v0T
t＝eq \f(3T,2)时竖直方向的速度
v2＝eq \f(qU0,md)·eq \f(T,2)＝eq \f(4v0,3)
在T～eq \f(3T,2)内粒子在竖直方向上的位移为y2＝eq \f(v1＋v2,2)·eq \f(T,2)＝v0T
设离开电场时速度与水平方向夹角为α，则有y3＝Ltan α＝Leq \f(v2,v0)＝eq \f(4,3)v0T
解得ym＝y1＋y2＋y3＝3v0T。
例2 (1)eq \r(\f(4md2,nqU0))(n＝1,2,3，…)
(2)eq \f(\r(3)－1,2)d
解析 (1)当粒子飞到Q板时的速度方向恰与Q板相切时，竖直速度为零，设加速度为a，则a＝eq \f(qU0,md)
半个周期内，粒子向上运动的距离为
y＝eq \f(1,2)a(eq \f(T,2))2，d＝2ny，(n＝1,2,3…)
联立得T＝eq \r(\f(4md2,nqU0))(n＝1,2,3，…)
(2)仅存在磁场时，带电粒子在匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动，则有qv0B0＝meq \f(v02,r)
解得r＝eq \f(1,2)d
若要使粒子能垂直打到Q板上，在交变磁场的半个周期内，设粒子轨迹的圆心角为90°＋θ，如图所示，由几何关系得r＋2rsin θ＝d
解得sin θ＝eq \f(1,2)
则粒子打到上极板的位置距出发点的水平距离为
x＝r－2(r－r cs θ)＝eq \f(\r(3)－1,2)d。
高考预测
(1)a eq \f(2πa,v) (2)eq \f(2π＋1a,v) (3)eq \f(2mv2,πaq)
解析 (1)粒子从A点以速度v沿y轴负方向射入磁场，在0～eq \f(2a,v)时间内，磁感应强度为零，粒子做匀速直线运动，粒子的位移为y＝vt＝v×eq \f(2a,v)＝2a
可知粒子到达x轴时开始在磁场中做圆周运动，设运动半径为R，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝meq \f(v2,R)
R＝eq \f(mv,qB)＝a
粒子的运动周期为T＝eq \f(2Rπ,v)＝eq \f(2πa,v)
(2)由左手定则可知，粒子在磁场中向右偏转，转动一个周期后又在x轴上x＝a点处射入x轴下方，若此时磁场的磁感应强度为零，则有粒子做匀速直线运动垂直打在下边界处的水平挡板上的B点。因此要使粒子从A点运动到B点的时间最小，则粒子在磁场中转动一个周期T0＝T＋eq \f(2a,v)
则T0最小值是T0＝eq \f(2πa,v)＋eq \f(2a,v)＝eq \f(2π＋1a,v)
(3)以上计算可知，带电粒子与B点碰后返回，在磁场中向左偏转，先做eq \f(1,4)的圆周运动，粒子垂直y轴射入电场，在电场中的加速度大小为a加＝eq \f(qE,m)
加速度方向与粒子运动方向相反，做匀减速直线运动，经t1时间返回，又以原速度大小垂直y轴射入磁场
t1＝2×eq \f(v,a加)＝2×eq \f(v,\f(qE,m))＝eq \f(2mv,qE)
带电粒子从与B点碰后运动到A点有最短时间，即粒子在一个周期内在x轴下方磁场和电场中运动，然后在x轴上方做匀速直线运动，直到再次从A点垂直上边界射出磁场。由此可知，粒子在电场中运动时间等于eq \f(T,2)时，所用时间最短，则有t1＝eq \f(2mv,qE)＝eq \f(1,2)×eq \f(2πa,v)
解得E＝eq \f(2mv2,πaq)。