广东省广州市番禺区香江实验学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）

这是一份广东省广州市番禺区香江实验学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版），共26页。

1．本试卷分为选择题部分和非选择题部分，全卷共三大题25小题，共120分．考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用2B铅笔涂在答题卡上．
3．本卷分“问卷”和“答卷”，本试卷选择题部分必须填在答题卡上，否则不给分；非选择题部分的试题，学生在解答时必须将答案写在“答卷”上指定的位置（方框）内，写在其他地方答案无效，“问卷”上不可以用来答题；
4．考试结束后，考生须将本试卷和答题卡一并交回；
5．考生解答填空题和解答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，如用铅笔作答的试题一律以零分计算；
6．选择题要求用规定型号铅笔填涂，涉及作图的题目，用题目中规定型号的铅笔作图．
一、选择题（本大题每题3分，共30分）
1. 如图所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：B．
2. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A. 水落石出B. 水涨船高C. 水滴石穿D. 水中捞月
【答案】D
【解析】
【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可
【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；更多课件教案等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选D
【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．
3. 下列关于二次函数的说法，正确的是（ ）
A. 图象的对称轴是直线B. 抛物线的顶点为
C. 当时，函数y有最大值D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数的性质逐一判断解题即可.
【详解】解：A. 图象的对称轴是直线，说法不正确；
B. 抛物线的顶点为，说法不正确；
C. 当时，函数y有最小值，说法不正确；
D. 当时，y随x的增大而增大，说法正确；
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.
4. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键．
5. 如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（ ）

A. 5B. 6C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得，再利用勾股定理得，进而可求解，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
详解】解：连接，如图：

为直径，且，，
，
在中，，根据勾股定理得：
，
，
，
故选C．
6. 如图，在平行四边形中，为上一点，，连结交于点，若的面积为4，则四边形的面积等于（ ）
A. 50B. 35C. 31D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据四边形是平行四边形得到，得到，结合得到，即可得到，结合的面积是4即可得到四边形的面积，即可得到，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，，
设高的公比为k，底的公比为m，
∴，，，，
∵的面积是4，
∴，即，
∴，
∴四边形的面积是：，
故选：C．
7. “直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加2件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清“每件利润实际售价成本价，销售量原销售量变化量，总利润每件利润数量”是解题的关键．
【详解】解：解：设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，则每件盈利元，每天可销售件，
根据题意得：，
故选C．
8. 已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（ ）
A. 1B. 0C. 2019D. -2019
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式得出，，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵方程的两根分别是和，
∴，，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
9. 已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得分别是的角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键．
【详解】解：连接，

∵是的内心，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点又是的外心，
∴，
故选：．
10. 如图，等边三角形的边长为2，点是的中心（三角形三条中垂线的交点），，绕点旋转分别交线段于两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，，则可对①②进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，最小，的周长最小，计算出此时的长则可对④进行判断．
【详解】解：连接、，如图，

为等边三角形，
，
点是的中心，
，、分别平分和，
，即，
而，即，
，且，，
，
，，所以①正确；
，所以②正确；
，
四边形的面积，所以③正确；
作于，如图，则，
，
，
，，
，
，
的周长，
当时，最小，的周长最小，此时，
周长的最小值，
④正确．
综上，四个结论都是正确的，
故选：D．
二、填空题（本大题每题3分，共18分）
11. 抛物线的对称轴是______．
【答案】直线
【解析】
【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴．把二次函数的解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴对称轴是直线，
故答案为：直线．
12. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】两点关于原点对称，则两点的横纵坐标互为相反数，由此即可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的对称，理解“两点关于原点对称，则两点的横纵坐标互为相反数”是解题的关键．
13. 函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得方程的解是___________．

【答案】，
【解析】
【分析】根据题意知的解为函数与的交点的横坐标，根据图象得到答案．
【详解】解：根据题意知的解为函数与的交点的横坐标，
由图象知：函数与的交点的横坐标，，
故方程的解是，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况，理解函数图象的交点横坐标和方程的根的联系是解题的关键．
14. 若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是____________
【答案】
【解析】
【分析】已知半径为4 的半圆形纸片，就可以求出半圆形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以求出底面半径，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，就可以根据勾股定理求出圆锥的高．
【详解】解：半圆形弧长为：l=，
设圆锥底面半径为r，
则：2πr=4π，所以，r=2，
因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，
设圆锥高为h，所以h2+r2=42，
即：h2=16-4=12，
解得h=，
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15. 如图，某运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝-x2＋x＋6，则此运动员将铅球推出的距离是____．
【答案】3m
【解析】
【分析】根据题意，令，取的值即可
【详解】铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝-x2＋x＋6，
令
即-
即
解得
根据题意，
故答案为：3m
【点睛】本题考查了二次函数的应用，令求得与轴的交点坐标是解题的关键．
16. 如图，以为圆心，半径为6的圆与轴交于A，B两点，与轴交于C，D两点，点为上一动点，于，点在的运动过程中，线段的长度的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答．
【详解】解：连接，作，连接，
∵，
∴
在中，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点F在以为直径的圆M上移动，
当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为，
故答案为．
【点睛】此题考查了垂径定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题，属于中考填空题值的压轴题．
三、解答题（本大题9题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程的能力．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18. 在中，是斜边上的高．

（1）证明：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；
（2）根据（1）结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
【小问2详解】
∵
∴，
又
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
19. 已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移：
（1）将抛物线写成顶点式，根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，即可求解；
（2）求出原抛物线与x轴的交点为，再根据平移的性质可得，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
所以抛物线的顶点坐标为．
【小问2详解】
解：令得，，
解得．
所以原抛物线与x轴的交点为，
又因为将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，
所以，
解得．
故m的值为3．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．
（1）画出关于原点成中心对称的；
（2）画出绕点按逆时针方向旋转所得到的；
（3）求线段旋转到线段扫过的图形面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）线段旋转到线段扫过的图形面积为．
【解析】
【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称、扇形面积公式．
（1）根据中心对称的性质找到对应点，作图即可；
（2）根据旋转的性质找到对应点，依次连接作图，即可得出答案；
（3）先求得，，再利用扇形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示：
；
【小问2详解】
解：如图所示；
【小问3详解】
解：，，
∴线段旋转到线段扫过的图形面积为．
21. 某中学为了提高学生的综合素质，成立了以下社团：．机器人，．围棋，．羽毛球，．电影配音．每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图中所占扇形的圆心角为．
根据以上信息，解答下列问题：
这次被调查的学生共有 人；
请你将条形统计图补充完整；
若该校共有学生加入了社团，请你估计这名学生中有多少人参加了羽毛球社团；
在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）.
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图得出机器人所占的比，再用即可求解；
（2）用调查总人数-机器人社团人数-围棋社团人数-电影配音社团人数即可求解；
（3）用1000乘以羽毛球人数所占的百分比即可求解；
（4）根据题意列出树状图即可求解.
【详解】解：类有人，所占扇形的圆心角为，
这次被调查的学生共有：（人）；
故答案为；
项目对应人数为：（人）；
补充如图．
（人）
答：这名学生中有人参加了羽毛球社团；
画树状图得：
共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种，
（选中甲、乙）．
【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握统计图和树状图是解题的关键.
22. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中．
（1）写出关于的函数解析式，并求出的取值范围；
（2）当该矩形菜园的面积为．求边的长；
（3）当边的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）；
（2）的长为；
（3）当时，面积最大，最大面积为．
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用．
（1）设菜园的宽为，则为，由面积公式写出与的函数关系式，进而求出的取值范围；
（2）令求得的值即可；
（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．
【小问1详解】
解：设这个菜园垂直于墙的一边的长为．
则，①
则，
由，
解②得：，
解③得：，
所以的取值范围为：，
所以；
【小问2详解】
解：由题意得：，
整理得：，解得：，
∵，所以不符合题意，取，
即的长为；
【小问3详解】
解：，
∵，抛物线开口向下，S有最大值，
又∵，
∴当时，面积最大，最大面积为．
23. 如图，为外一点，为的切线，切点分别为，直线交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）．
【解析】
【分析】（1）连接，利用圆周角定理，同圆的半径相等，切线的性质，等腰三角形的性质和等量代换解答即可；
（2）利用直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
（3）设，则，，，；再证明，得到，代入即可解答．
小问1详解】
证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）知：，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：设，则，
∴，
∴，．
∵、为的切线，
∴，平分，
∴．
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：．
解得：或（不合题意，舍去），
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连接是解决此类问题常添加的辅助线．
24. 如图，、、、是上的四个点，．
（1）判断的形状，并证明你的结论．
（2）求证：．
（3）若，点P是弧上一动点（异于点，），求的最大值．
【答案】（1）是等边三角形，理由见详解
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明；
（2）在上截取，得到为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可；
（3）根据（2）可知，即当为的直径时最大，此时也最大，结合解直角三角形的知识，问题随之得解．
【小问1详解】
解：是等边三角形，理由如下：
由圆周角定理得，，，
∴是等边三角形；
【小问2详解】
在上截取，如图，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴
∴，
∴．
【小问3详解】
根据（2）可知，
即当为的直径时最大，此时也最大，如图，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定，圆中直径是最长的弦等，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
25. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点为．

（1）求顶点的坐标；
（2）点在第二象限的抛物线上，连接．设交轴于点，过点作轴，垂足为，连接，．求证：．
（3）若将线段向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，请直接写出常数的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）或或．
【解析】
【分析】（1）将代入得，求得抛物线的解析式，化为顶点式，即可求解；
（2）过点作轴，过点作于点，设与轴交于点， 与轴交于点，设，则，，证明，求得，进而可得的正切相等，即，即可得证；
（3）分为和两种情形，抛物线的顶点坐标为，当时，顶点在也符合题意，从而求得结果．
【小问1详解】
解：将代入得，
，
解得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作轴，过点作于点，设与轴交于点， 与轴交于点

设，则，，
∵，则，
∵，
则，，
∵
∴
∴即，
解得：，
∴，
∴，，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，将线段向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，
对应的点的坐标为，
当时，抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，
当时，，
即，
当时，顶点的纵坐标为时，则，解得：，也符合题意，
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数图像与轴的交点与一元二次方程的关系，正切的定义，分类讨论等知识，解决问题的关键是正确的进行分类讨论．