数学九年级上册1.1 二次函数当堂检测题

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\l "_Tc1441" 【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】 PAGEREF _Tc1441 \h 1
\l "_Tc10308" 【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】 PAGEREF _Tc10308 \h 2
\l "_Tc30807" 【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】 PAGEREF _Tc30807 \h 3
\l "_Tc5145" 【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】 PAGEREF _Tc5145 \h 4
\l "_Tc16659" 【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】 PAGEREF _Tc16659 \h 6
\l "_Tc3290" 【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】 PAGEREF _Tc3290 \h 7
【知识点1】
当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值.
【题型1 利用一般式确定二次函数解析式】
【例1】（2022秋•闽侯县期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足下表：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）利用上表，在平面直角坐标系画出这条抛物线；
（3）直接写出，当x取什么值时，y＞0？
【变式1-1】（2022秋•淮安区期末）已知一个二次函数的图象过（﹣1，10）、（1，4）、（0，3），求这个二次函数的解析式．
【变式1-2】（2022秋•大连期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（2，0），（4，2）两点．求这个二次函数的解析式并写出图象的对称轴和顶点．
【变式1-3】（2022秋•上城区期中）已知二次函数y1＝ax2+bx+c，过（1，﹣32），在x＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1交于点P（m，0）．
（1）求m的值；
（2）求这个二次函数解析式；
（3）求y1大于y2时，x的取值范围．
【知识点2】
若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数.
【题型2 利用顶点式确定二次函数解析式】
【例2】（2022秋•长汀县校级月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该图象的顶点坐标；
（3）观察图象，当y＞0时，求自变量x的取值范围．
【变式2-1】（2022秋•西城区校级期中）抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求抛物线解析式．
【变式2-2】（2022秋•凉州区校级月考）已知某二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为 .（直接写出答案）
【变式2-3】（2022秋•汉滨区校级月考）已知抛物线顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【知识点3】
已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值．
【题型3 利用两根式确定二次函数解析式】
【例3】（2022•包头）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且图象经过点C（0，﹣3），求这个二次函数的解析式．
【变式3-1】（2022秋•温州校级月考）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点为D．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）求点D的坐标及△ABD的面积．
【变式3-2】（2022春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A（1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．
（2）求直线CM的解析式．
【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．
【知识点4】
将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．
【题型4 利用平移变换确定二次函数解析式】
【例4】（2022秋•宜春期末）在平面直角坐标系中，抛物线N过A（﹣1，3），B（4，8），O（0，0）三点
（1）求该抛物线和直线AB的解析式；
（2）平移抛物线N，求同时满足以下两个条件的平移后的抛物线解析式：
①平移后抛物线的顶点在直线AB上；
②设平移后抛物线与y轴交于点C，如果S△ABC＝3S△ABO．
【变式4-1】（（2022秋•河东区校级期中）已知抛物线y＝﹣2x2+4x+3．
（1）求抛物线的顶点坐标，对称轴；
（2）当x＝ 时，y随x的增大而减小；
（3）若将抛物线进行平移，使它经过原点，并且在x轴上截取的线段长为4，求平移后的抛物线解析式．
【变式4-2】（2022秋•长葛市校级月考）已知直线y＝x+1与x轴交于点A，抛物线y＝﹣2x2的顶点平移后与点A重合．
（1）求平移后的抛物线C的解析式；
（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线C上，且x1＜x2，试比较y1，y2的大小．
【变式4-3】（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝﹣2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．
【知识点5】
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
【题型5 利用对称变换确定二次函数解析式】
【例5】（2022•莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax2﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线W1的表达式；
（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．
【变式5-1】（2022秋•淮南月考）已知抛物线y＝x2+2x﹣1，求与这条抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式．
【变式5-2】（2022秋•南京期末）已知二次函数的图象如图所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）观察图象，当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为 ；
（3）将该二次函数图象沿x轴翻折后得到新图象，新图象的函数表达式为 ．
【变式5-3】（2022•雁塔区校级模拟）已知抛物线L：y＝ax2﹣2x﹣3a与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，点D为抛物线L的顶点，抛物线L′与L关于y轴对称．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）在抛物线L′上是否存在点P，使得△PBC的面积等于四边形OCDB的面积？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【知识点6】
此类题目只给出一些条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．
【题型6 二次函数解析式的确定（条件开放性）】
【例6】（2022•林州市一模）已知二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，且图象不经过原点，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ．
【变式6-1】（2022•虹口区二模）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是 ．
【变式6-2】（2022秋•二道江区校级月考）老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数的图象经过第一、二、四象限；
乙：当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大；
丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点；
已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数 ．
【变式6-3】（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y＝（x﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式： ．x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3.5
1
﹣0.5
﹣1
﹣0.5
1
3.5
…