衡阳县第四中学2024届高三上学期11月月考（期中）数学试卷(含答案)

这是一份衡阳县第四中学2024届高三上学期11月月考（期中）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、设集合,,则( )
A.B.C.D.
2、已知复数,则在复平面内复数z对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、已知是奇函数,将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.若的最小正周期为.则( )
A.B.C.D.1
4、已知平面单位向量,,满足,则( )
A.B.C.D.
5、已知函数的极小值为a,极小值点为b,零点为c.若底面半径为1的圆锥的高,则该圆锥的表面积为( )
A.B.C.D.
6、某公司年会的抽奖环节准备了甲、乙、丙、丁四个封闭的盒子,盒子内装有现金.为活跃气氛,主持人通过大屏幕给出四个提示,且只有一个提示是真的.提示1：四个盒子中装的现.金不都是3000元;提示2：乙盒子中装的现金是3000元;提示3：四个盒子中装的现金都是3000元;提示4：丁盒子中装的现金不是5000元,由此可以推断( )
A.甲盒子中装的现金是3000元B.乙盒子中装的现金是3000元
C.丙盒子中装的现金是3000元D.丁盒子中装的现金是5000元
7、已知的定义域为R,为奇函数,为偶函数,若当时,,则( )
A.B.0C.1D.e
8、若,则( )
A.B.
C.D.
9、在某市高二年级举行的一次体育统考中,共有名考生参加考试.为了解考生的成绩情况,随机抽取了n名考生的成绩,其成绩均在区间,按照,,,,分组作出如图所示的频率分布直方图.若在样本中,成绩落在区间的人数为32,则( )
A.
B.考生成绩的中位数为71
C.考生成绩的第70百分位数为75
D.估计该市考生成绩的平均分为70.6 (每组数据以区间的中点值为代表)
10、已知正数a,b满足,则( )
A.B.C.D.
11、如图所示,该几何体由一个直三棱柱和个四棱锥组成,,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若平面与平面ACD的交线为l,则
C.三棱柱的外接球的表面积为
D.当该几何体有外接球时,点D到平面的最大距离为
12、已知O为坐标原点,F为抛物线的焦点,过点的直线交E于A,B两点,直线AF,BF分别交E于C,D,则( )
A.的准线方程为B.
C.的最小值为4D.的最小值为
二、填空题
13、已知,,,则_________.
14、已知函数则函数的零点个数为________.
15、某同学喜爱篮球和跑步运动.在暑假期间,该同学下午去打篮球的概率为.若该同学下午去打篮球,则晚上一定去跑步;若下午不去打篮球,则晚上去跑步的概率为,已知该同学在某天晚上去跑步,则下午打过篮球的概率为____________.
三、双空题
16、“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的数学思想方法.在切点附近,用曲线在该点处的切线近似代替曲线就是这一思想的典型应用.曲线在点处的切线方程为_________,已知,利用上述“切线近以代替曲线”的思想计算”所得结果为__________.(结果用分数表示)
四、解答题
17、记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,的面积为S,.
(1)求C;
(2)若,,设D为边AB的中点,求CD.
18、如图,在三棱锥中,平面ABC,,,M是VB 的中点.N为BC上的动点.
(1)证明：平面平面VBC;
(2)当平面AMN时,求平面AMN与平面ABC夹角的余弦值.
19、已知数列满足,,.
(1)求证：数列是等差数列;
(2)求数列的前n项和.
20、甲同学现参加一项答题活动,其每轮答题答对的概率均为,且每轮答题结果相互独立.若每轮答题答对得5分,答错得0分,记第i轮答题后甲同学的总得分为,其中,2,···,n.
(1)求;
(2)若乙同学也参加该答题活动,其每轮答题答对的概率均为,并选择另一种答题方式答题：从第轮答题开始,若本轮答对,则得20分,并继续答题;若本轮答错,则得0分,并终止答题,记乙同学的总得分为Y.证明：当时,.
21、已知椭圆C的中心在坐标原点,两焦点,在x轴上,离心率为,点P在C上,且的周长为6.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点的动直线l与C相交于A,B两点,点B关于x轴的对称点为D,直线AD与x轴的交点为E,求的面积的最大值.
22、已知函数.
（1）当时,求的图象在点处的切线方程;
（2）当时,证明：.
参考答案
1、答案：B
解析：,故.
2、答案：A
解析：因为,
所以复数z在复平面内对应的点是,位于第一象限.
故选：A.
3、答案：A
解析：因为是奇函数,所以,
所以,因为,所以,则,.
由,得,所以.
故选：A.
4、答案：D
解析：由可知,两边同时平方得,,
故.
故选：D.
5、答案：B
解析：由题意得,令,解得,则当时,
,函数单调递减;当时,,函数单调递增,
所以函数的极小值,极小值点.令,解得,
所以,所以,所以圆锥的母线长为,该圆锥的表面积为
.
故选：B.
6、答案：D
解析：因为提示1和提示3矛盾,所以提示1和提示3一真一假,因此提示2和4是假的.提示2为假能够推断乙盒子中装的现金不是3000元,故B错误;由提示4为假可知,丁盒子中装的现金是5000元,故D正确;由提示2和提示4为假能判断提示1正确,提示3错误,但无法判断甲、丙两个盒子中装的现金是多少,故A,C错误.
故选：D.
7、答案：C
解析：为奇函数.即.
所以关于中心对称;为偶函数.即.
所以关于直线对称.所以.
故.即是周期为8的周期函数,
所以.
故选：C.
8、答案：B
解析：设,,.
所以在上单调递增.
因为,且在上,所以.
设,
当时.,所以,所以在上单调递减,
所以,即,所以.
故选：B.
9、答案：BD
解析：对于A,由频率分布直方图可得,
则,故A错误;
对于B,考生成绩的中位数为,故B正确;
对于C,考生成绩的第70百分位数为,故C错误;
对于D,该市考生成绩的平均分,故D正确.
故选：BD.
10、答案：ABD
解析：,.所以.即.
因为.所以.故A正确;
.故B正确;
取,.则满足,.此时.故C不正确;
,所以,
同理,所以.故D正确.
故选：ABD.
11、答案：BD
解析：对于选项A,若,又因为平面ABC,但是点D不一定在平面ABC上,所以A不正确;
对于选项B,因为,所以平面,平面平面,平面ACD,所以,所以B正确;
对于选项C,取的中心O,的中心,的中点为该三被柱外接球的球心,所以外接球的半径,所以外接球的表面积为,所以C不正确;
对于选项D,该几何体的外接球即为三棱柱的外接球,的中点为该外接球的球心,该球心到平面的距离为,点D到平面的最大距离为,所以D正确.
故选：BD.
12、答案：ABD
解析：对于A.由题意,所以E的准线方程为,故A正确;
对于B.设,设直线,与抛物线联立可得
,,,,
所以,故B正确;
对于C,,故C错误;
对于D,设直线,与抛物线联立可得,,,
同理,,
由,
当且仅当时等号成立,故D正确.
故选：ABD.
13、答案：
解析：,两边平方得.所以.
故.因为.则.又因为,
所以.
14、答案：3
解析：令得.在同一直角坐标系中作出(图中细实线所示),(图中粗实线所示)的大致图象如下：
由图象可知,函数与的图象有3个交点,即函数有3个零点.
15、答案：
解析：设下午打篮球为事件A.晚上跑步为事件B,
易知,.
,
.
16、答案：,
解析：由,得,所以曲线在点处的切线斜率.
所以切线方程为.由题意知在附近,,所以,
所以,即.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意,
,,;
（1）由余弦定理：,
又,
,D为边AB的中点, ,
,.
18、答案：（1）见解析
（2）
解析：(1)证明：因为平面ABC,平面VAB,所以平面平面ABC.
又.平面平面,平面ABC,
所以平面VAB.又平面VAB,所以.
又,M是VB的中点,所以.又,平面VBC.
所以平面VBC.因为平面AMN,所以平面平面VBC.
(2)以A为坐标原点,AB,AV所在直线分别为y,z轴,过点A且与BC平行的直线为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为平面,平面,平面平面,所以.又M是VB的中点,所以N是BC的中点,
则,,,,,.
所以,,.
则平面ABC的一个法向量为.
设平面AMN的法向量为,
则即
令,得,,所以平面AMN的一个法向量为.
设平面AMN与平面ABC的夹角为,
所以,
故平面AMN与平面ABC夹角的余弦值为.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：(1)由,可得,则,
令,则再结合,解得
,又,
是首项为1,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知,
,
.
20、答案：（1）165
（2）见解析
解析：(1)设,故,,
故;
(2)由(1)知,记乙同学的答题次数为,
且的所有可能取值为1,2,···,n,
且,,···,,
,
且,
,
当时,.
21、答案：（1）
（2）
解析：(1)设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a,b,c,
因为,则.
因为,则,即.
于是,解得,从而,.
因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆C的标准方程是.
(2)设直线l的方程为,代入椭圆方程,得,
即.设点,,
则,.
因为点B,D关于x轴对称,则.设点,
因为A,E,D三点共线,则,即,
即,即,
得
.
所以点为定点,.
令,
则.
当且仅当时取等号,所以的面积的最大值为.
22、答案：（1）
（2）见解析
解析：(1)当时, ,
则, ,,
所以所求切线的方程为.
(2)证明：(法一)当,时,要证,
只需证,
即要证.
易证,即,当且仅当时,等号成立.
令.则,所以,
即,因此,只需证对恒成立.
令,则.
令,则,在上单调递减,在上单调
递增,所以,所以在上单调递增,
所以.故当时,恒成立.
(法二)要证,由于,,
只需证.
当时,.
因为,所以.
当时,令.则,
所以在上单调递增.则,
所以,综上,恒成立,
所以,即.