2018年黑龙江省牡丹江市中考数学试题及答案

这是一份2018年黑龙江省牡丹江市中考数学试题及答案，共32页。试卷主要包含了下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣3•a4=2a﹣12B．（﹣3a2）3=﹣9a6 C．a2÷a×=a2 D．a•a3+a2•a2=2a4
3．由5个完全相同的小长方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3B．x≥﹣3C．x＜﹣3D．x＞﹣3
5．一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．3，2B．2，2C．2，3D．2，4
6．如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．35B．45C．55D．65
7．如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．2
8．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（ ）
A．（，）或（﹣，﹣） B．（，）或（﹣，﹣）
C．（﹣，﹣）或（，） D．（﹣，﹣）或（，）
9．将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）
A．（0，3）或（﹣2，3） B．（﹣3，0）或（1，0）
C．（3，3）或（﹣1，3） D．（﹣3，3）或（1，3）
10．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
11．如图，直线y=kx﹣3（k≠0）与坐标轴分别交于点C，B，与双曲线y=﹣（x＜0）交于点A（m，1），则AB的长是（ ）
A．2 B． C．2 D．
12．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：
①FG=2AO；②OD∥HE；③=；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC
正确结论的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
二.填空题（每小题3分，满分24分）
13．从党的“十八大”到“十九大”经历43800小时，我国的“天宫、蛟龙、天眼、悟空、墨子、大飞机”等各项科技创新成果“井喷”式发展，这些记录下了党的极不平凡的壮阔进程，请将数43800用科学记数法表示为
14．如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是 ．
15．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是 ．
16．一列数1，4，7，10，13，……按此规律排列，第n个数是
17．小明按标价的八折购买了一双鞋，比按标价购买节省了40元，这双鞋的实际售价为
元．
18．用一个圆心角为240°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
19．矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M在对角线AC上，且AM：MC=2：3，过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．在AC上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则AP的长为 ．
20．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是 （只填序号）
三.解答题（满分60分）
21．（4分）先化简，再求值：•﹣，其中x=2．
22．（4分）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
23．（6分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为 ．
（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣，顶点坐标为（﹣，）
24．（6分）在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=3，BC=4，CD=1．以AD为腰作等腰△ADE，使∠ADE=90°，过点E作EF⊥DC交直线CD于点F．请画出图形，并直接写出AF的长．
25．（6分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统计图解答下列问题：
（1）本次活动抽查了 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是 度；
（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？
26．（8分）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲的骑行速度为 米/分，点M的坐标为 ；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
27．（8分）在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM= ，CF= ．
28．（9分）某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题：
（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？
（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值．
29．（9分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，则k= ；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2018年黑龙江省牡丹江市中考数学试卷解析
一.选择题（每小题3分，满分36分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正五边形，是轴对称图形，不是中心对称图形，
正方形和正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，
故选：C．

2．下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣3•a4=2a﹣12B．（﹣3a2）3=﹣9a6 C．a2÷a×=a2D．a•a3+a2•a2=2a4
【解答】解：A、2a﹣3•a4=2a，故此选项错误；
B、（﹣3a2）3=﹣27a6，故此选项错误；
C、a2÷a×=1，故此选项错误；
D、a•a3+a2•a2=2a4，正确．
故选：D．

3．由5个完全相同的小长方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：结合主视图、左视图可知俯视图中右上角有2层，其余1层，
故选：A．

4．在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤﹣3B．x≥﹣3C．x＜﹣3D．x＞﹣3
【解答】解：在函数y=中，x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
故自变量x的取值范围是：x≥﹣3．
故选：B．

5．一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．3，2B．2，2C．2，3D．2，4
【解答】解：∵一组数据4，2，x，3，9的平均数为4，
∴（4+2+x+3+9）÷5=4，
解得，x=2，
∴这组数据按照从小到大排列是：2，2，3，4，9，
∴这组数据的众数是2，中位数是3，
故选：C．

6．如图，在长为15，宽为12的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．35B．45C．55D．65
【解答】解：设小矩形的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
∴S阴影=15×12﹣5xy=45．
故选：B．

7．如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为（ ）
A．3B．6C．4D．2
【解答】解：如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D
∵OB=OC，OD⊥BC
∴CD=BC，∠COD=∠BOC
又∵∠BOC=2∠A，BC=2
∴∠COD=∠A，CD=
∵sin∠BAC=
∴sin∠COD=
∴OC=3
故选：A．

8．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，﹣1），B（2，﹣2），C（4，﹣1），将△ABC绕着原点O旋转75°，得到△A1B1C1，则点B1的坐标为（ ）
A．（，）或（﹣，﹣）B．（，）或（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）或（，）D．（﹣，﹣）或（，）
【解答】解：由点B坐标为（2，﹣2）
则OB=，且OB与x轴、y轴夹角为45°
当点B绕原点逆时针转动75°时，
OB1与x轴正向夹角为30°
则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（，）；
同理，当点B绕原点顺时针转动75°时，
OB1与y轴负半轴夹角为30°，
则B1到x轴、y轴距离分别为，，则点B1坐标为（﹣，﹣）；
故选：C．

9．将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）
A．（0，3）或（﹣2，3）B．（﹣3，0）或（1，0）C．（3，3）或（﹣1，3）D．（﹣3，3）或（1，3）
【解答】解：将抛物线y=x2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线为y=x2+2x
当该抛物线与直线y=3相交时，
x2+2x=3
解得：x1=﹣3，x2=1
则交点坐标为：（﹣3，3）（1，3）
故选：D．

10．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【解答】解：设CD=x，则AE=x﹣1，
由折叠得：CF=BC=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3，∠A=90°，AB∥CD，
∴∠AED=∠CDF，
∵∠A=∠CFD=90°，AD=CF=3，
∴△ADE≌△FCD，
∴ED=CD=x，
Rt△AED中，AE2+AD2=ED2，
（x﹣1）2+32=x2，
x=5，
∴CD=5，
故选：B．

11．如图，直线y=kx﹣3（k≠0）与坐标轴分别交于点C，B，与双曲线y=﹣（x＜0）交于点A（m，1），则AB的长是（ ）
A．2B．C．2D．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，
∵点A（m，1）在y=﹣上，
∴﹣=1，
解得：m=﹣2，即A（﹣2，1），
则AD=2、OD=1，
由y=kx﹣3可得B（0，﹣3），即BO=3，
∴BD=4，
则AB===2，
故选：A．

12．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，AE的垂直平分线分别交AD，BC及AB的延长线于点F，G，H，连接HE，HC，OD，连接CO并延长交AD于点M．则下列结论中：
①FG=2AO；②OD∥HE；③=；④2OE2=AH•DE；⑤GO+BH=HC
正确结论的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：①如图，过G作GK⊥AD于K，
∴∠GKF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，
∴∠ADE=∠GKF，
∵AE⊥FH，
∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，
∵∠OAF+∠AED=90°，
∴∠AFO=∠AED，
∴△ADE≌△GKF，
∴FG=AE，
∵FH是AE的中垂线，
∴AE=2AO，
∴FG=2AO，
故①正确；
②∵FH是AE的中垂线，
∴AH=EH，
∴∠HAE=∠HEA，
∵AB∥CD，
∴∠HAE=∠AED，
Rt△ADE中，∵O是AE的中点，
∴OD=AE=OE，
∴∠ODE=∠AED，
∴∠HEA=∠AED=∠ODE，
当∠DOE=∠HEA时，OD∥HE，
但AE＞AD，即AE＞CD，
∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，
∴OD与HE不平行，
故②不正确；
③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，
∴AE=x，AO=，
易得△ADE∽△HOA，
∴，
∴，
∴HO=x，
Rt△AHO中，由勾股定理得：AH==，
∴BH=AH﹣AB=﹣2x=，
∴=，
延长CM、BA交于R，
∵RA∥CE，
∴∠ARO=∠ECO，
∵AO=EO，∠ROA=∠COE，
∴△ARO≌△ECO，
∴AR=CE，
∵AR∥CD，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
④由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，
∴△HAE∽△ODE，
∴，
∵AE=2OE，OD=OE，
∴OE•2OE=AH•DE，
∴2OE2=AH•DE，
故④正确；
⑤由③知：HC==x，
∵AE=2AO=OH=x，
tan∠EAD=，
∵AO=，
∴OF=x，
∵FG=AE=x，
∴OG=x﹣=x，
∴OG+BH=x+x，
∴OG+BH≠HC，
故⑤不正确；
本题正确的有；①③④，3个，
故选：B．

二.填空题（将正确的答案填在相应的横线上，每小题3分，满分24分）
13．从党的“十八大”到“十九大”经历43800小时，我国的“天宫、蛟龙、天眼、悟空、墨子、大飞机”等各项科技创新成果“井喷”式发展，这些记录下了党的极不平凡的壮阔进程，请将数43800用科学记数法表示为 4.38×104
【解答】解：将43800用科学记数法表示为：4.38×104．
故答案为：4.38×104．

14．如图，AC=BC，请你添加一对边或一对角相等的条件，使AD=BE．你所添加的条件是 ∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD等 ．
【解答】解：因为AC=BC，∠C=∠C，所以添加∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD，
可得△ADC与△BEC全等，利用全等三角形的性质得出AD=BE，
故答案为：∠A=∠B或∠ADC=∠BEC或CE=CD．

15．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是 ．
【解答】解：画树形图得：
由树形图可知共4种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数有2种，所以概率是=．
故答案是．

16．一列数1，4，7，10，13，……按此规律排列，第n个数是 3n﹣2
【解答】解：通过观察得出：依次为1，4，7，…，的一列数是首项为1，公差为3的等差数列，
所以第n个数为：1+（n﹣1）×3=3n﹣2，
故答案为：3n﹣2

17．小明按标价的八折购买了一双鞋，比按标价购买节省了40元，这双鞋的实际售价为 160 元．
【解答】解：设这双鞋的标价为x元，
根据题意，得0.8x=x﹣40
x=200.200﹣40=160（元）
故答案是：160．

18．用一个圆心角为240°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 2 ．
【解答】解：设圆锥底面的半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=2，
故答案为：2

19．矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点M在对角线AC上，且AM：MC=2：3，过点M作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F．在AC上取一点P，使∠MEP=∠EAC，则AP的长为 或 ．
【解答】解：如图：
∵矩形ABCD
∴AB=CD=6，AD=BC=8
∴AC=10
∵AM：MC=2：3
∴AM=4，MC=6
∵tan∠DAC==
∴
∴EM=3
若P在线段AM上，
∵∠EAC=∠PEM
∴tan∠PEM=tan∠DAC=
∴
∴PM=
∴AP=AM﹣PM=
若P在线段MC上，
∵∠EAC=∠PEM
∴tan∠PEM=tan∠DAC=
∴
∴PM=
∴AP=AM+PM=
∴AP的长为

20．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是 ②③④ （只填序号）
【解答】解：∵抛物线开口向下
∴a＜0，
∵对称轴为x=﹣1
∴=﹣1
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴
∴c＞0
∴abc＞0故①错误
∵由图象得x=﹣3时y＜0
∴9a﹣3b+c＜0 故②正确，
∵图象与x轴有两个交点
∴△=b2﹣4ac＞0 故③正确
∵a﹣b=a﹣2a=﹣a＞0
∴a＞b故④正确
故答案为②③④

三.解答题（满分60分）
21．（4分）先化简，再求值：•﹣，其中x=2．
【解答】解：原式=•﹣
=﹣
=﹣
=，
当x=2时，原式==．

22．（4分）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD．
【解答】证明：延长AD交⊙O于E，
∵OC⊥AD，
∴，AE=2AD，
∵，
∴，
∴AB=AE，
∴AB=2AD．

23．（6分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为 ．
（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣，顶点坐标为（﹣，）
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴
解得
∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3
y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4）
（2）∵B（3，0），D（1，4）
∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（﹣2，2）
连接H′D与y轴交于点P，则PD+PH最小
且最小值为：=
∴答案：

24．（6分）在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=3，BC=4，CD=1．以AD为腰作等腰△ADE，使∠ADE=90°，过点E作EF⊥DC交直线CD于点F．请画出图形，并直接写出AF的长．
【解答】解：如图1中，作AN⊥CF于N，DM⊥AB于M．
∵∠B=∠C=∠DMB=90°，
∴四边形BCDM是矩形，易证四边形AMDN是矩形，
∴CD=BM=1，AM=AB﹣BM=2，DM=BC=AN=4，DN=AM=2，
∵∠AMD=∠DFE，∠ADM=∠FDE，DA=DE，
∴△ADM≌△EDF，
∴DF=DM=4，
∴FN=DF﹣DN=2，
在Rt△AFN中，AF==2．
如图2中，作AN⊥FD交FD的延长线于N．
易证AN=BC=4，△ADN≌△DEF，
∴DF=AN=4，DN=CN﹣CD=2，
∴FN=6，
在Rt△AFN中，AF==2．

25．（6分）某校在一次社会实践活动中，组织学生参观了虎园、烈士陵园、博物馆和植物园，为了解本次社会实践活动的效果，学校随机抽取了部分学生，对“最喜欢的景点”进行了问卷调查，并根据统计结果绘制了如下不完整的统计图．其中最喜欢烈士陵园的学生人数与最喜欢博物馆的学生人数之比为2：1，请结合统计图解答下列问题：
（1）本次活动抽查了 60 名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是 36 度；
（4）该校此次参加社会实践活动的学生有720人，请求出最喜欢烈士陵园的人数约有多少人？
【解答】解：（1）本次活动调查的学生人数为18÷30%=60人，
故答案为：60；
（2）设最喜欢博物馆的学生人数为x，则最喜欢烈士陵园的学生人数为2x，
则x+2x=60﹣18﹣6，
解得：x=12，
即最喜欢博物馆的学生人数为12，则最喜欢烈士陵园的学生人数为24，
补全条形图如下：
（3）在扇形统计图中，最喜欢植物园的学生人数所对应扇形的圆心角是360°×=36°，
故答案为：36；
（4）最喜欢烈士陵园的人数约有720×=288人．

26．（8分）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲的骑行速度为 240 米/分，点M的坐标为 （6，1200） ；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
【解答】解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：=240（米/分），（1分）
240×（11﹣1）÷2=1200（米），
则点M的坐标为（6，1200），（2分）
故答案为：240，（6，1200）；
（2）设MN的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵y=kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），
∴，
解得，（4分）
∴直线MN的解析式为：y=﹣240x+2640；（5分）
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=﹣240x+2640；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
乙的速度：1200÷20=60（米/分），
如图1所示：∵AB=1200，AC=1020，
∴BC=1200﹣1020=180，
分5种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x=180﹣60x，
x=＞3，
此种情况不符合题意；
②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，
∴1020﹣240x=60x﹣180，
x=4，
③当＜x≤6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，
∴240x﹣1020=60x﹣180，
x=＜，
此种情况不符合题意；
④当x=6时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：6×60﹣180=180（米），
即x=6时两人距C地的路程相等，
⑤当x＞6时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]=60x﹣180，x=6，
此种情况不符合题意，
当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180=60x﹣180，
x=8，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．（8分）

27．（8分）在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM= 1 ，CF= 1+或1﹣ ．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠C=45°，
∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，
∴BM=MN，
在四边形ABMN中，∠BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，
∵∠ENF=135°，
∴∠BME=∠NMF，
∴△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵CN=CF+NF，
∴BE+CF=BM；
（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=NF﹣CF，
∴BE﹣CF=BM；
针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，
∴BE=NF，
∵MN⊥AC，∠C=45°，
∴∠CMN=∠C=45°，
∴NC=NM=BM，
∵NC=CF﹣NF，
∴CF﹣BE=BM；
（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴AB=AN=+1，
在Rt△ABC中，AC=AB=+1，
∴AC=AB=2+，
∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，
在Rt△CMN中，CM=CN=，
∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，
在Rt△BME中，tan∠BEM===，
∴BE=，
∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，
∴CF=BM﹣BE=1﹣
②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，
∴此种情况不成立；
③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，
∴CF=BM+BE=1+，
故答案为1，1+或1﹣．

28．（9分）某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题：
（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？
（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比（2）中某方案的利润多出20元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及a的值．
【解答】解：（1）根据题意得购进丙种图书（20﹣x﹣y）套，则有500x+400y+250（20﹣x﹣y）=7700，
所以解析式为：y=﹣x+18；
（2）根据题意得：，
解得：x，
又∵x≥1，
∴，
因为x，y，（20﹣x﹣y）为整数，
∴x=3，6，9，
即有三种购买方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套，
②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套，
③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套，
（3）若按方案一：则有13a﹣4a=20，解得a=（不是正整数，不符合题意），
若按方案二：则有8a﹣6a=20，解得a=10（符合题意），
若按方案三：则有3a﹣8a=20，解得a=﹣4（不是正整数，不符合题意），
所以购买方案是：甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10．

29．（9分）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，过点D和BC的中点H的直线交AC于点F，线段DE，CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根，请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点H，则k= ；
（3）点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P，使以点F，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（本题9分）（1）x2﹣9x+18=0，
（x﹣3）（x﹣6）=0，
x=3或6，（1分）
∵CD＞DE，
∴CD=6，DE=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE=EC==3，
∴∠DCA=30°，∠EDC=60°，
Rt△DEM中，∠DEM=30°，
∴DM=DE=，
∵OM⊥AB，
∴S菱形ABCD=AC•BD=CD•OM，
∴=6OM，OM=3，
∴D（﹣，3）；（4分）
（2）∵OB=DM=，CM=6﹣=，
∴B（，0），C（，3），
∵H是BC的中点，
∴H（3，），
∴k=3×=；
故答案为：；（6分）
（3）①∵DC=BC，∠DCB=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∵H是BC的中点，
∴DH⊥BC，
∴当Q与B重合时，如图1，四边形CFQP是平行四边形，
∵FC=FB，
∴∠FCB=∠FBC=30°，
∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°﹣30°=90°，
∴AB⊥BF，CP⊥AB，
Rt△ABF中，∠FAB=30°，AB=6，
∴FB=2=CP，
∴P（，）；
②如图2，∵四边形QPFC是平行四边形，
∴CQ∥PH，
由①知：PH⊥BC，
∴CQ⊥BC，
Rt△QBC中，BC=6，∠QBC=60°，
∴∠BQC=30°，
∴CQ=6，
连接QA，
∵AE=EC，QE⊥AC，
∴QA=QC=6，
∴∠QAC=∠QCA=60°，∠CAB=30°，
∴∠QAB=90°，
∴Q（﹣，6），
由①知：F（，2），
由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P（﹣﹣3，6﹣），即（﹣，5）；
③如图3，四边形CQFP是平行四边形，
同理知：Q（﹣，6），F（，2），C（，3），
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为：（，）或（﹣，5）或（，﹣）．（9分）