2024年中考数学真题模拟分类试题--相似（8）

这是一份2024年中考数学真题模拟分类试题--相似（8），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体左视图的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N．若DO：OB=1：2，AC=12，则MN的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．一个长方体被截去一部分后，得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
5．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，DM，BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．（ ）
A．①②③④⑤B．①②③⑤C．①②③D．①②⑤
8．如图，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，连接BD交AE于点G，FH平分∠BFG交BD于点H.则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB2=BF⋅AE②S△BGF：S△BAF=2：3③当AB=a时，BD2−BD⋅HD=a2
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
10．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2，0)，点C(a，b)，∠C=90°.则点C′的坐标为 .（结果用含a，b的式子表示）
12．如图，在正方形ABCD中，E在边CD上，BE交对角线AC于点F，CM⊥BE于M，∠CME的平分线所在直线分别交CD，AC于点N，P，连接FN．下列结论：①S△NPF：S△NPC=FM：MC；②CM=PN；③EN⋅CD=EC⋅CF；④若EM=1，MB=4，则PM=2，其中正确的是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y=33x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB=22，顶点C在直线l2：y=3x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，……，则△A2023B2023C2023的面积是 ．
三、解答题
14．如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点，连接FG，FH．易证：FH=3FG．
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
四、综合题
15．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G，交AC于点H，延长AB，DC交于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AF⋅AC=AE⋅AH；
（3）若sin∠DEA=45，求AHFH的值．
16．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2−6x+8=0的两个根（OB>OC）．请解答下列问题：
（1）求点B的坐标；
（2）若OD：OC=2：1，直线y=−x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，求tan∠MND的值；
（3）在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
17．已知：四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，点F是BC延长线上的一个动点（点F不与点C重合）.连接AF交CD于点G.
（1）如图一，当点G为CD的中点时，求证：△ADG≌△FCG.
（2）如图二，过点C作CE⊥AF，垂足为E.连接BE，设BF=x，CE=y.求y关于x的函数关系式.
（3）如图三，在（2）的条件下，过点B作BM⊥BE，交FA的延长线于点M.当CF=1时，求线段BM的长.
18．如图，MN为⊙O的直径，且MN=15，MC与ND为圆内的一组平行弦，弦AB交MC于点H.点A在MC上，点B在NC上，∠OND+∠AHM=90°.
（1）求证：MH⋅CH=AH⋅BH.
（2）求证：AC=BC.
（3）在⊙O中，沿弦ND所在的直线作劣弧ND的轴对称图形，使其交直径MN于点G.若sin∠CMN=35，求NG的长.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A
10．【答案】△MCB
11．【答案】(6−2a，−2b)
12．【答案】①④
13．【答案】240463
14．【答案】解：如图②，FH=2FG，理由如下：
连接AH、CF、AF，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，F、H分别是DE、BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，AH=CH=12BC，AF=EF=12DE，∠CAH=∠EAF=45°，
∴∠HAF=∠EAC，AHAC=AFAE=22，
∴△AHF∽△ACE，
∴FHCE=AHAC=22，
∴CE=2FH，
∵点F、G分别是DE、DC的中点，
∴CE=2FG，
∴FH=2FG；
如图③，FH=FG，理由如下：
连接AH、CE、AF，
∵△ABC与△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠AFD=∠ADE=∠ACB=∠B=30°，
∵点F、H分别是DE、BC的中点，
∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH=∠EAF=12×120°=60°，
∴∠HAF=∠EAC，AHAC=AFAE=12，
∴△AHF∽△ACE，
∴FHCE=AHAC=12，
∴CE=2FH，
∵点F、G分别是DE、DC的中点，
∴CE=2FG，
∴FH=FG.
15．【答案】（1）连接OC
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴∠D=∠OCE=90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）证明，如下：
由（1）得，∠OCE=90°，
∵∠DAC=∠CAB，
∵FG⊥AB，
∴∠FGA=90°，
∴∠AHF=∠CAB+90°，
∵∠ACE=∠OCA+90°，
∴△ACE∽△AHF，
∴ACAH=AEAF，
∴AC⋅AF=AE⋅AH．
（3）∵sin∠DEA=45，
∴OCOE=45，
设⊙O的半径为4x，
∴OE=5x，
∴CE=OE2−OC2=3x，
∵AE=OA+OE=9x，
∴AD=45×9x=365x，DE=AE2−AD2=275x，
∵DE=DC+CE，
∴DC=125x，
∵AC2=AD2+DC2=(365)2+(125)2，
∴AC=12105x，
∵△ACE∽△AHF，
∴AHFH=ACCE=12105x3x=4105．
16．【答案】（1）解：解方程x2−6x+8=0，得x1=4，x2=2．
∵OB>OC，
∴OB=4，OC=2．
∴B(−4，0)；
（2）解：∵OD：OC=2：1，OC=2
∴OD=4．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6．
∵M是AD中点，
∴MD=3．
∴M(−3，4)．
将M(−3，4)代入y=−x+b，得3+b=4．
∴b=1．
∴E(1，0)，F(0，1)．
∴∠FEO=45°．
过点C作CH⊥EN于H，过点N作NK⊥BC于K．
∵△DOC∽△NKC，DO：OC=NK：CK=2：1．
∴NK=2CK
∵∠KEN=∠FEO=45°
∴∠KNE=90°−∠KEN=45°
∴∠KEN=∠KNE
∴EK=NK=2CK
∴EC=CK
∵EC=OC−OE=2−1=1
∴CK=1，NK=2，EK=2
∴在Rt△ENK中，EN=EKcs∠KEN=2cs45°=22
在Rt△ECH中，CH=EH=EC⋅cs∠CEH=1⋅cs45°=22
∴NH=EN−EH=22−22=322
∴tan∠MND=CHNH=22322=13
（3）解：存在点Q，使△NPQ为腰长为5的等腰三角形.理由如下：
由（2）可知N（3，-2），
设P（0，m），Q（t，-t+1），
∴PN2=9+(m+2)2，QN2=2(t-3)2，PQ2=t2+(m+t-1)2.
当PN=5时，9+(m+2)2=25，解得m=2或m=-6；
当QN=5时，2(t-3)2=25，解得t=6±522；
△P′NQ1、△PNQ2、△P′NQ2是腰长为5的等腰三角形，故Q1（-4，5），Q2（6−522，52−42）.
△P′NQ3、△P′NQ4、△PNQ4是腰长为5的等腰三角形，故Q3（4，-3），Q4（6+522，−52−42）.
△PQ5N、△P′Q5N是腰长为5的等腰三角形，故Q5（6−522，52−42）.
综上可得：点Q的坐标为（-4，5）或（4，-3）或（6+522，−52−42）或（6−522，52−42）.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BF
∴∠D=∠DCF
∵G为CD中点
∴DG=CG
在△ADG和△FCG中
∠D=∠GCFDG=CG∠AGD=∠FGC
∴△ADG≌△FCG(ASA)
（2）∵四边形ABCD为矩形
∴∠ABC=90°
∵CE⊥AF
∴∠CEF=90°=∠ABC
∵∠F=∠F
∴△CEF∽△ABF
∴CEAB=CFAF
∵AB=4，BF=x
∴在Rt△ABF中，AF=AB2+BF2=x2+16
∵CE=y
∴y4=x−3x2+16
∴y=4x−12x2+16
（3）过点E作EN⊥BF于点N
∵四边形ABCD为矩形，且AD=3
∴AD=BC=3
∵AB=4，CF=1
∴AB=BF
∴△ABF为等腰直角三角形
∴∠CFE=∠BAF=45°
∵CE⊥AF
∴△CEF为等腰直角三角形
∴∠ECF=45°
∵EN⊥CF
∴EN平分CF
∴CN=NF=NE=12
在Rt△BNE中，
∵BE2=BN2+EN2
∴BE=(3+12)2+(12)2=522
∵∠ECF=∠BAF=45°
∴∠BAM=∠BCE=135°
∵BM⊥BE
∴∠MBA+∠ABE=90°
∵∠ABE+∠EBC=90°
∴∠MBA=∠EBC
∴△BAM∽△BCE
∴BMBE=BABC=43
∴BM522=43
∴BM=1023
18．【答案】（1）证明：∵∠ABC和∠AMC是AC所对的圆周角
∴∠ABC=∠AMC
∵∠AHM=∠CHB
∴△BCH∽△MAH
∴BHMH=CHAH
∴MH⋅CH=AH⋅BH
（2）连接OC，交AB于点F
∵MC与ND为一组平行弦（也可写成MC∥ND）
∴∠OND=∠OMC
∵OM=OC
∴∠OMC=∠OCM
∵∠OND+∠AHM=90°
∴∠∠OCM+∠AHM=∠OCM+∠CHB=90°
∴∠HFC=90°
∴OC⊥AB
∴AC=BC
（3）解：连接DM、DG，过D作DE⊥MN，垂足为E，设点G的对称点G′，连接G′D、G′N，
∵DG=DG′，∠G′ND=∠GND，DG′=DM，弧DM=弧DG′，
∴DG=DM，
∴△DGM为等腰三角形.
∵DE⊥MN，
∴GE=ME.
∵DN∥CM，
∴∠CMN=∠DNM.
∵MN为直径，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°.
∵DE⊥MN，
∴∠DEN=90°，
∴∠DNM+∠EDN=90°，
∴sin∠EDM=sin∠DNM=sin∠CMN=35.
∵MN=15，
∴sin∠DNM=MDMN=35，
∴MD=9.
∵sin∠EDM=35=MEMD，
∴ME9=35，
∴ME=275，
∴NG=MN-MG=MN-2ME=215.