高中物理教科版 (2019)选择性必修 第二册4 洛伦兹力的应用学案

这是一份高中物理教科版 (2019)选择性必修 第二册4 洛伦兹力的应用学案，共27页。
知识点一 利用磁场控制带电粒子运动
1．特点：只改变带电粒子的运动方向，不改变带电粒子的速度大小。
2．应用：早期电视机显像管利用随电视信号变化的磁场控制电子束的运动路径。
1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)显像管中偏转线圈中的电流恒定不变时，电子打在荧光屏上的光点是不动的。(√)
(2)电视显像管中电子的偏转是因为电场力的作用。(×)
知识点二 质谱仪
1．原理：如图所示。
2．加速
带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得
Uq＝12mv2。①
3．匀速
带电粒子在速度选择器中所受电场力和洛伦兹力平衡，粒子沿直线运动，有qE＝qvB1②
通过改变E和B1的大小，就可以控制进入磁场偏转区域的粒子速度大小。
4．偏转
带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB2＝mv2r。③
5．求解
由①②③式可以求出粒子的质量m、比荷qm等，其中由r＝1B22mUq可知电荷量相同时，半径将随质量变化。
6．质谱仪的应用
利用质谱仪可检测化学物质或核物质中的同位素和不同成分。
比荷相同的粒子经相同加速电场加速后再进入相同偏转磁场偏转，打到感光底片的位置是相同的。
2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷。(√)
3：填空
如图是质谱仪的工作原理示意图。带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器最后打在S板上。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E。平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2，平板S下方有强度为B0的匀强磁场。则此粒子带正电电荷且经过速度选择器时的速度大小为EB，选择器内磁场方向为垂直纸面向外(选填“向外”或“向内”)。
知识点三 回旋加速器
1．工作原理
如图所示，D1和D2是两个中空的半圆金属盒，它们之间有一定的电势差U。A处的粒子源产生的带电粒子在两盒之间被电场加速。D1、D2处于与盒面垂直的匀强磁场B中，粒子在磁场中做匀速圆周运动。经半个圆周(半个周期)后，当粒子再次到达两盒间的缝隙时，这时控制两盒间电势差，使其恰好改变正负，于是粒子在盒缝间再次被加速。如果粒子每次通过盒间缝隙均能被加速，粒子速度就能够增加到很大。
2．周期
粒子每经过一次加速，其轨道半径就增大一些，但粒子做圆周运动的周期不变。
3．加速条件
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期和交变电场的周期相同。
4．最大速度
vm＝BRqm(其中R为D形盒的半径)
电场电压不同会不会影响最大动能？会影响运动时间吗？
提示：不会 会
4：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)利用回旋加速器加速带电粒子，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能增大磁感应强度B和D形盒的半径R。(√)
(2)回旋加速器工作时，电场必须是周期性变化的。(√)
(3)回旋加速器中，磁场的作用是改变粒子速度的方向，便于多次加速。(√)
1．一束质量、速度和电荷量不同的正离子垂直地射入匀强磁场和匀强电场正交的区域，结果发现有些离子保持原来的运动方向，未发生任何偏转，它们速度有什么特点？
2．如果让这些不偏转离子进入另一匀强磁场中，发现这些离子又分裂成几束，对这些进入另一磁场的离子，它们的比荷是否相同？
提示：1．相等 2．不同
考点1 质谱仪
1．电场和磁场都能对带电粒子施加影响，电场既能使带电粒子加速，又能使带电粒子偏转；磁场虽不能使带电粒子速率变化，但能使带电粒子发生偏转。
2．质谱仪：利用磁场对带电粒子的偏转，由带电粒子的电荷量及轨道半径确定其质量的仪器，叫作质谱仪。
【典例1】 质谱仪是一种测定带电粒子的质量及分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示，离子源S产生的各种不同正离子束(速度可看成零)，经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场，到达记录它的照相底片P上，设离子在P上的位置到入口处S1的距离为x。
(1)设离子质量为m、电荷量为q、加速电压为U、磁感应强度大小为B，求x的大小。
(2)氢的三种同位素11H、12H、13H从离子源S出发，到达照相底片的位置距入口处S1的距离之比xH：xD：xT为多少？
[解析] (1)离子在电场中被加速时，由动能定理qU＝12mv2
进入磁场时洛伦兹力提供向心力，qvB＝mv2r，又x＝2r，
由以上三式得x＝2B2mUq。
(2)氢的三种同位素的质量数分别为1、2、3，由(1)结果知，
xH：xD：xT＝mH： mD： mT＝1∶ 2∶ 3。
[答案] (1)2B 2mUq (2)1∶ 2∶ 3
质谱仪是测量带电粒子的质量、比荷和分析同位素的工具。
由r＝1B2mUq，得
(1)粒子比荷qm＝2UB2r2
(2)质量m＝qB2r22U
可知，由r、U、B的值则可计算比荷，若再已知q，则可进一步计算出粒子的质量m。
[跟进训练]
1．(多选)质谱仪的原理如图所示，虚线AD上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，C、D处有一荧光屏。同位素离子源产生a、b两种电荷量相同的离子，无初速度进入加速电场，经同一电压加速后，垂直进入磁场，a离子恰好打在荧光屏C点，b离子恰好打在D点。离子重力不计。则( )
A．a离子质量比b的大
B．a离子质量比b的小
C．a离子在磁场中的运动时间比b的短
D．a、b离子在磁场中的运动时间相等
BC [设离子进入磁场的速度为v，在电场中有qU＝12mv2，在磁场中Bqv＝mv2r，联立解得：r＝mvBq＝1B2mUq，由图知，离子b在磁场中运动的轨道半径较大，a、b为同位素，电荷量相同，所以离子b的质量大于离子a的质量，故A错误，B正确；在磁场运动的时间均为半个周期，即t＝T2＝πmBq，由于离子b的质量大于离子a的质量，故离子b在磁场中运动的时间较长，C正确，D错误。]
考点2 回旋加速器
1．磁场的作用：带电粒子以某一速度垂直磁场方向进入匀强磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动。其周期在q、m、B不变的情况下与速度和轨道半径无关，带电粒子每次进入D形盒都运动半个周期(πmqB)后平行电场方向进入电场加速。如图所示。
2．电场的作用：回旋加速器的两个D形盒之间的狭缝区域存在周期性变化的且垂直于两个D形盒正对截面的匀强电场，带电粒子经过该区域时被加速。根据动能定理：qU＝ΔEk。
3．交变电压的作用：为保证粒子每次经过狭缝时都被加速，使之能量不断提高，需在狭缝两侧加上跟带电粒子在D形盒中运动周期相同的交变电压。
4．带电粒子的最终能量：由r＝mvqB知，当带电粒子的运动半径最大时，其速度也最大，若D形盒半径为R，则带电粒子的最终动能Ekm＝q2B2R22m。
可见，要提高加速粒子的最终能量，应尽可能地增大磁感应强度B和D形盒的半径R。
5．粒子被加速次数的计算：粒子在回旋加速器中被加速的次数n＝EkmqU(U是加速电压的大小)，一个周期加速两次。
6．粒子在回旋加速器中运动的时间：在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2＝n2T＝nπmqB(n是粒子被加速次数)，总时间为t＝t1＋t2，因为t1≪t2，一般认为在盒内的时间近似等于t2。
【典例2】 (多选)回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示。设D形盒半径为R，若用回旋加速器加速质子时，匀强磁场的磁感应强度为B，高频交流电频率为f，则下列说法正确的是( )
A．质子被加速后的最大速度不可能超过2πfR
B．质子被加速后的最大速度与加速电场的电压大小无关
C．只要R足够大，质子的速度可以被加速到任意值
D．不改变B和f，该回旋加速器也能用于加速α粒子
思路点拨：(1)粒子通过电场加速，但粒子最终获得的速度与电场无关。
(2)粒子在磁场中做圆周运动的周期等于交变电压的周期。
AB [由evB＝mv2R可得回旋加速器加速质子的最大速度为v＝eBRm，由回旋加速器高频交流电频率等于质子运动的频率，有f＝eB2πm，联立解得质子被加速后的最大速度不可能超过2πfR，A、B正确，C错误；由于α粒子在回旋加速器中运动的频率是质子的12，不改变B和f，该回旋加速器不能用于加速α粒子，D错误。]
[母题变式]
如图是医用回旋加速器示意图，其核心部分是两个D形金属盒，两金属盒置于匀强磁场中，并与高频电源相连。现分别加速质子(11H)和氦核(24He)，下列说法中正确的是( )
A．它们的最大速度相同
B．它们的最大动能相同
C．两次所接高频电源的频率相同
D．仅增大高频电源的电压可增大粒子的最大动能
B [根据qvB＝mv2R，得v＝qBRm，两粒子的比荷qm不相等，所以最大速度不相等，故A错误；最大动能Ek＝12mv2＝q2B2R22m，两粒子的q2m相等，所以最大动能相等，故B正确；带电粒子在磁场中运动的周期T＝2πmBq＝1f，两粒子的比荷不相等，所以周期和频率不相等，故C错误；根据Ek＝12mv2＝q2B2R22m，知仅增大高频电源的电压不能增大粒子动能，故D错误。]
求解回旋加速器问题的两点注意
(1)带电粒子通过回旋加速器最终获得的动能Ekm＝q2B2R22m，与加速的次数以及加速电压U的大小无关。
(2)交变电源的周期与粒子做圆周运动的周期相等。
[跟进训练]
2．回旋加速器D形盒中央为质子流，D形盒的交流电压为U，静止质子经电场加速后，进入D形盒，其最大轨道半径为R，磁场的磁感应强度为B，质子质量为m。求：
(1)质子最初进入D形盒的动能Ek为多大？
(2)质子经回旋加速器最后得到的动能Ekm为多大？
(3)交流电源的频率f是多少？
[解析] (1)质子在电场中加速，由动能定理得
eU＝Ek－0
解得Ek＝eU。
(2)质子在回旋加速器的磁场中运动的最大半径为R，由牛顿第二定律得
evB＝mv2R
质子的最大动能Ekm＝12mv2
解得Ekm＝e2B2R22m。
(3)由电源的周期与频率间的关系可得f＝1T
电源的周期与质子的运动周期相同，均为T＝2πmeB
解得f＝eB2πm。
[答案] (1)eU (2)e2B2R22m (3)eB2πm
1．1932年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示，这台加速器由两个铜质D形盒D1、D2构成，其间留有空隙，下列说法正确的是( )
A．被加速的粒子从磁场中获得能量
B．被加速的粒子在回旋加速器中做圆周运动的周期随半径的增大而增大
C．只增加狭缝间的加速电压，被加速粒子离开加速器时的动能增加
D．想要粒子获得的最大动能增大，可增大D形盒的半径
D [被加速的粒子在电场中获得能量，而不是从磁场中获得能量，故A错误；被加速的粒子在回旋加速器中的磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，即qvB＝mv2r，带电粒子在磁场中运动的周期为T＝2πrv，联立解得T＝2πmqB，由上式可知，带电粒子做圆周运动的周期与半径无关，故B错误；设D型盒的半径为R，被加速粒子离开加速器时的速度vm满足qvmB＝mvm2R，解得vm＝qBRm，加速粒子离开加速器时的动能Ek＝12mvm2＝q2B2R22m，从上式可知，只增加狭缝间的加速电压，被加速粒子离开加速器时的动能不会变，想要粒子获得的最大动能增大，可增大D型盒的半径，故C错误，D正确。]
2．回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是与电极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示，要增大带电粒子射出时的动能，下列说法正确的是( )
A．增大电场的加速电压，其他保持不变
B．减少磁场的磁感应强度，其他保持不变
C．减小狭缝间的距离，其他保持不变
D．增大D形金属盒的半径，其他保持不变
D [由qvB＝mv2R，解得v＝qBRm，则动能Ek＝12mv2＝q2B2R22m，知动能与加速的电压无关，与狭缝间的距离无关，与磁感应强度大小和D形盒的半径有关，增大磁感应强度和D形盒的半径，可以增加粒子的动能，故A、B、C错误，D正确。]
3．如图所示，在容器A中有同一种元素的两种同位素正粒子，它们的初速度几乎为0，粒子可从容器A下方的小孔S1飘入加速电场，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场中，最后第一种同位素粒子打到照相底片D上的M点，第二种同位素粒子打到照相底片D上的N点。不计同位素粒子重力。量出M点、N点到S3的距离分别为x1、x2，则第一种与第二种同位素粒子在磁场中运动的时间之比为( )
A．x1x2 B．x1x2
C．x12x22 D．2x1x2
C [设加速电场的电压为U，磁场的磁感应强度为B，粒子电荷量为q、质量为m，在电场中加速过程有qU＝12mv2，在磁场中偏转有洛伦兹力提供向心力qvB＝mv2r，带电粒子在磁场中运动的周期T＝2πrv，带电粒子在磁场中运动时间均为半个周期，即t＝T2，根据几何关系有x＝2r，联立以上各式可解得t＝πB8Ux2，所以t1t2＝x12x22，故C正确，A、B、D错误。]
4．如图所示，在xOy直角坐标系中，第Ⅰ象限内分布着方向垂直纸面向里的匀强磁场，初速度为零、带电量为q、质量为m的离子(重力不计)经过电压为U的电场加速后，从x轴上的A点垂直x轴进入磁场区域，经磁场偏转后垂直y轴过y轴上的P点。已知OA＝OP＝d。求：
(1)带电粒子加速后的速度；
(2)磁感应强度B的大小。
[解析] (1)设带电粒子经电场加速后的速度为v，由动能定理可得qU＝12mv2
解得v＝2qUm。
(2)带电粒子进入磁场后，由牛顿第二定律可得qBv＝mv2r
依题意可知r＝d
联立解得B＝1d 2mUq。
[答案] (1) 2qUm (2)1d 2mUq
回归本节知识，自我完成以下问题：
(1)质谱仪由加速电场和偏转磁场组成，主要用来测量什么？
提示：测量带电粒子的质量、比荷和同位素。
(2)回旋加速器中电场的作用是什么？最大能量是多少？
提示：电场的作用是给带电粒子加速；最大能量为q2B2R22m。
课时分层作业(四) 洛伦兹力的应用
题组一 质谱仪
1．如图所示为研究某种带电粒子的装置示意图，粒子源射出的粒子束以一定的初速度沿直线射到荧光屏上的O点，出现一个光斑。在垂直于纸面向里的方向上加一磁感应强度为B的匀强磁场后，粒子束发生偏转，沿半径为r的圆弧运动，打在荧光屏上的P点，然后在磁场区域再加一竖直向下，电场强度大小为E的匀强电场，光斑从P点又回到O点，关于该粒子(不计重力)，下列说法正确的是( )
A．粒子带负电 B．初速度为BE
C．比荷为B2rE D．比荷为EB2r
D [在垂直于纸面向里的方向上加一磁感应强度为B的匀强磁场后，粒子束打在荧光屏上的P点，根据左手定则可知，粒子带正电，A错误；当电场和磁场同时存在时：qvB＝Eq，解得v＝EB ，B错误；在磁场中时，由qvB＝mv2r，可得：qm＝vrB＝EB2r，故D正确，C错误。]
2．质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图。离子源S产生的各种不同正离子束(速度可视为零)，经加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场，到达记录它的照相底片P上，设离子在P上的位置到入口处S1的距离为x，可以判断( )
A．若离子束是同位素，则x越小，离子质量越大
B．若离子束是同位素，则x越小，离子质量越小
C．只要x相同，则离子质量一定相同
D．x越大，则离子的比荷一定越大
B [由qU＝12mv2，qvB＝mv2r，解得r＝1B2mUq，又x＝2r＝2B2mUq，分析各选项可知B正确。]
3．(多选)如图所示，质谱仪由两部分区域组成，左侧M、N是一对水平放置的平行金属板，分别接到直流电源两极上，板间在较大范围内存在着电场强度为E的匀强电场和磁感应强度大小为B1的匀强磁场，右侧是磁感应强度大小为B2的另一匀强磁场。一束带电粒子(不计重力)由左端射入质谱仪后沿水平直线运动，从S0点垂直进入右侧磁场后分成甲、乙两束，其运动轨迹如图所示，两束粒子最后分别打在乳胶片的P1、P2两个位置，S0、P1、P2三点在同一条竖直线上，且S0P1＝43S0P2。则下列说法正确的是( )
A．两束粒子的速度都是EB1
B．甲束粒子的比荷小于乙束粒子的比荷
C．若甲、乙两束粒子的电荷量相等，则甲、乙两束粒子的质量比为4∶3
D．若甲、乙两束粒子的质量相等，则甲、乙两束粒子的电荷量比为4∶3
ABC [粒子在平行金属板间沿直线运动，说明洛伦兹力和电场力平衡，则Eq＝qvB1，得v＝EB1，故A正确；由题意R＝mvqB2，得比荷qm＝vB2·1R，比荷与半径成反比，因为S0P1＝43S0P2，故甲束粒子的比荷小于乙束粒子的比荷，故B正确；若甲、乙两束粒子的电荷量相等，R1R2＝ m1vqB2 m2vqB2＝m1m2＝43，故C正确；若甲、乙两束粒子的质量相等，R1R2＝ mvq1B2 mvq2B2＝q2q1＝43，故D错误。]
4．(多选)如图所示，电容器两极板相距d，两板间电压为U，极板间的匀强磁场的磁感应强度为B1，一束电荷量相同的带正电的粒子从图示方向射入电容器，沿直线穿过电容器后进入另一磁感应强度为B2的匀强磁场，结果分别打在a、b两点，两点间距为ΔR。粒子所带电荷量为q，且不计粒子所受重力。则粒子进入B2磁场时的速度和打在a、b两点的粒子的质量之差Δm分别是( )
A．v＝UdB1 B．v＝U2dB1
C．Δm＝qB1B2dΔRU D．Δm＝qB1B2dΔR2U
AD [由于粒子在电容器中沿直线运动，所以粒子在电容器中受到的电场力与洛伦兹力平衡，即qE＝qvB1，因此v＝EB1，又因E＝Ud，则有v＝UdB1，A正确，B错误；以速度v进入B2的粒子满足：Bqv＝mv2R，则有：R＝mvqB，落在a点的半径为：R1＝m1vB2q，落在b点的半径为：R2＝m2vB2q，根据题意有：ΔR＝2R1-R2，即：ΔR＝2m1vB2q-m2vB2q，由此可得Δm＝qB2ΔR2v，代入v＝UdB1，可得：Δm＝qB1B2dΔR2U，C错误，D正确。]
题组二 回旋加速器
5．(多选)如图是回旋加速器的工作原理图。D1和D2是两个中空的半圆金属盒，它们之间有一定的电压，A处的粒子源产生的带电粒子在两盒之间被电场加速。两半圆盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，粒子在半圆盒中做匀速圆周运动。不计带电粒子在电场中的加速时间，不考虑由相对论效应带来的影响，则下列说法正确的是( )
A．粒子在D形盒中的运动周期与两盒间交变电压的周期相同
B．回旋加速器是靠电场加速的，因此其最大能量与电压有关
C．回旋加速器是靠磁场加速的，因为其最大能量与电压无关
D．粒子在回旋加速器中运动的总时间与电压有关
AD [根据加速原理，当粒子在磁场中运动的周期与交变电压的周期同步时，才能在电场中一直处于加速状态，故A正确；加速器中的电场可以使带电粒子加速，而磁场只使粒子偏转，对粒子不做功，根据qvB＝mv2r得，最大速度v＝qBrm，则最大动能Ekm＝12mv2＝q2B2r22m，可知粒子的最大动能只与粒子本身的比荷、加速器半径和磁感应强度大小有关，与加速电压无关，故B、C错误；粒子在回旋加速器中运动的总时间与粒子在电场加速、磁场偏转次数有关，而电压越高，则次数越少，总时间越小，故D正确。]
6．如图所示，回旋加速器是用来加速带电粒子使它获得很大动能的装置，其核心部分是两个D形金属盒，置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连。下列说法正确的有( )
A．粒子被加速后的最大速度随磁感应强度和D形盒半径的增大而增大
B．粒子被加速后的最大动能随高频电源的加速电压的增大而增大
C．粒子可以在回旋加速器中一直被加速
D．粒子从磁场中获得能量
A [根据qvB＝mv2R得，最大速度v＝qBRm，则最大动能Ekm＝12mv2＝q2B2R22m，知最大动能与金属盒的半径以及磁感应强度有关，与加速的次数和加速电压的大小无关，故A正确，B错误；粒子在加速器中加速到在磁场中的半径等于D形盒的半径时就不能再加速了，所以粒子在回旋加速器中不是一直被加速，故C错误；粒子在磁场中受到洛伦兹力，其对粒子不做功，不能获得能量，故D错误。]
7．(多选)回旋加速器在科学研究中得到了广泛应用，其原理如图所示。D1和D2是两个中空的半圆形金属盒，置于与盒面垂直的匀强磁场中，它们接在电压为U、周期为T的交流电源上。位于D1圆心处的粒子源A能不断产生α粒子(初速度可以忽略)，它们在两盒之间被电场加速。当α粒子被加速到最大动能Ek后，再将它们引出。忽略α粒子在电场中的运动时间，则下列说法正确的是( )
A．α粒子第n次被加速前、后的轨道半径比为n-1∶n
B．若只增大交变电压U，则α粒子在回旋加速器中运行的时间会变短
C．若不改变交流电压的周期，仍可用此装置加速氘核
D．若是增大交变电压U，则α粒子的最大动能Ek会变大
ABC [根据洛伦兹力提供做匀速圆周运动的向心力，则有：qvB＝mv2r，且nqU＝12mv2，解得：r＝1Bn·2mUq，所以α粒子第n次被加速前、后的轨道半径之比为 n-1∶n，故A正确；若只增大交变电压U，则α粒子在回旋加速器中加速次数会减小，导致运行时间变短，故B正确；交流电压的周期与粒子在磁场中运动的周期相同，即T＝2πmqB，则α(24He)粒子的周期为T＝4πm0eB，假设该装置也能加速氘核(12H)，则其周期为T′＝4πm0eB，与α(24He)粒子的周期相同，故不用改变交流电压的周期，也能加速氘核，故C正确；根据洛伦兹力提供向心力，则有：qvB＝mv2r，且Ek＝12mv2，解得：Ek＝q2B2r22m，与加速电压无关，故D错误。]
8．如图所示，回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形盒，两盒间构成一狭缝，两D形盒处于垂直于盒面的匀强磁场中。下列有关回旋加速器的描述正确的是( )
A．粒子由加速器的边缘进入加速器
B．粒子由加速器的中心附近进入加速器
C．粒子在狭缝和D形盒中运动时都能获得加速
D．交流电源的周期必须等于粒子在D形盒中运动周期的2倍
B [由qvB＝mv2r得v＝qBrm，则当r越大时，v越大。粒子由加速器中心附近进入加速器才可使粒子加速到最大，故A错误，B正确；狭缝中电场可加速粒子，在D形盒中运动时，由左手定则知，洛伦兹力总与速度方向垂直，不对粒子加速，故C错误；交流电源周期必须等于粒子运动周期，才可以进行周期性地加速，故D错误。]
9．回旋加速器原理如图所示，D1和D2是两个中空的半圆形金属盒，置于与盒面垂直的匀强磁场中，它们接在交流电源上，位于D1圆心处的离子源A能不断产生正离子，它们在两盒之间被电场加速，当正离子被加速到最大动能Ek后，再设法将其引出。已知正离子的电荷量为q、质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D形盒的半径为R，狭缝之间的距离为d。设正离子从离子源出发时的初速度为零。
(1)试计算上述正离子被第一次加速后进入D2中运动的轨道半径；
(2)计算正离子飞出时的最大动能；
(3)设该正离子在电场中的加速次数与回旋半周的次数相同，试证明当R≫d时，正离子在电场中加速的总时间相对于在D形盒中回旋的时间可忽略不计(正离子在电场中运动时，不考虑磁场的影响)。
[解析] (1)设正离子第1次经过狭缝被加速后的速度为v1，根据动能定理可得
qU＝12mv12
解得v1＝2qUm
洛伦兹力充当向心力，则有qv1B＝mv12r1
解得r1＝1B 2mUq。
(2)离子射出加速器时qvmB＝mvm2R
解得vm＝qBRm
离子飞出的最大动能为Ek＝12mv2＝q2B2R22m。
(3)在电场中运动可以看作连续的匀加速直线运动，设离子射出时速度为v。
根据平均速度公式可得在电场中运动时间为t1＝nd v2＝2ndv
离子在D形盒中运动的周期为T＝2πmqB＝2πRv
离子在磁场中回旋的时间为t2＝n2T＝nπRv
有t1t2＝ 2ndv nπRv＝2dπR
当d≪R时，t1≪t2，即电场中运动时间可以忽略。
[答案] (1)r1＝1B 2mUq (2)Ek＝q2B2R22m (3)见解析
10．(多选)如图所示为一种质谱仪示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器组成。若静电分析器通道中心线的半径为R，通道内均匀辐射状电场在中心线处的电场强度大小为E，磁分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外。一质量为m、电荷量为q的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由P点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q点。不计粒子的重力，下列说法正确的是( )
A．粒子一定带正电
B．加速电场的电压U＝12ER
C．PQ＝2BqmER
D．若一群离子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，则该群离子具有相同的比荷
ABD [由左手定则可知粒子带正电，故A正确；粒子在M、N间被加速，则有qU＝12mv2，粒子在静电分析器中，电场力提供向心力，则有qE＝mv2R，联立解得U＝ER2，故B正确；根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝mv2R，可得PQ＝2R＝2BERmq，故C错误；若一群离子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，说明运动的轨迹相同，由于磁场、电场与静电分析器的半径不变，由C选项可知该群离子具有相同的比荷，故D正确。]
11．(多选)质谱仪是一种测量带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图，离子源A产生电荷量相同而质量不同的离子束(初速度可视为零)，从狭缝S1进入电场，经电压为U的加速电场加速后，再通过狭缝S2从小孔垂直MN射入圆形匀强磁场。该匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，半径为R，磁场边界与直线MN相切，E为切点。离子离开磁场最终到达感光底片MN上，设离子电荷量为q，到达感光底片上的点位于E点右侧且与E点的距离为x，不计重力，可以判断( )
A．离子束带负电
B．x越大，则离子的比荷一定越大
C．到达x＝3R处的离子在匀强磁场中运动的时间为πBR29U
D．到达x＝3R处的离子质量为qB2R26U
CD [离子在加速电场中做匀加速直线运动，设加速后的速度大小为v，根据动能定理有：qU＝12mv2－0，解得：v＝2qUm，然后匀速运动到E点进入有界磁场中，其运动轨迹如图所示：
离子从E点先沿圆弧，再沿直线做匀速直线运动到感光底片上。由左手定则，离子束带正电，故A错误；由qvB＝mv2r，则r＝mvqB，x越大则r越大，则比荷qm越小，故B错误；在△ENO中有tan θ＝xR，x＝3R时，解得：θ＝60°，设离子运动的轨迹圆的半径为r，根据数学知识有：r＝ 33R，解得：m＝qB2R26U，由t＝α360°T＝α360°×2πmqB，由几何关系知圆弧圆心角α＝120°，联立可得：t＝πBR29U，故C、D正确。]
12．质谱仪可利用电场和磁场将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术等领域有重要的应用。如图所示，虚线上方有两条半径分别为R和r(R>r)的半圆形边界，分别与虚线相交于A、B、C、D点，圆心均为虚线上的O点，C、D间有一荧光屏。虚线上方区域处在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。虚线下方有一电压可调的加速电场，离子源发出的某一正离子由静止开始经电场加速后，从AB的中点垂直进入磁场，离子打在边界上时会被吸收。当加速电压为U时，离子恰能打在荧光屏的中点。不计离子的重力及电、磁场的边缘效应。求：
(1)离子的比荷；
(2)离子在磁场中运动的时间。
[解析] (1)离子的轨迹半径r0＝R+r2
由匀速圆周运动得qvB＝mv2r0
在电场中加速，有qU＝12mv2
解得：qm＝8UB2 R+r2。
(2)离子在磁场中运动的周期为T＝2πmqB
在磁场中运动的时间t＝T2
解得：t＝πR+r28U。
[答案] (1)8UB2 R+r2 (2)πR+r28U
13．如图所示为回旋加速器的示意图。它由两个铝制D形金属扁盒组成，两个D形盒正中间开有一条狭缝，两个D形盒处在匀强磁场中并接在高频交变电源上。在D1盒中心A处有粒子源，它产生并发出的α粒子，经狭缝电压加速后进入D2盒中。在磁场力的作用下运动半个圆周后，再次经狭缝电压加速。为保证粒子每次经过狭缝都被加速，设法使交变电压的周期与粒子在狭缝及磁场中运动的周期一致。如此周而复始，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D形盒的边缘，以最大速度被导出。已知α粒子电荷量为q、质量为m，加速时电极间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D形盒的半径为R，设狭缝很窄，粒子通过狭缝的时间可以忽略不计，且α粒子从粒子源发出时的初速度为零。(不计α粒子重力)求：
(1)α粒子第1次由D1盒进入D2盒中时的速度大小；
(2)α粒子被加速后获得的最大动能Ek；
(3)符合条件的交变电压的周期T；
(4)粒子仍在盒中活动过程中，α粒子在第n次进入D2盒与紧接着第n＋1次进入D2盒位置之间的距离Δx。
[解析] (1)设α粒子第一次被加速后进入D2盒中时的速度大小为v1，根据动能定理有
qU＝12mv12
解得v1＝2qUm。
(2)α粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，具有最大动能。设此时的速度为v，有
qvB＝mv2R
解得：v＝qBRm
设α粒子的最大动能为Ek，则Ek＝12mv2。
解得：Ek＝q2B2R22m。
(3)设交变电压的周期为T，为保证粒子每次经过狭缝都被加速，带电粒子在磁场中运动一周的时间应等于交变电压的周期(在狭缝的时间极短忽略不计)，则交变电压的周期T＝2πrv＝2πmBq。
(4)粒子经电场第1次加速后，以速度v1进入D2盒，设轨道半径为r1
则r1＝mv1qB＝1B2mUq
粒子经第2次电场加速后，以速度v2进入D1盒，设轨道半径为r2
则r2＝mv2qB＝1B2×2mUq
粒子第n次进入D2盒，粒子已经过(2n－1)次电场加速，以速度v2n－1进入D2盒，由动能定理：
(2n－1)Uq＝12mv2n-12
轨道半径rn＝mv2n-1qB＝1B2n-12mUq
粒子第n＋1次离开D1盒时，粒子已经过2n次电场加速，在D1盒中的速度为v2n，即将第n＋1次进入D2盒，由动能定理：2nUq＝12mv2n2
轨道半径：rn＋1＝mv2nqB＝1B2n·2mUq
则Δx＝xn＋1－xn＝2(rn＋1－rn)(如图所示)
解得：
Δx＝21B2n·2mUq-1B2n-1·2mUq＝2B2Umq(2n－2n-1)。
[答案] (1)2qUm (2)q2B2R22m (3)2πmBq (4)2B2Umq(2n－2n-1)
学习任务
1．知道质谱仪的工作原理。
2．知道回旋加速器的工作原理。