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【期末复习】人教版 初中数学 2023-2024学年 八年级上册 期末基础专题训练 03 角的平分线的性质（（原卷+解析卷）.zip
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一、角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等．
注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等．
二、角平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线．
三、角平分线的尺规作图
角平分线的作法：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C， 交OB于点D；
②分别以C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点E；
③画射线OE，射线OE即为∠AOB的平分线．
注意：（2）中画弧时，半径一定要大于12CD的长，否则两弧没有交点．
四、垂直平分线的性质
1．定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2．性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
3．三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点到三个定点的距离相等．
五、垂直平分线的判定
垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，通常要找到这样的两个点，根据“两点确定一条直线”来判定这条直线是已知直线的垂直平分线．
六、垂直的尺规作图
尺规作图：
①作线段的垂直平分线（图1）；
②过直线外一点作这条直线的垂线（图2）．
总结：①作线段的垂直平分线既能得到垂直，又能得到线段的中点．（可根据全等三角形证明）
②用尺规做一条直线的垂线本质上就是作一条线段的垂直平分线．
考向解读
（1）了解三角形的角平分线的有关概念，会画出任意三角形的角平分线．
（2）掌握线段垂直平分线性质定理及逆定理．
考点突破
考点目录
TOC \ "1-3" \h \z \u 考点01 角平分线的性质 PAGEREF _Tc152168393 \h 3
考点02 角平分线的判定 PAGEREF _Tc152168394 \h 6
考点03 作图 PAGEREF _Tc152168395 \h 9
考点04 几何证明 PAGEREF _Tc152168396 \h 12
考点05 双角平分线模型 PAGEREF _Tc152168397 \h 14
考点06 角平分线综合问题 PAGEREF _Tc152168398 \h 21
考点01 角平分线的性质
【典例1】（2022秋•海安市期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是
A．2B．3C．4D．5
【答案】
【分析】根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案．
【解答】解：过作于，
是的角平分线，，
，
，
的面积为9，
的面积为，
，
，
，
故选：．
【典例2】（2022秋•利通区期末）如图，中，，平分，交于点，，，则的长为
A．3B．4C．5D．6
【答案】
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点作于，
，平分，
，
，
解得：，
．
故选：．
【典例3】（2023春•萧县期末）如图，在中，，，是的角平分线．
（1）求的度数；
（2）若于点，，求的长．
【答案】（1）；
（2）3．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理得到，求得，于是得到结论．
【解答】解：（1），，
，
是的平分线，
；
（2），
，
，
，
，
．
考点02 角平分线的判定
【典例1】（2022秋•高邑县期末）如图，于，于，若，
求证：平分．
【分析】由于，于，若，，即可判定，则可得，然后由角平分线的判定定理，即可证得平分．
【解答】证明：，，
，
在和中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
平分．
【典例2】（2022秋•利川市期末）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
【答案】见解析．
【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
（2）利用角平分线的性质即可解决问题．
【解答】证明：（1）如图，过点作于，
，平分，
，
是的中点，
，
，
又，，
是的平分线．
（2）平分，平分，，，
，，
．
【典例3】（2023春•定边县校级期末）如图，在四边形中，，点为的中点，且平分．求证：是的平分线．
【答案】证明见解答过程．
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
【解答】证明：如图，过点作于，
，平分，
，
是的中点，
，
，
又，，
是的平分线．
考点03 作图
【典例1】（2022秋•长安区校级期末）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】．由作法知，可判断；．由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断；由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断；．由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断．
【解答】解：．由作法知，
是等腰三角形，故选项不符合题意；
．由作法知所作图形是线段的垂直平分线，
不能推出和是等腰三角形，故选项符合题意；
由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形，故选项不符合题意；
．，，
，
由作法知是的平分线，
，
，
是等腰三角形，故选项不符合题意；
故选．
【典例2】下列作图语句正确的是
A．延长线段到，使B．延长射线
C．过点作D．作的平分线
【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论．
【解答】解：、应为：延长线段到，，故本选项错误；
、射线本身是无限延伸的，不能延长，故本选项错误；
、过点作只能作或的平行线，不一定平行于，故本选项错误；
、作的平分线，正确．
故选：．
【典例3】（2023春•砀山县校级期中）下列作图属于尺规作图的是
A．用量角器画出，使
B．借助没有刻度的直尺和圆规作，使
C．用三角尺画
D．用三角尺过点作的垂线
【答案】
【分析】根据尺规作图的定义求解．
【解答】解：尺规作图是指：只利用没有刻度的直尺和圆规进行作图，
故选：．
考点04 几何证明
【典例1】已知，是上的一点，、分别平分、．求证：是的中点．
【分析】过点作，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，从而得到．
【解答】证明：过点作，
，、分别平分、，
，，
，
是的中点．
【典例2】如图．在中．已知，平分，点在上，，垂足为，．求证：平分．
【分析】根据角平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质和等量代换证明即可．
【解答】证明：平分，，，
，
，
，
，
，
平分．
【典例3】如图，、于点、，与交于点，，连接．
求证：（1）
（2）．
【分析】（1）根据、，可直接得出是的平分线，由角平分线的定义可知；
（2）由，可知，故可得出，由对顶角相等可知，进而可得出，由以上条件可判断出，由全等三角形的判定定理即可得出．
【解答】证明：（1）、，，
是的平分线，
；
（2）与是直角三角形，，，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
考点05 双角平分线模型
【典例1】（2022秋•香洲区期末）如图，在中，，与的平分线交于点，交于点，作于点，连接．
（1）求的大小；
（2）求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的性质得，，由三角形外角性质得，，则，由三角形内角和定理得，，以此即可求解；
（2）过作于点，过作于点，根据角平分线的性质得，以此证明平分，则，根据三角形内角和定理算得，根据平角的定义算得，以此即可证明．
【解答】（1）解：平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
；
（2）证明：过作于点，过作于点，如图，
平分，，，
，
平分，，，
，
，
平分，
，
，
由（1）知，，
，
．
【典例2】（2023春•东方校级期末）在中，与的平分线相交于点．
（1）如图1，如果，，，求的度数；
（2）如图1，如果，用含的代数式表示；
（3）探索：如图2，作外角、的平分线交于点，试写出、之间的数量关系；
（4）拓展：如图3，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）或或或．
【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；
（2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可；
（3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；
（4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数．
【解答】解：（1），分别是和的角平分线，，，
，，
，
；
（2），分别是和的角平分线，
，，
，
；
（3），分别是，的角平分线，
，，
，，
，，
，
，
，
；
（3）是的角平分线，是的角平分线，
，，
，
，
，
由（3）知，
，
，
在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，，
，都是锐角，
分四种情况讨论：
①，
，
，
；
②，
，
；
③，
，
，
，
④，
，
解之得：，
综上可知：的度数为或或或．
【典例3】（2022秋•铁西区期末）如图，射线在的内部，已知，，与分别是和的平分线．
（1）当，时，求的度数；
（2）当，时，则的度数为 ；
（3）继续探究，发现与之间存在着一定的数量关系，这个数量关系是： ．
【答案】（1）的度数为；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先利用角的和差关系求出，然后利用角平分线的定义求出，，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答；
（2）利用（1）的思路，进行计算即可解答；
（3）利用（1）的思路，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），，
，
与分别是和的平分线，
，，
，
的度数为；
（2），，
，
与分别是和的平分线，
，，
，
故答案为：；
（3）与分别是和的平分线，
，，
，
，
故答案为：．
考点06 角平分线综合问题
【典例1】（2023春•万源市校级期末）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再判定，即可得出；
（2）先判定，得出，再根据，求得的面积，进而得到的长．
【解答】解：（1）过点作于，
与中，，，，
，
，
又，
即，
，
又，，，
，
，
即平分；
（注：由，，，也可以直接得到平分．
（2），
，
又，，，
，
，
，
的面积，
，
，
解得．
【典例2】（2023春•高新区期末）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）连接交于点，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．
【答案】（1）（2）见解答；
（3）7.5．
【分析】（1）先利用是的角平分线得到，再利用三角形外角性质得到，则，接着利用得到，所以；
（2）过点作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，接着证明得到，然后利用得到，从而得到；
（3）先由得到，再利用等角的余角相等得到，接着证明得到，所以，然后利用得到．
【解答】（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
，
为边上的高，
，
，
，
平分；
（2）证明：过点作于点，于点，
平分，，，
，
，
即，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
【典例3】（2023春•长沙期末）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
（1）求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，且，求的面积．
【答案】（1）；
（2）证明见解答过程；
（3）．
【分析】（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解；
（2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论；
（3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】（1）解：，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点分别作于，于，
平分，
，
，
平分，
，
，
平分；
（3）解：，，，
，
即，
解得，
，
．
考技提升
一、选择题
1．（2022秋•右玉县期末）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数
①平分；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解答】解：①过点作于，
平分，平分，，，，
，，
，
，，
点在的角平分线上，故①正确；
②，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理：，
，
，
，②正确；
③平分，平分，
，，
，③正确；
④由②可知，
，，
，故④正确，
故选：．
2．（2022秋•青川县期末）如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：为的平分线，，，
，
，即，
解得，
故选：．
3．（2022秋•宁乡市期末）如图，在中，，，为角平分线的交点，若的面积为30，则的面积为
A．18B．20C．22D．24
【答案】
【分析】由角平分线的性质可得，点到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比．
【解答】解：点是三条角平分线的交点，
点到，的距离相等，
、面积的比．
的面积为30，
的面积为24．
故选：．
4．（2022秋•大足区期末）如图，的三边、、的长分别是8、12、16，点是三条角平分线的交点，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过点作于点，于点，于点，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可．
【解答】解：如图，过点作于点，于点，于点，
点是三条角平分线的交点，
，
，
，
，
．
故选：．
5．（2023春•东营期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】
【分析】由题意可知，点到射线，的距离相等，则点在的平分线上，即可得出答案．
【解答】解：由题意可知，点到射线的距离是直尺的宽度，点到射线的距离也是直尺的宽度，
点到射线，的距离相等，
点在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：．
6．（2022秋•南沙区校级期末）如图，的外角的平分线与相交于点，若点到的距离为3，则点到的距离为
A．1B．2C．3D．4
【分析】过点作于，于，于，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．
【解答】解：如图，过点作于，于，于，
的外角平分线与的外角平分线相交于点，
，，
．
故选：．
7．（2023春•高新区校级期末）如图，已知的周长是18，，分别平分和，于，且，则的面积是
A．6B．9C．18D．36
【答案】
【分析】由角平分线的性质得到，由的面积的面积的面积的面积，得到的面积，由的周长，，即可求出的面积．
【解答】解：过作于，于，
，分别平分和，于，
，，
的面积的面积的面积的面积，
的面积，
的周长，，
的面积．
故选：．
二、填空题
8．（2022秋•唐河县期末）如图，四边形中，，，，，则的面积为 15 ．
【分析】过作，交的延长线于，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：过作，交的延长线于，
，，
，
，
，
，
的面积是，
故答案为：15．
9．（2022秋•雨花区期末）如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 1.5 ．
【分析】过作，交的延长线于，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，求出，再代入求出答案即可．
【解答】解：过作，交的延长线于，
，，平分，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
解得：，
故答案为：1.5．
三、解答题
10．（2022秋•江都区期末）如图，中，为的中点，交的平分线于，，交于，，交的延长线于，试问：与的大小如何？证明你的结论．
【分析】连、，根据角平分线性质得；根据垂直平分线的性质得；再根据“”定理证明，从而得．
【解答】解：相等．
证明如下：连、，
是的平分线，
且于，于，
．
于，是的中点，
．
，
．
11．（2023春•江都区期末）已知：如图，平分，点在上，点在上，连接、，与相交于点，．
（1）证明：；
（2）若，，求．
【答案】（1）证明见解答．
（2）．
【分析】（1）根据题意和对顶角相等得到，根据平行线的性质和判定即可证得．
（2）根据角平分线的性质求出，由（1），根据平角的定义即可求解．
【解答】（1）证明：，，
，
，
．
（2）解：平分，
，
，
，
，
．
1．角平分线的性质可以证明两条线段相等，不需要再通过证三角形全等来证线段相等；
2．已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段，常添加辅助线：由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，利用角平分线的性质，得到相等的两条垂线段．
1．角的平分线可以看作是由角的顶点及角的内部到角的两边的距离相等的所有点组成的射线．
2．由角的平分线的性质可证明线段相等，由判定可证明角相等，二者互为逆定理，即点在角平分线上点到角的两边的距离相等．
1．角平分线尺规作图的作图依据是：构造三角形全等（SSS）．
2．尺规作图中的“尺”指没有刻度的直尺，其用途是作直线，“规”指圆规，其用途是作长度相等的线段．
3．“画射线OP”不能说成“连接OP，因为角平分线是一条射线，不是一条线段．
1．明确命题中的已知和求证．
2．根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证．
3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
4．证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的实际情况而定，但是总体必须是完整的．
5．证明过程中的每一步推理都要有依据，切忌想当然．推理依据可以是已知条件，也可以是已经学过的定义、定理和基本事实．
6．一般把命题改写成“如果……那么…”的形式，判断出题设和结论，通常情况下题设是已知，结论是求证．
7．作图尽量规范，通过观察、测量规范的图形可猜想有关结论，从而形成正确的解题思路；不规范的图形容易产生误导．
8．所画图形应具有一般性和代表性，要考虑是否存在不同的情形，若存在，需要画出不同图形然后分别证明．
1．常见的模型有：（1）内角平分线+内角平分线模型；（2）内角平分线+外角平分线模型；（3）外角平分线+外角平分线模型；（4）飞镖+角平分线模型等．
2．无论是何种模型，关键是作出恰当的辅助线，准确作图．
3．运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
4．角平分线常考的辅助线作法：
图中有角平分线，可向两边作垂线．
角平分线加垂线，三线合一试试看．
角平分线平行线，等腰三角形来添．
也可将图对折看，对称以后关系现．
1．角平分线的性质与判定的综合问题主要是直接利用角平分线的性质定理和判定定理去解决线段相等或者角相等的问题，不必再去证明两个三角形全等．有时需要添加辅助线，过角平分线上的点向角的两边作垂线段，将符合性质定理的基本图形构造出来．
2．作图尽量规范，通过观察、测量规范的图形可猜想有关结论，从而形成正确的解题思路；不规范的图形容易产生误导．
一、角平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等．
注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等．
二、角平分线的判定
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线．
三、角平分线的尺规作图
角平分线的作法：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C， 交OB于点D；
②分别以C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点E；
③画射线OE，射线OE即为∠AOB的平分线．
注意：（2）中画弧时，半径一定要大于12CD的长，否则两弧没有交点．
四、垂直平分线的性质
1．定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2．性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
3．三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点到三个定点的距离相等．
五、垂直平分线的判定
垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，通常要找到这样的两个点，根据“两点确定一条直线”来判定这条直线是已知直线的垂直平分线．
六、垂直的尺规作图
尺规作图：
①作线段的垂直平分线（图1）；
②过直线外一点作这条直线的垂线（图2）．
总结：①作线段的垂直平分线既能得到垂直，又能得到线段的中点．（可根据全等三角形证明）
②用尺规做一条直线的垂线本质上就是作一条线段的垂直平分线．
考向解读
（1）了解三角形的角平分线的有关概念，会画出任意三角形的角平分线．
（2）掌握线段垂直平分线性质定理及逆定理．
考点突破
考点目录
TOC \ "1-3" \h \z \u 考点01 角平分线的性质 PAGEREF _Tc152168393 \h 3
考点02 角平分线的判定 PAGEREF _Tc152168394 \h 6
考点03 作图 PAGEREF _Tc152168395 \h 9
考点04 几何证明 PAGEREF _Tc152168396 \h 12
考点05 双角平分线模型 PAGEREF _Tc152168397 \h 14
考点06 角平分线综合问题 PAGEREF _Tc152168398 \h 21
考点01 角平分线的性质
【典例1】（2022秋•海安市期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是
A．2B．3C．4D．5
【答案】
【分析】根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案．
【解答】解：过作于，
是的角平分线，，
，
，
的面积为9，
的面积为，
，
，
，
故选：．
【典例2】（2022秋•利通区期末）如图，中，，平分，交于点，，，则的长为
A．3B．4C．5D．6
【答案】
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点作于，
，平分，
，
，
解得：，
．
故选：．
【典例3】（2023春•萧县期末）如图，在中，，，是的角平分线．
（1）求的度数；
（2）若于点，，求的长．
【答案】（1）；
（2）3．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的判定定理得到，求得，于是得到结论．
【解答】解：（1），，
，
是的平分线，
；
（2），
，
，
，
，
．
考点02 角平分线的判定
【典例1】（2022秋•高邑县期末）如图，于，于，若，
求证：平分．
【分析】由于，于，若，，即可判定，则可得，然后由角平分线的判定定理，即可证得平分．
【解答】证明：，，
，
在和中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
平分．
【典例2】（2022秋•利川市期末）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
【答案】见解析．
【分析】（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
（2）利用角平分线的性质即可解决问题．
【解答】证明：（1）如图，过点作于，
，平分，
，
是的中点，
，
，
又，，
是的平分线．
（2）平分，平分，，，
，，
．
【典例3】（2023春•定边县校级期末）如图，在四边形中，，点为的中点，且平分．求证：是的平分线．
【答案】证明见解答过程．
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．
【解答】证明：如图，过点作于，
，平分，
，
是的中点，
，
，
又，，
是的平分线．
考点03 作图
【典例1】（2022秋•长安区校级期末）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】．由作法知，可判断；．由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断；由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断；．由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断．
【解答】解：．由作法知，
是等腰三角形，故选项不符合题意；
．由作法知所作图形是线段的垂直平分线，
不能推出和是等腰三角形，故选项符合题意；
由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形，故选项不符合题意；
．，，
，
由作法知是的平分线，
，
，
是等腰三角形，故选项不符合题意；
故选．
【典例2】下列作图语句正确的是
A．延长线段到，使B．延长射线
C．过点作D．作的平分线
【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论．
【解答】解：、应为：延长线段到，，故本选项错误；
、射线本身是无限延伸的，不能延长，故本选项错误；
、过点作只能作或的平行线，不一定平行于，故本选项错误；
、作的平分线，正确．
故选：．
【典例3】（2023春•砀山县校级期中）下列作图属于尺规作图的是
A．用量角器画出，使
B．借助没有刻度的直尺和圆规作，使
C．用三角尺画
D．用三角尺过点作的垂线
【答案】
【分析】根据尺规作图的定义求解．
【解答】解：尺规作图是指：只利用没有刻度的直尺和圆规进行作图，
故选：．
考点04 几何证明
【典例1】已知，是上的一点，、分别平分、．求证：是的中点．
【分析】过点作，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，从而得到．
【解答】证明：过点作，
，、分别平分、，
，，
，
是的中点．
【典例2】如图．在中．已知，平分，点在上，，垂足为，．求证：平分．
【分析】根据角平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质和等量代换证明即可．
【解答】证明：平分，，，
，
，
，
，
，
平分．
【典例3】如图，、于点、，与交于点，，连接．
求证：（1）
（2）．
【分析】（1）根据、，可直接得出是的平分线，由角平分线的定义可知；
（2）由，可知，故可得出，由对顶角相等可知，进而可得出，由以上条件可判断出，由全等三角形的判定定理即可得出．
【解答】证明：（1）、，，
是的平分线，
；
（2）与是直角三角形，，，
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
考点05 双角平分线模型
【典例1】（2022秋•香洲区期末）如图，在中，，与的平分线交于点，交于点，作于点，连接．
（1）求的大小；
（2）求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据角平分线的性质得，，由三角形外角性质得，，则，由三角形内角和定理得，，以此即可求解；
（2）过作于点，过作于点，根据角平分线的性质得，以此证明平分，则，根据三角形内角和定理算得，根据平角的定义算得，以此即可证明．
【解答】（1）解：平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
；
（2）证明：过作于点，过作于点，如图，
平分，，，
，
平分，，，
，
，
平分，
，
，
由（1）知，，
，
．
【典例2】（2023春•东方校级期末）在中，与的平分线相交于点．
（1）如图1，如果，，，求的度数；
（2）如图1，如果，用含的代数式表示；
（3）探索：如图2，作外角、的平分线交于点，试写出、之间的数量关系；
（4）拓展：如图3，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）或或或．
【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；
（2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可；
（3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；
（4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数．
【解答】解：（1），分别是和的角平分线，，，
，，
，
；
（2），分别是和的角平分线，
，，
，
；
（3），分别是，的角平分线，
，，
，，
，，
，
，
，
；
（3）是的角平分线，是的角平分线，
，，
，
，
，
由（3）知，
，
，
在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，，
，都是锐角，
分四种情况讨论：
①，
，
，
；
②，
，
；
③，
，
，
，
④，
，
解之得：，
综上可知：的度数为或或或．
【典例3】（2022秋•铁西区期末）如图，射线在的内部，已知，，与分别是和的平分线．
（1）当，时，求的度数；
（2）当，时，则的度数为 ；
（3）继续探究，发现与之间存在着一定的数量关系，这个数量关系是： ．
【答案】（1）的度数为；
（2）；
（3）．
【分析】（1）先利用角的和差关系求出，然后利用角平分线的定义求出，，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答；
（2）利用（1）的思路，进行计算即可解答；
（3）利用（1）的思路，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），，
，
与分别是和的平分线，
，，
，
的度数为；
（2），，
，
与分别是和的平分线，
，，
，
故答案为：；
（3）与分别是和的平分线，
，，
，
，
故答案为：．
考点06 角平分线综合问题
【典例1】（2023春•万源市校级期末）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再判定，即可得出；
（2）先判定，得出，再根据，求得的面积，进而得到的长．
【解答】解：（1）过点作于，
与中，，，，
，
，
又，
即，
，
又，，，
，
，
即平分；
（注：由，，，也可以直接得到平分．
（2），
，
又，，，
，
，
，
的面积，
，
，
解得．
【典例2】（2023春•高新区期末）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）连接交于点，若，求证：；
（3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长．
【答案】（1）（2）见解答；
（3）7.5．
【分析】（1）先利用是的角平分线得到，再利用三角形外角性质得到，则，接着利用得到，所以；
（2）过点作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，接着证明得到，然后利用得到，从而得到；
（3）先由得到，再利用等角的余角相等得到，接着证明得到，所以，然后利用得到．
【解答】（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
，
为边上的高，
，
，
，
平分；
（2）证明：过点作于点，于点，
平分，，，
，
，
即，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
【典例3】（2023春•长沙期末）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
（1）求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，且，求的面积．
【答案】（1）；
（2）证明见解答过程；
（3）．
【分析】（1）由平角的定义可求解的度数，再利用三角形的内角和定理可求解，进而可求解；
（2）过点分别作于，与，根据角平分线的性质可证得，进而可证明结论；
（3）利用三角形的面积公式可求得的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】（1）解：，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点分别作于，于，
平分，
，
，
平分，
，
，
平分；
（3）解：，，，
，
即，
解得，
，
．
考技提升
一、选择题
1．（2022秋•右玉县期末）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数
①平分；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】
【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解答】解：①过点作于，
平分，平分，，，，
，，
，
，，
点在的角平分线上，故①正确；
②，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理：，
，
，
，②正确；
③平分，平分，
，，
，③正确；
④由②可知，
，，
，故④正确，
故选：．
2．（2022秋•青川县期末）如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：为的平分线，，，
，
，即，
解得，
故选：．
3．（2022秋•宁乡市期末）如图，在中，，，为角平分线的交点，若的面积为30，则的面积为
A．18B．20C．22D．24
【答案】
【分析】由角平分线的性质可得，点到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比．
【解答】解：点是三条角平分线的交点，
点到，的距离相等，
、面积的比．
的面积为30，
的面积为24．
故选：．
4．（2022秋•大足区期末）如图，的三边、、的长分别是8、12、16，点是三条角平分线的交点，则的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过点作于点，于点，于点，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可．
【解答】解：如图，过点作于点，于点，于点，
点是三条角平分线的交点，
，
，
，
，
．
故选：．
5．（2023春•东营期末）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】
【分析】由题意可知，点到射线，的距离相等，则点在的平分线上，即可得出答案．
【解答】解：由题意可知，点到射线的距离是直尺的宽度，点到射线的距离也是直尺的宽度，
点到射线，的距离相等，
点在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：．
6．（2022秋•南沙区校级期末）如图，的外角的平分线与相交于点，若点到的距离为3，则点到的距离为
A．1B．2C．3D．4
【分析】过点作于，于，于，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．
【解答】解：如图，过点作于，于，于，
的外角平分线与的外角平分线相交于点，
，，
．
故选：．
7．（2023春•高新区校级期末）如图，已知的周长是18，，分别平分和，于，且，则的面积是
A．6B．9C．18D．36
【答案】
【分析】由角平分线的性质得到，由的面积的面积的面积的面积，得到的面积，由的周长，，即可求出的面积．
【解答】解：过作于，于，
，分别平分和，于，
，，
的面积的面积的面积的面积，
的面积，
的周长，，
的面积．
故选：．
二、填空题
8．（2022秋•唐河县期末）如图，四边形中，，，，，则的面积为 15 ．
【分析】过作，交的延长线于，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：过作，交的延长线于，
，，
，
，
，
，
的面积是，
故答案为：15．
9．（2022秋•雨花区期末）如图所示，平分，，于点，，，那么的长度为 1.5 ．
【分析】过作，交的延长线于，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，求出，再代入求出答案即可．
【解答】解：过作，交的延长线于，
，，平分，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
解得：，
故答案为：1.5．
三、解答题
10．（2022秋•江都区期末）如图，中，为的中点，交的平分线于，，交于，，交的延长线于，试问：与的大小如何？证明你的结论．
【分析】连、，根据角平分线性质得；根据垂直平分线的性质得；再根据“”定理证明，从而得．
【解答】解：相等．
证明如下：连、，
是的平分线，
且于，于，
．
于，是的中点，
．
，
．
11．（2023春•江都区期末）已知：如图，平分，点在上，点在上，连接、，与相交于点，．
（1）证明：；
（2）若，，求．
【答案】（1）证明见解答．
（2）．
【分析】（1）根据题意和对顶角相等得到，根据平行线的性质和判定即可证得．
（2）根据角平分线的性质求出，由（1），根据平角的定义即可求解．
【解答】（1）证明：，，
，
，
．
（2）解：平分，
，
，
，
，
．
1．角平分线的性质可以证明两条线段相等，不需要再通过证三角形全等来证线段相等；
2．已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段，常添加辅助线：由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，利用角平分线的性质，得到相等的两条垂线段．
1．角的平分线可以看作是由角的顶点及角的内部到角的两边的距离相等的所有点组成的射线．
2．由角的平分线的性质可证明线段相等，由判定可证明角相等，二者互为逆定理，即点在角平分线上点到角的两边的距离相等．
1．角平分线尺规作图的作图依据是：构造三角形全等（SSS）．
2．尺规作图中的“尺”指没有刻度的直尺，其用途是作直线，“规”指圆规，其用途是作长度相等的线段．
3．“画射线OP”不能说成“连接OP，因为角平分线是一条射线，不是一条线段．
1．明确命题中的已知和求证．
2．根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证．
3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
4．证明一个命题的步骤不是固定不变的，要根据题目的实际情况而定，但是总体必须是完整的．
5．证明过程中的每一步推理都要有依据，切忌想当然．推理依据可以是已知条件，也可以是已经学过的定义、定理和基本事实．
6．一般把命题改写成“如果……那么…”的形式，判断出题设和结论，通常情况下题设是已知，结论是求证．
7．作图尽量规范，通过观察、测量规范的图形可猜想有关结论，从而形成正确的解题思路；不规范的图形容易产生误导．
8．所画图形应具有一般性和代表性，要考虑是否存在不同的情形，若存在，需要画出不同图形然后分别证明．
1．常见的模型有：（1）内角平分线+内角平分线模型；（2）内角平分线+外角平分线模型；（3）外角平分线+外角平分线模型；（4）飞镖+角平分线模型等．
2．无论是何种模型，关键是作出恰当的辅助线，准确作图．
3．运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
4．角平分线常考的辅助线作法：
图中有角平分线，可向两边作垂线．
角平分线加垂线，三线合一试试看．
角平分线平行线，等腰三角形来添．
也可将图对折看，对称以后关系现．
1．角平分线的性质与判定的综合问题主要是直接利用角平分线的性质定理和判定定理去解决线段相等或者角相等的问题，不必再去证明两个三角形全等．有时需要添加辅助线，过角平分线上的点向角的两边作垂线段，将符合性质定理的基本图形构造出来．
2．作图尽量规范，通过观察、测量规范的图形可猜想有关结论，从而形成正确的解题思路；不规范的图形容易产生误导．
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