【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 二次函数应用题专题训练（含解析）

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(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2 400元的销售利润，又想卖得快，则销售单价应定为多少元?
2．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若双肩包定价为110元，则一个月的销售量为300个，若每降价1元，则每个月可以多销售10个．设这种双肩包的单价为元，一个月的销售利润为元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)该商店热心公益事业，决定从这种双肩包每月的利润中捐出1750元给希望工程，为了保证捐款后每月剩余利润不低于12000元，求销售单价的范围．
3．某片果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实5250千克？
(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？
4．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第天生产的粽子数量为只，与满足下列关系式：．

(1)李明第几天生产的粽子数量为只？
(2)如图，设第天每只粽子的成本是元，与之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第天创造的利润为元，求与之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？
（利润出厂价-成本）
(3)设（2）小题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多元，则第天每只粽子至少应提价几元？
5．某商店经销一种销售成本为元/的水产品，据市场分析：若按元/销售，一个月能售出，销售单价每涨元，月销售量就减少．设售价为元/（），月销售量为；
(1)求月销售量与售价之间的函数解析式；
(2)当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
(3)商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润不少于元，销售单价应定在什么范围？请直接写出售价的取值范围．
6．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
(1)求与的关系式；
(2)若部门规定每件商品的利润率不得超过150%，设日利润为w元，求公司销售商品获得的最大日利润；
(3)若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1200元，求a的值．
7．第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件50元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．
(1)设月利润为W（元），求W关于x的函数表达式．
(2)销售单价定为每件多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？
(3)若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过75元，李明想使获得的月利润不低于3000元，求销售单价x的取值范围．
8．为增强民众生活幸福感，县政府大力推进老旧小区改造工程．电厂小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/）与种植面积x（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/．

(1)当时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时．
①求出x的取值范围；
②如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
9．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，水面的宽是

(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)在正常水位时，有一艘宽、高的小船，它能通过这座桥吗？
(3)现有一艘以每小时的速度向此桥径直驶来，当船距此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨,当水位在处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？
10．某宾馆有40个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天220元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
11．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
(1)请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
(2)该网店每星期的销售利润要不低于2400元，求销售单价x的取值范围？
(3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
12．为庆祝中华人民共和国七十四周年华诞，南海商店进行了促销活动．商店将进货价50元的篮球以100元售出，平均每天能售出40个，经市场调查发现每降价5元，一天可以多售出10个．
(1)售价为85元时，当天的销售量是_________个；
(2)如果每天的利润要比原来多400元，并使顾客得到更大的优惠，问每个篮球售价为多少元？
(3)若商店投入资金不少于2500元又不多于2600元，共有多少种购买方案？求最高盈利多少钱？
13．某企业安排75名工人生产甲，乙两种产品，每名工人每天可生产2件甲产品或1件乙产品，且每名工人每天只能生产一种产品，甲产品每件可获利20元．根据市场需求，乙产品每天产量不少于5件，当乙产品每天生产5件时，每件可获利150元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，设每天安排（为不小于5的整数）名工人生产乙产品．
(1)用含的代数式表示：每天生产甲产品的工人有____________名；每件乙产品可获利润____________元．
(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多450元，求每件乙产品可获得的利润；
(3)该企业在不增加工人数量的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲，丙两种产品的产量相等．已知每名工人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利25元，该企业每天生产三种产品，且可获得的总利润的和最大时，请求出的值．
14．某水果商店推出一款水果拼盘套餐受到广大消费者的喜爱，每天销售量y盒与销售单价x元∕盒之间存在一次函数关系（如下表所示）．已知水果拼盘套餐的成本为30元∕盒．
(1)直接写出y与x的函数关系式：
(2)当销售单价为多少时，当天的销售利润最大？
(3)若水果商店希望通过调整，将这一款拼盘套餐降低成本m元∕盒，使每天在销售量不超过100盒的前提下，最大销售利润为7600元．求出m的值．
15．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是（单位：），面积是（单位：）．

(1)求与的函数关系式及的取值范围；
(2)如果要围成面积为的花圃，的长为多少米？
(3)长为多少时，花圃面积最大，最大面积是多少？
16．一次足球训练中，小军从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米.现以为原点建立如图所示直角坐标系.

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
(3)已知点C为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时小军带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点但不含点），求的取值范围.
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
销售单价x元∕盒
40
50
60
销售量y盒
220
200
180
参考答案：
1．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
当时，w有最大值3 200，
所以当单价定为120元时，每天的销售利润最大，最大利润是3 200元；
（3）解：由题意，，
解得：，
当时，，
当时，，
因为想卖得快，所以销售单价应定为100元．
2．
【详解】（1）解∶根据题意，得
，
即；
（2）解：
，
∵，开口向下，
∴当时，有最大值为16000，
即销售单价定为100元时，每月的销售利润最大，最大利润为16000元；
（3）解：由题意，知，
解得，，

∵，开口向下，
结合图象可知：当时，，
∴销售单价的范围为．
3．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将点和代入得：，
解得，
则与之间的函数关系式为．
（2）解：设增种果树棵时，果园可以收获果实5250千克，
由题意得：，
解得或，
因为要求投入成本最低，
所以，
答：在投入成本最低的情况下，增种果树10棵时，果园可以收获果实5250千克．
（3）解：由题意得：
，
，
抛物线开口向下，函数有最大值，
则当时，取得最大值，最大值为6050，
答：当增种果树50棵时，果园的总产量（千克）最大，果园的最大产量是6050千克．
4．
【详解】（1）设李明第天生产的粽子数量为420只，
由题意可知：，解得．
第天生产的粽子数量为只．
（2）由图象得，当时，；
当时，设，
把点，代入得，，
解得，
∴，
①时，，当时，（元）；
②时，，
∵是整数，
∴当时，（元）；
③时，，
∵，
∴当时，（元）；
综上，当时，有最大值，最大值为
（3）由（2）可知，，
设第天提价元，由题意得，，
∴，解得．
答：第天每只粽子至少应提价元．
5．
【详解】（1）由题意可得，
，
即月销售量与售价之间的函数解析式是；
（2）设利润为元，
由题意可得，
∴当时，取得最大值，此时，
答：当售价定为元时，月销售利润最大，最大利润是元；
（3）∵月销售成本不超过元，月销售利润不少于元，
∴，
解得，
即的取值范围是．
6．
【详解】（1）解：根据题意设与的关系式为，
将，代入上式得，
解得，
与的关系式为．
（2）解：设日利润为w元，则
，
，
抛物线的开口向下，对称轴为，
又，
解得，
，在对称轴左侧，
随着的增大而增大，
当时，的值最大，即，
公司销售商品获得的最大日利润为2100元．
（3）解：由题意得，
抛物线的开口向下，对称轴为，
当时，，解得，，
，
解得：，
分两种情况讨论：
①当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，
当时，，
②当 时，包含，在的区间内，
这种情况不成立，
综上所述，得．
7．(1)
(2)70，4000
(3)
【分析】（1）根据利润每件的利润销售数量，列出关系式即可；
（2）由（1）得，利用二次函数的性质解决即可；
（3）根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系：，
根据利润每件的利润销售数量得：
，
；
（2）解：由（1）得，
销售单价定为每件70元时，所得月利润最大，最大月利润为4000元；
（3）解：由（1）得，
当时，即，
整理得：，
解得：，，
，
抛物线开口向下，
获得的月利润不低于3000元，
，
销售单价不得超过75元，
．
8．(1)
(2)①；②甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用最少，最少是5800元
【分析】（1）分两种情况，用待定系数法求出与的函数关系式；
（2）①设甲种花卉种植面积为，根据甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍列出不等式组，解之即可；②根据总费用甲种花卉种植费用乙种花卉种植费用，分两种情况列出函数关系式，求出最小值，再比较即可得答案．
【详解】（1）解：当时，，
当时，设，
把，代入得：
，
解得：，
，
；
（2）①设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，
甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍，
，
解得，
②当时，，
，
当时，最小，最小为（元），
当时，，
，对称轴为直线，且，
时，取最小值，最小为（元），
，
当时，取最小值，最小为5800元，
此时，
答：甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用（元）最少，最少5800元．
【点睛】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
9．(1)
(2)在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥
(3)该船按原来的速度行驶，能安全通过此桥
【分析】（1）设抛物线的解析式为（a不等于0），桥拱最高点O到水面的距离为h米．则，代入抛物线的解析式解方程组即可．
（2）当时，，因为，所以在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
（3）求出船到桥是时间，再求出水位上升的高度即可判断．
【详解】（1）设抛物线的解析式为（a不等于0），桥拱最高点O到水面的距离为h米．
由题意得，，
代入，得：
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，
∵
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
（3）船行驶的时间小时．，
∴该船按原来的速度行驶，能安全通过此桥、
10．(1)；
(2)；
(3)一天订住30个房时，宾馆的利润最大，最大利润是9000元．
【分析】（1）根据当每个房间每天房价增加10元，就会空闲一个房间，可以写出与的函数关系式；
（2）根据题意，宾馆一天的利润=每个房间的利润×订住的房间数；
（3）利用配方法将（2）中的二次函数化成顶点式，再求二次函数的最大值即可得利润的最大值，特别注意自变量的取值的范围．
【详解】（1）解：依题，得，
每个房间每天的房价不得高于340元，
，
故与的函数关系式为；
（2）解：设宾馆一天的利润为元，
，
与的函数关系式为：；
（3）解：，
，对称轴为直线，
时，w取得最大值，此时，此时，
答：一天订住30个房时，宾馆的利润最大，最大利润是9000元．
11．(1)
(2)当时，该网店每星期的销售利润要不低于2400元．
(3)当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
【分析】（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；
（2）设该网店每星期的销售利润为w元，，根据题意列出方程，解方程即可求解；
（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．
【详解】（1）由题意可得，；
（2）设该网店每星期的销售利润为w元，
由题意可得，当时，，
解得，，，
∵二次项系数为，
∴开口向下，
∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元，
∴当时，该网店每星期的销售利润要不低于2400元．
（3），
∴当时，w有最大值，最大值为2450，
∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
12．(1)售价为85元时，当天的销售量为70件；
(2)每个篮球售价为80元；
(3)共有三种购买方案，求最高盈利元．
【分析】（1）降低5元增加10个，可知若售价为85元时，降低元，进而即可列出算式求解；
（2）利润售价进价，根据每个篮球的利润乘以销售量得到总利润，列出方程求解即可；
（3）设购买篮球个，每个篮球售价元，总利润为y元，利用“投入资金不少于2500元又不多于2600元”求得的范围，利用每个篮球的利润乘以销售量得到总利润
【详解】（1）解：（个）．
答：售价为85元时，当天的销售量为70个；
（2）解：设每个篮球售价元，
，
化简得，
解得：，，
使顾客得到尽可能大的实惠，
，
答：每个篮球售价为80元；
（3）解：设购买篮球个，每个篮球售价元，总利润为y元，
根据题意得，
解得，即有三种购买方案，
，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当，时，最高利润为（元）．
答：共有三种购买方案，求最高盈利元．
13．(1)，
(2)每件乙产品可获得利润是130元
(3)33
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润，再根据“每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多450元”列出方程，解方程即可得到答案；
（3）设生产甲产品人，则生产丙产品人，则，设获得的总利润的和为元，根据题意列出函数解析式，再根据函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
每天安排人生产乙产品时，生产甲产品的有人，
在乙每件可获利150元的基础上，增加人，利润减少元每件，
乙产品的每件利润为：元，
故答案为：，；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
，
，
每件乙产品可获得利润是130元；
（3）解：设生产甲产品人，则生产丙产品人，可获得的总利润的和为元，
，
，
根据题意得：
，
对称轴为直线，
为正整数，，
或时，最大，
当时，不是整数，当时，，
，
的值为33．
14．(1)
(2)90元∕盒
(3)6
【分析】（1）根据待定系数法解答即可；
（2）设销售单价x（元/盒）时，每天的销售利润为w元，根据每天销售利润=每件的利润×销售量即可得出w关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质即可求出结果；
（3）先由每天销售量不得超过100件求出x的取值范围，然后根据每天销售利润=每件的利润×销售量列出w关于x的二次函数（含m），然后根据二次函数的性质即可得到w的最大值，进而可得关于m的方程，解方程即得结果．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
根据题意，得，
解得，
∴
（2）解：设销售单价x（元/盒）时，每天的销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当元时，w有最大值，最大值为7200，
即销售单价为90元∕盒时，当天的销售利润最大；
（3）解：由题意可列出不等式组：，
解得：，
∴
，
∴该二次函数的图象开口向下且对称轴为直线：，
∵，
∴，
又∵，
∴当时，w有最大值为，
又∵w有最大值为7600，
∴，解得：．
∴m的值为6．
15．(1)
(2)要围成面积为的花圃，的长为9米．
(3)，最大面积为：．
【分析】（1）根据面积关系列函数表达式即可；
（2）将代入（1）中表达式，再解方程并检验即可求解；
（3）利用（1）中的函数关系式，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：根据题目数量关系得，，
根据题意，，
∴，
∴．
（2）将代入得，
整理得：，
∴，
∵，则不符合题意舍去，
∴要围成面积为的花圃，的长为9米．
（3）∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
∴当时，面积最大，
此时，
最大面积为：；
16．(1)
(2)球不能射进球门
(3)
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，然后将点代入即可解答；
（2）令，求得函数值，然后与比较即可解答；
（3）设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为，把点、分别代入求得n的值，据此确定n的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，
把点代入得：，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：令时，．
∴球不能射进球门．
（3）解：设小明带球向正后方移动n米，则移动后的抛物线为，
把点代入得：，解得：（舍去）或，
把点代入得：，解得：（舍去）或，
∴足球恰好经过区域（含点但不含点）时，n的取值范围为．