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【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 圆的切线证明专题训练（含解析）
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这是一份【期中复习】人教版 初中数学九年级上册 期末专题复习 圆的切线证明专题训练（含解析），共44页。试卷主要包含了如图，是的直径，点在上，，，等内容，欢迎下载使用。
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
2．如图，在中，，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
3．如图，是的直径，，，相交于点，过点作，与的延长线相交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
4．如图，为的直径，是的切线，，为的中点，在上，，连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
5．如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，．
(1)求证：是的切线：
(2)求的半径．
6．如图，的半径为2，点A是的直径延长线上的一点，C为上的一点，，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求的面积．
7．如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
8．如图，在中，，点O在边上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，在边上取一点F，连接，使得．
(1)求证：为半圆O的切线；
(2)若，求半圆O的半径长．
9．如图，是的直径，点在上，，，．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
10．如图，已知是以为直径的的外接圆，，交于点D，交于点E，连接，交于点F，延长到点P，连接．
(1)若，求证：是的切线；
(2)如果，求的长度．
11．如图，是的直径，点是上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，交于点E，且平分∠DAB．
(1)求证：直线是的切线；
(2)连接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的长．
12．如图，是的直径，点C在上，于E，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
13．如图，是的直径，C为圆上一点，点D是的中点，过点D的直线垂直直线于点E，与的延长线交于点G，弦．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
14．如图，是的直径，是的切线，是的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P．
(1)求证：；
(2)若的半径5，，求线段的长．
15．如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点A作交的延长线于点，且．
(1)求证：是半的切线；
(2)若，，求半的半径．
16．如图，为的直径，C、D为上的两个点，，连接，过点D作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
17．如图，在中，，⊙O与，分别相切于点E，F，平分，连接．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
18．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过、的分别交、于点、，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)若，半径为2，求阴影部分面积．（结果保留）
19．如图，与相切于点，连接并延长交于点，是上一点，且，连接，与交于点F．
(1)求证：．
(2)若，求劣弧的长．
(3)求证：是的切线．
20．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．
(1)求的度数；
(2)若，计算图中阴影部分的面积．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理和平行线的性质得到，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用线段 垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质求，利用勾股定理求得，则．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵D是的中点，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的直径，半径为2，
∴．
在中，．
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质定理，平行线的性质，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据是的直径，可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，即可求证；
（2）连接，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，继而得到的长，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴点D是的中点，
∵点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴为的半径；
（2）解：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径是．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，连接交于，根据，可得，则，进而可得，，由，即可得出结论；
（2）设，则，根据勾股定理可得，进而根据中位线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，连接交于，
，
，
，
，
，，
，
半径，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，，
是的中位线，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，中位线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
4．(1)详见解析
(2)4
【分析】（1）连接，作于，作于，由三角形中位线定理推出，而，得到，即可证明，得到，由四边形是矩形，，得到，即可证明为的切线；
（2）由，，得到，而，得到，而，由勾股定理求出，即可得到的半径是4．
【详解】（1）证明：连接，作于，作于，
是中点，是中点，
是的中位线，
，，
，
，
，，
，
，
切圆于，
半径，
，，
四边形是矩形，
，，
，
为的切线；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
，
，
，
的半径是4．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形和矩形，从而证明．
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证；
（2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径．
【详解】（1）证明：，
，
，，，
，
，
为的切线；
（2）解：在中，，，
根据勾股定理得：，
与都为的切线，
，
；
在中，设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则圆的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理,切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据，得到，进而得到，然后求出，即可证明；
（2）首先得到是等边三角形，然后作于点H，利用等腰三角形三线合一性质得到，进而利用勾股定理求出，得到，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵OC是半径
∴直线是的切线；
（2）由（1）得是等边三角形，
作于点H，则
∴
在中，，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了圆和三角形综合题，圆切线的判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形的性质证出，则可得出结论；
（2）由直角三角形的性质证得，由等腰三角形的判定可得出结论.
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
，
又，
．
又，
，
，即，
，
又点在上，
是的切线；
（2）证明：，
，
又，
，
又，，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由等边对等角得出，，再由三角形内角和推出即可证明为半圆O的切线；
（2）连接，设半圆O的半径长为r，根据勾股定理得到，即，求解次方程即可．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是半圆O的切线．
（2）解：连接，设半圆O的半径长为r，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴半圆O的半径长是．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，三角形内角和等知识，熟练掌握切线的判定，正确作出辅助线，利用勾股定理联立方程是解决问题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，易知，进而可知，由可知，即可证明结论；
（2）根据已知条件证明四边形是平行四边形，再利用阴影部分的面积即可求解．
【详解】（1）解：连接，
，，
，
，
∵，
，即半径于，
为圆的切线；
（2）∵的半径为1，
∴，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
图中阴影部分的面积．
【点睛】题考查了切线的证明，求扇形面积，平行四边形的性质与判定，求得扇形的圆心角度数是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据等边对等角以及对顶角相等可以证得，然后根据圆周角定理证明是直角三角形，据此即可证得，从而证明是切线；
（2）根据勾股定理求得的长，然后根据垂径定理即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
∵是圆的直径，
∴，即．
又，
∴．
∴在直角中，，
又，
，
，即，
∴是的切线；
（2）解：是的直径，
，
交于点E，
，
.
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及等边对等角的性质，本题中证明是关键．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，则，由，可证，即可证明直线是的切线；
（2）先求出，利用勾股定理求出，证明∽求出，利用勾股定理求出，，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵点在上，
∴直线是的切线；
（2）解：如图所示，连接，由（1）得，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，，
∴∽，
∴，即，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得，即可解答；
（2）根据已知可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后根据垂径定理可得，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及平行线的性质，可得，进而得到，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）由垂径定理可得，由勾股定理可求出，再根据相似三角形的性质可求出，进而得出半径，由相似三角形可求出，进而求出．
【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点H，连接，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
（2）解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，相似三角形的性质以及垂径定理勾股定理，掌握切线的判定方法，勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键．
14．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据平行线的判定和切线的性质解答即可；
（2）如图，连接，构造出直角三角形，利用垂径定理和勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，是直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点 作 于点 ，由切线的性质知，，又，，，推证 ，由角平分线性质定理得，结论得证；
（2）由切线长定理知，由等腰三角形性质知，进一步推证，由直角三角形性质，求解圆半径为 ．
【详解】（1）证明：过点 作 于点 ．
为半 切线，
，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
，
，
是半 的半径．
，
是半的切线．
（2） 是半的切线， ，
．
，
．
，
，
，
．
在 中， ，
，
的半径为 ．
【点睛】本题考查圆切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形性质，角平分线性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用已知的角之间的数量关系结合直角三角形性质求解角度是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)的长为
【分析】（1）连接，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，求得，于是得到结论；
（2）连接，证明出为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵OD为的半径
∴DE是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴为等边三角形
∴，
∴的长．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，过点O作于点D,由切线性质得，进而根据角平分线性质得，命题得证；
（2）方法一：由图知，易证四边形是正方形，所以，，进一步证得平分，可求，组合图形思路求面积，；方法二：求证四边形是正方形，进一步可证，，所以．
【详解】（1）证明:
连接，，过点O作于点D,
∵与相切于点E,
∴,
∵是的平分线，
∴，
∴是圆的半径，
∴是⊙O的切线.
（2）方法一：由图知，,
∴四边形是正方形,
∴
∴，
∴，
由（1）得，
∴平分
∴
∴=.
答：图中阴影部分的面积.
方法二
由法一，四边形是正方形,
∴,
∴
∴，
∵、是⊙O的切线
∴，
又∵
∴，
同理可证
求得
=（）=.
【点睛】本题考查角平分线性质和判定、正方形的判定和性质、切线的判定、扇形面积计算、组合图形面积计算；识别组合图形，明确图形间面积的和差关系是解题的关键．
18．(1)证明见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）如图所示，连接，根据等边对等角和角平分线的定义证明，推出，则，由此即可证明结论；
（2）设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到阿安；
（3）先根据等边对等角和角平分线的定义得到，进而利用三角形内角和推出，则，求出，，再根据进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为3；
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵半径为2，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求不规则图形的面积，等边对等角，平行线的性质与判定，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，通过连接，证明切线从而构造直角三角形是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，切线的判定，弧长公式，熟练掌握圆的性质，切线的性质与判断是解题的关键．
(1)利用切线的性质，余角的性质，证明即可．
(2)利用余角的性质，，连接，根据垂径定理，得到，利用弧长公式计算即可．
(3)连接，证明即可．
【详解】（1）∵与相切于点，是的直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
（2）∵
∴，，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
20．(1)
(2)
【分析】（1）连接，由切线的性质得到，由切线长定理推出，求出，推出是等边三角形，即可得到的度数；
（2）由证明得到求出的长，即可求出的面积，求出扇形的面积，即可求出阴影的面积．
【详解】（1）解：如图，连接，
，是的切线，，为切点，
，
是等边三角形，
；
（2）如图，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，
【点睛】本题考查切线的性质，扇形面积、三角形面积的计算，等边三角形的判定与性质，求出扇形和的面积是解答本题的关键．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
2．如图，在中，，以为直径的与交于点D，与边交于点E，过点D作的垂线，垂足为F．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的半径．
3．如图，是的直径，，，相交于点，过点作，与的延长线相交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
4．如图，为的直径，是的切线，，为的中点，在上，，连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径．
5．如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，．
(1)求证：是的切线：
(2)求的半径．
6．如图，的半径为2，点A是的直径延长线上的一点，C为上的一点，，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求的面积．
7．如图，是的直径，点是上的一点，交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：．
8．如图，在中，，点O在边上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，在边上取一点F，连接，使得．
(1)求证：为半圆O的切线；
(2)若，求半圆O的半径长．
9．如图，是的直径，点在上，，，．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
10．如图，已知是以为直径的的外接圆，，交于点D，交于点E，连接，交于点F，延长到点P，连接．
(1)若，求证：是的切线；
(2)如果，求的长度．
11．如图，是的直径，点是上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，交于点E，且平分∠DAB．
(1)求证：直线是的切线；
(2)连接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的长．
12．如图，是的直径，点C在上，于E，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
13．如图，是的直径，C为圆上一点，点D是的中点，过点D的直线垂直直线于点E，与的延长线交于点G，弦．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
14．如图，是的直径，是的切线，是的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P．
(1)求证：；
(2)若的半径5，，求线段的长．
15．如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点A作交的延长线于点，且．
(1)求证：是半的切线；
(2)若，，求半的半径．
16．如图，为的直径，C、D为上的两个点，，连接，过点D作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
17．如图，在中，，⊙O与，分别相切于点E，F，平分，连接．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．
18．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过、的分别交、于点、，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)若，半径为2，求阴影部分面积．（结果保留）
19．如图，与相切于点，连接并延长交于点，是上一点，且，连接，与交于点F．
(1)求证：．
(2)若，求劣弧的长．
(3)求证：是的切线．
20．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．
(1)求的度数；
(2)若，计算图中阴影部分的面积．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理和平行线的性质得到，利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用线段 垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质求，利用勾股定理求得，则．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵D是的中点，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的直径，半径为2，
∴．
在中，．
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，三角形的中位线的性质定理，平行线的性质，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据是的直径，可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，即可求证；
（2）连接，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，继而得到的长，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴点D是的中点，
∵点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴为的半径；
（2）解：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径是．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，连接交于，根据，可得，则，进而可得，，由，即可得出结论；
（2）设，则，根据勾股定理可得，进而根据中位线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：连接，连接交于，
，
，
，
，
，，
，
半径，
是的切线；
（2）解：设，
，
，
，
，
，
，，
是的中位线，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，中位线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
4．(1)详见解析
(2)4
【分析】（1）连接，作于，作于，由三角形中位线定理推出，而，得到，即可证明，得到，由四边形是矩形，，得到，即可证明为的切线；
（2）由，，得到，而，得到，而，由勾股定理求出，即可得到的半径是4．
【详解】（1）证明：连接，作于，作于，
是中点，是中点，
是的中位线，
，，
，
，
，，
，
，
切圆于，
半径，
，，
四边形是矩形，
，，
，
为的切线；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
，
，
，
的半径是4．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形和矩形，从而证明．
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证；
（2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径．
【详解】（1）证明：，
，
，，，
，
，
为的切线；
（2）解：在中，，，
根据勾股定理得：，
与都为的切线，
，
；
在中，设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则圆的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理,切线长定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据，得到，进而得到，然后求出，即可证明；
（2）首先得到是等边三角形，然后作于点H，利用等腰三角形三线合一性质得到，进而利用勾股定理求出，得到，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵OC是半径
∴直线是的切线；
（2）由（1）得是等边三角形，
作于点H，则
∴
在中，，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了圆和三角形综合题，圆切线的判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形的性质证出，则可得出结论；
（2）由直角三角形的性质证得，由等腰三角形的判定可得出结论.
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
，
又，
．
又，
，
，即，
，
又点在上，
是的切线；
（2）证明：，
，
又，
，
又，，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由等边对等角得出，，再由三角形内角和推出即可证明为半圆O的切线；
（2）连接，设半圆O的半径长为r，根据勾股定理得到，即，求解次方程即可．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是半圆O的切线．
（2）解：连接，设半圆O的半径长为r，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴半圆O的半径长是．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，三角形内角和等知识，熟练掌握切线的判定，正确作出辅助线，利用勾股定理联立方程是解决问题的关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，易知，进而可知，由可知，即可证明结论；
（2）根据已知条件证明四边形是平行四边形，再利用阴影部分的面积即可求解．
【详解】（1）解：连接，
，，
，
，
∵，
，即半径于，
为圆的切线；
（2）∵的半径为1，
∴，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
图中阴影部分的面积．
【点睛】题考查了切线的证明，求扇形面积，平行四边形的性质与判定，求得扇形的圆心角度数是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据等边对等角以及对顶角相等可以证得，然后根据圆周角定理证明是直角三角形，据此即可证得，从而证明是切线；
（2）根据勾股定理求得的长，然后根据垂径定理即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
∵是圆的直径，
∴，即．
又，
∴．
∴在直角中，，
又，
，
，即，
∴是的切线；
（2）解：是的直径，
，
交于点E，
，
.
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及等边对等角的性质，本题中证明是关键．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，则，由，可证，即可证明直线是的切线；
（2）先求出，利用勾股定理求出，证明∽求出，利用勾股定理求出，，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵点在上，
∴直线是的切线；
（2）解：如图所示，连接，由（1）得，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，，
∴∽，
∴，即，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得，即可解答；
（2）根据已知可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后根据垂径定理可得，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．(1)见解析；
(2) ．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及平行线的性质，可得，进而得到，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）由垂径定理可得，由勾股定理可求出，再根据相似三角形的性质可求出，进而得出半径，由相似三角形可求出，进而求出．
【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点H，连接，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是⊙O的半径，
∴是⊙O的切线；
（2）解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，相似三角形的性质以及垂径定理勾股定理，掌握切线的判定方法，勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键．
14．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据平行线的判定和切线的性质解答即可；
（2）如图，连接，构造出直角三角形，利用垂径定理和勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵，是直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点 作 于点 ，由切线的性质知，，又，，，推证 ，由角平分线性质定理得，结论得证；
（2）由切线长定理知，由等腰三角形性质知，进一步推证，由直角三角形性质，求解圆半径为 ．
【详解】（1）证明：过点 作 于点 ．
为半 切线，
，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
，
，
是半 的半径．
，
是半的切线．
（2） 是半的切线， ，
．
，
．
，
，
，
．
在 中， ，
，
的半径为 ．
【点睛】本题考查圆切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形性质，角平分线性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用已知的角之间的数量关系结合直角三角形性质求解角度是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)的长为
【分析】（1）连接，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，求得，于是得到结论；
（2）连接，证明出为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵OD为的半径
∴DE是的切线；
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴为等边三角形
∴，
∴的长．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，过点O作于点D,由切线性质得，进而根据角平分线性质得，命题得证；
（2）方法一：由图知，易证四边形是正方形，所以，，进一步证得平分，可求，组合图形思路求面积，；方法二：求证四边形是正方形，进一步可证，，所以．
【详解】（1）证明:
连接，，过点O作于点D,
∵与相切于点E,
∴,
∵是的平分线，
∴，
∴是圆的半径，
∴是⊙O的切线.
（2）方法一：由图知，,
∴四边形是正方形,
∴
∴，
∴，
由（1）得，
∴平分
∴
∴=.
答：图中阴影部分的面积.
方法二
由法一，四边形是正方形,
∴,
∴
∴，
∵、是⊙O的切线
∴，
又∵
∴，
同理可证
求得
=（）=.
【点睛】本题考查角平分线性质和判定、正方形的判定和性质、切线的判定、扇形面积计算、组合图形面积计算；识别组合图形，明确图形间面积的和差关系是解题的关键．
18．(1)证明见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）如图所示，连接，根据等边对等角和角平分线的定义证明，推出，则，由此即可证明结论；
（2）设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到阿安；
（3）先根据等边对等角和角平分线的定义得到，进而利用三角形内角和推出，则，求出，，再根据进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为3；
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵半径为2，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求不规则图形的面积，等边对等角，平行线的性质与判定，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，通过连接，证明切线从而构造直角三角形是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线的性质，切线的判定，弧长公式，熟练掌握圆的性质，切线的性质与判断是解题的关键．
(1)利用切线的性质，余角的性质，证明即可．
(2)利用余角的性质，，连接，根据垂径定理，得到，利用弧长公式计算即可．
(3)连接，证明即可．
【详解】（1）∵与相切于点，是的直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
（2）∵
∴，，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
20．(1)
(2)
【分析】（1）连接，由切线的性质得到，由切线长定理推出，求出，推出是等边三角形，即可得到的度数；
（2）由证明得到求出的长，即可求出的面积，求出扇形的面积，即可求出阴影的面积．
【详解】（1）解：如图，连接，
，是的切线，，为切点，
，
是等边三角形，
；
（2）如图，连接，
，，
，
，，
，
，
，
，
【点睛】本题考查切线的性质，扇形面积、三角形面积的计算，等边三角形的判定与性质，求出扇形和的面积是解答本题的关键．
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