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【期末模拟】人教版2023年初中数学 八年级上册 期末模拟考试卷（原卷+解析卷+答题卡）.zip
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这是一份【期末模拟】人教版2023年初中数学 八年级上册 期末模拟考试卷（原卷+解析卷+答题卡）.zip，文件包含期末模拟人教版2023-2024学年八年级数学上册期末模拟考试卷原卷docx、期末模拟人教版2023-2024学年八年级数学上册期末模拟考试卷解析卷docx、期末模拟人教版2023-2024学年八年级数学上册期末模拟考试卷答题卡pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）。
1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2．若分式x2−x有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≠0C．x≠0且x≠2D．x≠2
【答案】D
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此解答．
【详解】解：由题意得2−x≠0，
解得x≠2，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟记解答方法是解题的关键．
3．已知一个n边形的内角和等于外角和的5倍，则n的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】本题可利用等量关系式以及多边形内角和公式解答．根据题意列出方程即可．
【详解】由题可知（n-2）•180=360×5，
180n-360=1800，
180n=2160，
n=12．
故选：D．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，难度属一般，关键是利用内角和公式列方程解答．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a8÷a2=a4B．a3⋅a3⋅a3=3a3
C．3a2⋅2a4=6a6D．−a34=a7
【答案】C
【分析】根据运算法则逐一计算判断即可
【详解】∵a8÷a2=a6，
∴A式计算错误；
∵a3⋅a3⋅a3=a9，
∴B式计算错误；
∵3a2⋅2a4=6a6，
∴C式计算正确；
∵−a34=a12，
∴D式计算错误；
故选C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B′处，若∠B=35°，∠BNM=28°，则∠AMB′的度数为（ ）
A．30°B．37°C．54°D．63°
【答案】C
【分析】由折叠的性质，得△BMN≅△B′MN，得∠BMN=∠B′MN，再求出∠BMN,∠AMN的度数，即可得答案．
【详解】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B′处，
∴△BMN≅△B′MN，
∴∠BMN=∠B′MN，
∵∠B=35°，∠BNM=28°，
∴∠BMN=180°−35°−28°=117°,∠AMN=35°+28°=63°，
∴∠AMB′=∠B′MN−∠AMN=117°−63°=54°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质，解题的关键是证明△BMN≅△B′MN．
6．如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵AD＝DC，∠C＝40°，
∴∠DAC=∠C=40° ，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAE=30° ，
∵BE⊥AD，AB＝6，
∴BE=12AB=3 ，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半．
7．如果分式xy2x−3y中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍B．扩大为原来的4倍C．不变D．不能确定
【答案】A
【分析】将分式xy2x−3y中的x，y都扩大为原来的2倍，得到新的分式化简与原分式比较即可得答案．
【详解】解：分式xy2x−3y中的x，y都扩大到原来的2倍，那么新分式为2x×2y2×2x−3×2y=4xy22x−3y=2·xy2x−3y，
所以分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式分式的值不变．
8．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB//DE，则∠AFD的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】A
【分析】设AB与EF交于点M，根据AB//DE，得到∠AMF=∠E=45°，再根据三角形的内角和定理求出结果．
【详解】解：设AB与EF交于点M，
∵AB//DE，
∴∠AMF=∠E=45°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴∠AFM=180°−30°−45°=105°,
∵∠EFD=90°,
∴∠AFD=15°，
故选：A．
．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键．
9．如图，△ABC中，AB=AC=13，S△ABC=65，AD是∠BAC的角平分线，E是AD上的动点，F是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为（ ）
A．5B．10C．13D．26
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、轴对称图形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是根据轴对称图形及等腰三角形的性质得到最短路径，然后根据面积求解即可．首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，BD=DC，过点C作CG⊥AB交AB于点G，由轴对称图形的性质及“垂线段最短”的性质可得BE+EF的最小值为CG的长，即可获得答案．
【详解】解：∵AB=AC=13，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=DC，
∴点B、C关于AD对称，
过点C作CG⊥AB交AB于点G，如下图，
根据E是AD上的动点，F是AB边上的动点，要使BE+EF取最小值，只需满足B、E、F三点共线，
由轴对称图形的性质及在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，
可得BE+EF的最小值即为CG的长，
∵△ABC的面积为65，
∴S△ABC=12AB⋅CG=12×13×CG=65，
∴CG=10，
即BE+EF的最小值为10．
故选：B．
10．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为S1和S2．若知道下列条件，仍不能求S1−S2值的是（ ）
A．长方形纸片的周长和面积B．长方形纸片长和宽的差
C．①和②的面积差D．长方形纸片和①的面积差
【答案】D
【分析】设正方形ABCD的边长为x，分别求出S1−S2、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得．
【详解】解：如图，设正方形ABCD的边长为x，
则S1=x−a2+x−b2，
S2=2x−ax−b，
∴S1−S2=x−a2+x−b2−2x−ax−b=a−b2=a+b2−4ab，
∵长方形纸片的周长为2a+b，面积为ab，
∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出S1−S2，即选项A、B不符合题意；
图中①的面积为b−x+a2=a+b2−2xa+b+x2=a+b2−2ax−2bx+x2，
②的面积为2a−x2b−x=4ab−2ax−2bx+x2，
∴①和②的面积差为a+b2−2ax−2bx+x2−4ab−2ax−2bx+x2=a+b2−4ab，
∴若知道①和②的面积差，能求出S1−S2，即选项C不符合题意；
∵长方形纸片和①的面积差为ab−a+b2+2ax+2bx−x2，
∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出S1−S2，即选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键．
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）。
11．在有理数范围内分解因式：2a2−4a= ．
【答案】2aa−2
【分析】直接提公因式即可分解．
【详解】解：2a2−4a=2aa−2，
故答案为：2aa−2．
【点睛】本题考查了因式分解，利用了了提公因式法，注意分解要彻底．
12．如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE．若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为 ．
【答案】70°/70度
【分析】由三角形的内角和定理，可得∠1＝∠2=180−（∠B＋∠ADB），∠ADB＝∠A＋∠C，所以∠1＝180°−（∠B＋∠A＋∠C），由此解答即可．
【详解】解：∵∠1＝∠2=180°−（∠B＋∠ADB），∠ADB＝∠A＋∠C，
又∵∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，
∴∠1＝180°−（∠B＋∠A＋∠C）
＝180°−（25°＋35°＋50°）
＝180°−110°
＝70°
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，根据题意结合图形得出∠1＝180°−（∠B＋∠A＋∠C），是解题的关键．
13．若x+3x−4=x2+mx+n，则mn= ．
【答案】12
【分析】本题考查了多项式乘多项式法则．先根据多项式乘多项式法则得：x+3x−4=x2−x−12=x2+mx+n，再求出m,n的值求积即可．本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
【详解】解：∵x+3x−4=x2−x−12=x2+mx+n，
∴m=−1,n=−12，
∴mn=12，
故答案为：12．
14．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm．
【答案】5
【分析】过P点作PH⊥OB于H，根据角平分线的性质得到PH=PD=5，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH=PD=5cm，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．已知分式2x+ax−b（a，b为常数）满足表格中的信息：
则c的值是 ．
【答案】5
【分析】根据表格的数据分别确定b=2，a=−1，然后根据分式的值为3求解即可．
【详解】解：由表格数据得：当x=2时，分式无意义，
∴2−b=0，
∴b=2，
当x=0.5时，分式的值为0，
∴2x+ax−2=1+a0.5−2=0，
解得：a=−1，
∴分式为2x−1x−2，
当分式的值为3时，即2x−1x−2=3，
解得：x=5，
检验，x=5为分式方程的解，
∴c=5，
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查分式有意义的条件与分式的值为0的条件，解分式方程，熟练掌握运算法则是解题关键．
16．如图，在△AOC和△BOD中，OA=OB，OC=OD，OA
【答案】①②③
【分析】由题意易证△AOC≌△BODSAS，即得出∠A=∠B，AC=BD，故②正确；结合∠OEA=∠MEB，即可求出∠AMB=∠AOB=36°，故①正确；由角平分线的定义可知∠AOB=∠BOM，从而可证∠COD=∠BOM，进而可证∠MOD=∠EOC．即可利用“ASA”证明△OEC≌△OMD故③正确；过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，易证△AOG≌△BOHAAS，即得出OG=OH，说明OM平分∠AMD，即∠AMO=∠DMO．假设AO∥BD成立，得出∠MAO=∠AMB=∠AOB=∠MBO=36°，从而可求出∠AMD=144°，进而可证OB平分∠AOM．因为不确定OB平分∠AOM，AO∥BD不一定成立，故④错误．
【详解】解： ∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD．
在△AOC和△BOD中，
AO=BO∠AOC=∠BODCO=DO，
∴△AOC≌△BODSAS，
∴∠A=∠B，AC=BD，故②正确；
∵∠OEA=∠MEB，
∴∠AMB=180°−∠B−∠MEB=180°−∠A−∠OEA=∠AOB=36°，故①正确；
∵若OB平分∠AOM，
∴∠AOB=∠BOM．
∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠COD=∠BOM，
∴∠COD+∠COM=∠BOM+∠COM，即∠MOD=∠EOC．
∵△AOC≌△BOD，
∴∠D=∠C．
又∵OD=OC，
∴△OEC≌△OMDASA，故③正确；
如图，过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，
在△AOG和△BOH中，
∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBHAO=BO，
∴△AOG≌△BOHAAS，
∴OG=OH，
∴OM平分∠AMD，即∠AMO=∠DMO．
假设AO∥BD成立，
∴∠MAO=∠AMB=∠AOB=∠MBO=36°，
∴∠AMD=180°−∠AMB=144°，
∴∠AMO=∠DMO=12∠AMD=72°，
∴∠AOM=180°−∠MAO−∠AMO=72°，
∴∠EOM=∠AOM−∠AOB=36°，
∴∠AOB=∠EOM，即OB平分∠AOM．
∵不确定OB平分∠AOM，
∴AO∥BD不一定成立，故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
三、解答题：（本题共9小题，共86分。其中：17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分,25题14分）。
17．计算：
(1)a+1a−2；
(2)x−2y+3x−2y−3．
【答案】(1)a2−a−2
(2)x2−4xy+4y2−9
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则，进行计算即可；
（2）将x−2y当做一个整体，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式=a2−2a+a−2
=a2−a−2；
（2）解：原式=x−2y+3x−2y−3
=x−2y+3x−2y−3
=x−2y2−32
=x2−4xy+4y2−9．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则和运算顺序，以及平方差公式和完全平方公式．
18．如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，AF=DE，AF与DE交于点G，求证：△EFG是等腰三角形．
【答案】证明见解析
【分析】先证明BF=CE，再利用SSS证明△ABF≌△DCE，从而得到∠AFB=∠DEC，由此即可证明结论．
【详解】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
AB=DCBF=CEAF=DE，
∴△ABF≌△DCESSS，
∴∠AFB=∠DEC，
∴GE=GF，即△EFG是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的性质与判定，证明△ABF≌△DCE得到∠AFB=∠DEC是解题的关键．
19．先化简：1−4x+3÷x2−2x+1x+3再从−3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】1x−1，1
【分析】先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，排除使得分式无意义的值，然后代值计算，即可求解．
【详解】解：原式=x−1x+3⋅x+3x−12
=1x−1，
∵x+3≠0，x−1≠0，
x≠−3，x≠1，
∴x取2，
当x=2时，
原式=12−1=1．
【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤，排除分式无意义的数值是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．
(1)尺规作图，作出边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于点M、N；
(2)猜想CN与AN之间有何数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)见详解；
(2)结论是：CN=2AN，证明见详解．
【分析】（1）以点A点B为圆心，大于12AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线MN，交AB于M，交BC于N即可；
（2）根据等腰三角形性质得出∠B=∠C，根基三角形内角和求出∠B=∠C=12180°−∠BAC=30°，根据MN为线段AB的垂直平分线性质得出，NAB=∠NBA=30°，根据角的差得出∠NAC=90°，然后根据30°角三角形性质求出AN=12CN即可．
【详解】（1）解：以点A、点B为圆心，以大于12AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线MN，交AB于M，交BC于N，
则直线MN为线段AB的垂直平分线；
（2）证明：结论是：CN=2AN
如上图，∵AB＝AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=12180°−∠BAC=12180°−120°=30°，
∵MN为线段AB的垂直平分线，
∴BN=AN，
∴∠NAB=∠NBA=30°，
∴∠NAC=∠BAC-∠NAB=120°-30°=90°，
在Rt△NAC中，∠C=30°，
∴AN=12CN，
∴CN=2AN．
【点睛】本题考查尺规作图，等腰三角形性质，三角形内角和，线段垂直平分线性质，角的和差，30°直角三角形的性质，本题难度不大，是基础知识综合题，掌握以上知识是解题关键．
21．当前，国内多地呈现新冠零星散发病例、局部聚集性疫情连发态势．某县教育局紧急对全县初中学生共6万人进行核酸检测，由于志愿者的加入，实际每天检测人数比原计划每天检测人数多50%，结果提前1天完成任务，求实际每天检测多少万人．
【答案】实际每天检测3万人
【分析】设原计划每天检测x万人， 则实际每天检测1+50%x万人，再根据提前1天完成任务列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原计划每天检测x万人，则实际每天检测1+50%x万人，依题意可得
6x−61+50%x=1，
解得：x=2，则1+50%x=3，
经检验，x=2是原方程的解，且x=2，1+50%x=3都符合题意，
答：实际每天检测3万人．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关键是解题的关键．
22．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD=3m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=2m，点A到地面的距离AE=1.8m；当他从A处摆动到A′处时，有A′B⊥AB．
(1)求A′到BD的距离；
(2)求A′到地面的距离．
【答案】(1)A′到BD的距离为1.2m
(2)A′到地面的距离为1m
【分析】（1）过点A′作A′F⊥BD于点F，证明△A′BF≌△BAC，得到A′F=BC=BD−CD，即可；
（2）根据△A′BF≌△BAC，得到BF=AC=2m，过点A′作A′H⊥DE于点H，得到A′H=DF，即可．
【详解】（1）解：由题意和图可知：AB=A′B,AE=CD,∠ABA′=90°，
过点A′作A′F⊥BD于点F，
则：∠BCA=∠A′FB=90°，
∵∠ABA′=90°，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∵A′B=AB，
∴△A′BF≌△BAC，
∴A′F=BC=BD−CD=BD−AE=3−1.8=1.2m；
∴A′到BD的距离为1.2m；
（2）由（1）知：△A′BF≌△BAC，
∴BF=AC=2m，
过点A′作A′H⊥DE于点H，则：A′H=DF，
∴A′H=BD−BF=3−2=1m；
即：A′到地面的距离为1m．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
23．阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”：
ax+ay+bx+by； 2xy+x2−1+y2
解：原式=ax+ay+bx+by 解：原式=x2+2xy+y2−1
=ax+y+bx+y =x+y2−1
=a+bx+y． =x+y+1x+y−1．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)①填空：x2−xy+5x−5y
解：原式=x2−xy+5x−5y
=x______+5______
＝____________
②因式分解：x2−2x+1−y2；
(2)已知a2b+c=b2a+c=2023，且a≠b，求abc的值．
【答案】(1)①x−y，x−y，(x−y)(x+5)，②(x+y−1)(x−y−1)；
(2)−2023
【分析】（1）根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案；
（2）将两多项式相减得到a，b，c的关系，代入等式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
解：①原式=x2−xy+5x−5y
=xx−y+5x−y
=(x−y)(x+5)；
②原式=(x2−2x+1)−y2
=(x−1)2−y2
=(x+y−1)(x−y−1)；
（2）解：∵a2b+c=b2a+c=2023，
∴a2b+c−b2a+c=0，
∴(a−b)(ab+bc+ac)=0，
∵a≠b，
∴ab+bc+ac=0，
即：ab+bc=−ac，
∴b(ab+bc)=−abc=b2a+c=2023，
∴abc=−2023；
【点睛】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组．
24．如图1，在等边△ABC中，D，E分别是边AC，BC上一点，且AD=CE，BD与AE相交于点M．
(1)求证：△ABD≌△CAE；
(2)求证：∠AMD=60°；
(3)如图2，连接CM，当BM=2AM时，求证：CM⊥BM．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△CAE即可；
（2）由全等三角形的性质得得∠ABD=∠CAE，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）延长BD到F，使AM=MF，连接AF、CF，证△BAM≌△CAF(SAS)，得BM=CF，∠AFC=∠AMB=120°，则CF=2AM=2AF=2MF，取CF的中点N，连接MN，则FN=NC=MF，然后证△FMN是等边三角形，得MN=FN=CN，∠FMN=60°，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，
在△ABD和△CAE中，
AB=CA∠BAD=∠ACEAD=CE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)；
（2）由（1）可知，△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠AMD=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°；
（3）如图2，延长BD到F，使AM=MF，连接AF、CF，
由（1）知：∠AMF=60°，
∴△AMF是等边三角形，
∴AM=AF，∠AFM=∠MAF=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°,AB=AC，
∴∠BAM=∠CAF，
在△BAM和△CAF中，
AB=AC∠BAM=∠CAFAM=AF，
∴△BAM≌△CAF(SAS)，
∴BM=CF，∠AFC=∠AMB=180°−∠AMF=120°，
∵BM=2AM，
∴CF=2AM=2AF=2MF，
取CF的中点N，连接MN，则FN=NC=MF，
∵∠AFM=60°，
∴∠MFN=∠AFC−∠AFM=120°−60°=60°，
∴△FMN是等边三角形，
∴MN=FN=CN，∠FMN=60°，
∴∠NMC=∠NCM，
∵∠FNM=∠NMC+∠NCM=60°，
∴∠NMC=30°，
∴∠CMF=∠FMN+∠NMC=60°+30=90°，
∴BM⊥CM．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解本题的关键．
25．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0）交y轴于点B（0，b），且a、b满足a−b+a−62=0，P为线段AB上的一点．
（1）如图1，若AB＝62，当△OAP为AP＝AO的等腰三角形时，求BP的长．
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M、N运动的过程中，S四边形PNOM的值是否会发生改变？如发生改变，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值．
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）62−6；（2）不变，面积为9；（3）相等，理由见解析
【分析】（1）由题意可得a＝b＝6，即可求AP的长度，即可求BP的长；
（2）由题意可证△PNO≌△PMA，可得S△OPN≌S△APM，由S四边形PNOM＝S△POM+S△OPN＝S△POM+S△APM＝S△AOP＝12S△AOB，即可求四边形PNOM的面积；
（3）过点A作AM⊥OA，延长OP交AM于点M，由题意可证△BOD≌△OAM，可得∠BDO＝∠AMO，OD＝AM，即可证△APM≌△APE，可得AE＝AM，则可得OD＝AE．
【详解】解：（1）∵a、b满足a−b+(a−6)2＝0，
∴b＝6＝a
∴点A（6，0），点B（0，6）
∴AO＝BO＝6
∵PA＝AO＝6
∵BP＝AB﹣AP
∴BP＝62﹣6
（2）如图：连接OP
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠BAO＝45°
∵点是AB中点
∴OP＝AP＝BP，∠BOP＝∠AOP＝45°＝∠BAO
∵点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
∴AM＝ON，且ON＝AM，∠BOP＝∠BAO
∴△PNO≌△PMA（SAS）
∴S△OPN＝S△APM
∵S四边形PNOM＝S△POM+S△OPN＝S△POM+S△APM
∴S四边形PNOM＝S△AOP＝12S△AOB＝12×12×6×6＝9
（3）相等
如图：过点A作AM⊥OA，延长OP交AM于点M
∵BD⊥OP，∠AOB＝90°
∴∠DBO+∠BOF＝90°，∠BOF+∠AOM＝90°
∴∠DBO＝∠AOM且AO＝BO，∠BOD＝∠MAO＝90°
∴△BOD≌△OAM（ASA）
∴∠BDO＝∠AMO，OD＝AM
∵AM⊥OA，∠BAO＝45°
∴∠BAM＝∠BAO＝45°
∵∠BDO＝∠AEP，∠BDO＝∠AMO
∴∠AEP＝∠AMO，且∠BAM＝∠BAO＝45°，AP＝AP
∴△APM≌△APE（AAS）
∴AM＝AE，且AM＝OD
∴AE＝OD
【点睛】本题考查了三角形综合题，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．x的取值
2
0.5
c
分式的值
无意义
0
3
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）。
1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2．若分式x2−x有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x≠0C．x≠0且x≠2D．x≠2
【答案】D
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此解答．
【详解】解：由题意得2−x≠0，
解得x≠2，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式有意义的条件，熟记解答方法是解题的关键．
3．已知一个n边形的内角和等于外角和的5倍，则n的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】本题可利用等量关系式以及多边形内角和公式解答．根据题意列出方程即可．
【详解】由题可知（n-2）•180=360×5，
180n-360=1800，
180n=2160，
n=12．
故选：D．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，难度属一般，关键是利用内角和公式列方程解答．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a8÷a2=a4B．a3⋅a3⋅a3=3a3
C．3a2⋅2a4=6a6D．−a34=a7
【答案】C
【分析】根据运算法则逐一计算判断即可
【详解】∵a8÷a2=a6，
∴A式计算错误；
∵a3⋅a3⋅a3=a9，
∴B式计算错误；
∵3a2⋅2a4=6a6，
∴C式计算正确；
∵−a34=a12，
∴D式计算错误；
故选C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B′处，若∠B=35°，∠BNM=28°，则∠AMB′的度数为（ ）
A．30°B．37°C．54°D．63°
【答案】C
【分析】由折叠的性质，得△BMN≅△B′MN，得∠BMN=∠B′MN，再求出∠BMN,∠AMN的度数，即可得答案．
【详解】解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B′处，
∴△BMN≅△B′MN，
∴∠BMN=∠B′MN，
∵∠B=35°，∠BNM=28°，
∴∠BMN=180°−35°−28°=117°,∠AMN=35°+28°=63°，
∴∠AMB′=∠B′MN−∠AMN=117°−63°=54°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质，解题的关键是证明△BMN≅△B′MN．
6．如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作BE⊥AD于点E，若∠BAC＝70°，∠C＝40°，AB＝6，则BE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵AD＝DC，∠C＝40°，
∴∠DAC=∠C=40° ，
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAE=30° ，
∵BE⊥AD，AB＝6，
∴BE=12AB=3 ，
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半．
7．如果分式xy2x−3y中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍B．扩大为原来的4倍C．不变D．不能确定
【答案】A
【分析】将分式xy2x−3y中的x，y都扩大为原来的2倍，得到新的分式化简与原分式比较即可得答案．
【详解】解：分式xy2x−3y中的x，y都扩大到原来的2倍，那么新分式为2x×2y2×2x−3×2y=4xy22x−3y=2·xy2x−3y，
所以分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式分式的值不变．
8．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB//DE，则∠AFD的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】A
【分析】设AB与EF交于点M，根据AB//DE，得到∠AMF=∠E=45°，再根据三角形的内角和定理求出结果．
【详解】解：设AB与EF交于点M，
∵AB//DE，
∴∠AMF=∠E=45°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴∠AFM=180°−30°−45°=105°,
∵∠EFD=90°,
∴∠AFD=15°，
故选：A．
．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键．
9．如图，△ABC中，AB=AC=13，S△ABC=65，AD是∠BAC的角平分线，E是AD上的动点，F是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为（ ）
A．5B．10C．13D．26
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、轴对称图形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是根据轴对称图形及等腰三角形的性质得到最短路径，然后根据面积求解即可．首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，BD=DC，过点C作CG⊥AB交AB于点G，由轴对称图形的性质及“垂线段最短”的性质可得BE+EF的最小值为CG的长，即可获得答案．
【详解】解：∵AB=AC=13，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=DC，
∴点B、C关于AD对称，
过点C作CG⊥AB交AB于点G，如下图，
根据E是AD上的动点，F是AB边上的动点，要使BE+EF取最小值，只需满足B、E、F三点共线，
由轴对称图形的性质及在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，
可得BE+EF的最小值即为CG的长，
∵△ABC的面积为65，
∴S△ABC=12AB⋅CG=12×13×CG=65，
∴CG=10，
即BE+EF的最小值为10．
故选：B．
10．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为S1和S2．若知道下列条件，仍不能求S1−S2值的是（ ）
A．长方形纸片的周长和面积B．长方形纸片长和宽的差
C．①和②的面积差D．长方形纸片和①的面积差
【答案】D
【分析】设正方形ABCD的边长为x，分别求出S1−S2、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得．
【详解】解：如图，设正方形ABCD的边长为x，
则S1=x−a2+x−b2，
S2=2x−ax−b，
∴S1−S2=x−a2+x−b2−2x−ax−b=a−b2=a+b2−4ab，
∵长方形纸片的周长为2a+b，面积为ab，
∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出S1−S2，即选项A、B不符合题意；
图中①的面积为b−x+a2=a+b2−2xa+b+x2=a+b2−2ax−2bx+x2，
②的面积为2a−x2b−x=4ab−2ax−2bx+x2，
∴①和②的面积差为a+b2−2ax−2bx+x2−4ab−2ax−2bx+x2=a+b2−4ab，
∴若知道①和②的面积差，能求出S1−S2，即选项C不符合题意；
∵长方形纸片和①的面积差为ab−a+b2+2ax+2bx−x2，
∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出S1−S2，即选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键．
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）。
11．在有理数范围内分解因式：2a2−4a= ．
【答案】2aa−2
【分析】直接提公因式即可分解．
【详解】解：2a2−4a=2aa−2，
故答案为：2aa−2．
【点睛】本题考查了因式分解，利用了了提公因式法，注意分解要彻底．
12．如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE．若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为 ．
【答案】70°/70度
【分析】由三角形的内角和定理，可得∠1＝∠2=180−（∠B＋∠ADB），∠ADB＝∠A＋∠C，所以∠1＝180°−（∠B＋∠A＋∠C），由此解答即可．
【详解】解：∵∠1＝∠2=180°−（∠B＋∠ADB），∠ADB＝∠A＋∠C，
又∵∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，
∴∠1＝180°−（∠B＋∠A＋∠C）
＝180°−（25°＋35°＋50°）
＝180°−110°
＝70°
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，根据题意结合图形得出∠1＝180°−（∠B＋∠A＋∠C），是解题的关键．
13．若x+3x−4=x2+mx+n，则mn= ．
【答案】12
【分析】本题考查了多项式乘多项式法则．先根据多项式乘多项式法则得：x+3x−4=x2−x−12=x2+mx+n，再求出m,n的值求积即可．本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
【详解】解：∵x+3x−4=x2−x−12=x2+mx+n，
∴m=−1,n=−12，
∴mn=12，
故答案为：12．
14．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm．
【答案】5
【分析】过P点作PH⊥OB于H，根据角平分线的性质得到PH=PD=5，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH=PD=5cm，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15．已知分式2x+ax−b（a，b为常数）满足表格中的信息：
则c的值是 ．
【答案】5
【分析】根据表格的数据分别确定b=2，a=−1，然后根据分式的值为3求解即可．
【详解】解：由表格数据得：当x=2时，分式无意义，
∴2−b=0，
∴b=2，
当x=0.5时，分式的值为0，
∴2x+ax−2=1+a0.5−2=0，
解得：a=−1，
∴分式为2x−1x−2，
当分式的值为3时，即2x−1x−2=3，
解得：x=5，
检验，x=5为分式方程的解，
∴c=5，
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查分式有意义的条件与分式的值为0的条件，解分式方程，熟练掌握运算法则是解题关键．
16．如图，在△AOC和△BOD中，OA=OB，OC=OD，OA
【答案】①②③
【分析】由题意易证△AOC≌△BODSAS，即得出∠A=∠B，AC=BD，故②正确；结合∠OEA=∠MEB，即可求出∠AMB=∠AOB=36°，故①正确；由角平分线的定义可知∠AOB=∠BOM，从而可证∠COD=∠BOM，进而可证∠MOD=∠EOC．即可利用“ASA”证明△OEC≌△OMD故③正确；过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，易证△AOG≌△BOHAAS，即得出OG=OH，说明OM平分∠AMD，即∠AMO=∠DMO．假设AO∥BD成立，得出∠MAO=∠AMB=∠AOB=∠MBO=36°，从而可求出∠AMD=144°，进而可证OB平分∠AOM．因为不确定OB平分∠AOM，AO∥BD不一定成立，故④错误．
【详解】解： ∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD．
在△AOC和△BOD中，
AO=BO∠AOC=∠BODCO=DO，
∴△AOC≌△BODSAS，
∴∠A=∠B，AC=BD，故②正确；
∵∠OEA=∠MEB，
∴∠AMB=180°−∠B−∠MEB=180°−∠A−∠OEA=∠AOB=36°，故①正确；
∵若OB平分∠AOM，
∴∠AOB=∠BOM．
∵∠AOB=∠COD=36°，
∴∠COD=∠BOM，
∴∠COD+∠COM=∠BOM+∠COM，即∠MOD=∠EOC．
∵△AOC≌△BOD，
∴∠D=∠C．
又∵OD=OC，
∴△OEC≌△OMDASA，故③正确；
如图，过点O作OG⊥AC于点G，OH⊥BD于点H，
在△AOG和△BOH中，
∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBHAO=BO，
∴△AOG≌△BOHAAS，
∴OG=OH，
∴OM平分∠AMD，即∠AMO=∠DMO．
假设AO∥BD成立，
∴∠MAO=∠AMB=∠AOB=∠MBO=36°，
∴∠AMD=180°−∠AMB=144°，
∴∠AMO=∠DMO=12∠AMD=72°，
∴∠AOM=180°−∠MAO−∠AMO=72°，
∴∠EOM=∠AOM−∠AOB=36°，
∴∠AOB=∠EOM，即OB平分∠AOM．
∵不确定OB平分∠AOM，
∴AO∥BD不一定成立，故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
三、解答题：（本题共9小题，共86分。其中：17-21每题8分，22-23每题10分，24题12分,25题14分）。
17．计算：
(1)a+1a−2；
(2)x−2y+3x−2y−3．
【答案】(1)a2−a−2
(2)x2−4xy+4y2−9
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则，进行计算即可；
（2）将x−2y当做一个整体，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式=a2−2a+a−2
=a2−a−2；
（2）解：原式=x−2y+3x−2y−3
=x−2y+3x−2y−3
=x−2y2−32
=x2−4xy+4y2−9．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算法则和运算顺序，以及平方差公式和完全平方公式．
18．如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，AF=DE，AF与DE交于点G，求证：△EFG是等腰三角形．
【答案】证明见解析
【分析】先证明BF=CE，再利用SSS证明△ABF≌△DCE，从而得到∠AFB=∠DEC，由此即可证明结论．
【详解】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
AB=DCBF=CEAF=DE，
∴△ABF≌△DCESSS，
∴∠AFB=∠DEC，
∴GE=GF，即△EFG是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等角对等边，全等三角形的性质与判定，证明△ABF≌△DCE得到∠AFB=∠DEC是解题的关键．
19．先化简：1−4x+3÷x2−2x+1x+3再从−3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】1x−1，1
【分析】先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，排除使得分式无意义的值，然后代值计算，即可求解．
【详解】解：原式=x−1x+3⋅x+3x−12
=1x−1，
∵x+3≠0，x−1≠0，
x≠−3，x≠1，
∴x取2，
当x=2时，
原式=12−1=1．
【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式化简的步骤，排除分式无意义的数值是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．
(1)尺规作图，作出边AB的垂直平分线，分别交AB、BC于点M、N；
(2)猜想CN与AN之间有何数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)见详解；
(2)结论是：CN=2AN，证明见详解．
【分析】（1）以点A点B为圆心，大于12AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线MN，交AB于M，交BC于N即可；
（2）根据等腰三角形性质得出∠B=∠C，根基三角形内角和求出∠B=∠C=12180°−∠BAC=30°，根据MN为线段AB的垂直平分线性质得出，NAB=∠NBA=30°，根据角的差得出∠NAC=90°，然后根据30°角三角形性质求出AN=12CN即可．
【详解】（1）解：以点A、点B为圆心，以大于12AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线MN，交AB于M，交BC于N，
则直线MN为线段AB的垂直平分线；
（2）证明：结论是：CN=2AN
如上图，∵AB＝AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=12180°−∠BAC=12180°−120°=30°，
∵MN为线段AB的垂直平分线，
∴BN=AN，
∴∠NAB=∠NBA=30°，
∴∠NAC=∠BAC-∠NAB=120°-30°=90°，
在Rt△NAC中，∠C=30°，
∴AN=12CN，
∴CN=2AN．
【点睛】本题考查尺规作图，等腰三角形性质，三角形内角和，线段垂直平分线性质，角的和差，30°直角三角形的性质，本题难度不大，是基础知识综合题，掌握以上知识是解题关键．
21．当前，国内多地呈现新冠零星散发病例、局部聚集性疫情连发态势．某县教育局紧急对全县初中学生共6万人进行核酸检测，由于志愿者的加入，实际每天检测人数比原计划每天检测人数多50%，结果提前1天完成任务，求实际每天检测多少万人．
【答案】实际每天检测3万人
【分析】设原计划每天检测x万人， 则实际每天检测1+50%x万人，再根据提前1天完成任务列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原计划每天检测x万人，则实际每天检测1+50%x万人，依题意可得
6x−61+50%x=1，
解得：x=2，则1+50%x=3，
经检验，x=2是原方程的解，且x=2，1+50%x=3都符合题意，
答：实际每天检测3万人．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关键是解题的关键．
22．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD=3m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=2m，点A到地面的距离AE=1.8m；当他从A处摆动到A′处时，有A′B⊥AB．
(1)求A′到BD的距离；
(2)求A′到地面的距离．
【答案】(1)A′到BD的距离为1.2m
(2)A′到地面的距离为1m
【分析】（1）过点A′作A′F⊥BD于点F，证明△A′BF≌△BAC，得到A′F=BC=BD−CD，即可；
（2）根据△A′BF≌△BAC，得到BF=AC=2m，过点A′作A′H⊥DE于点H，得到A′H=DF，即可．
【详解】（1）解：由题意和图可知：AB=A′B,AE=CD,∠ABA′=90°，
过点A′作A′F⊥BD于点F，
则：∠BCA=∠A′FB=90°，
∵∠ABA′=90°，
∴∠1+∠2=∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∵A′B=AB，
∴△A′BF≌△BAC，
∴A′F=BC=BD−CD=BD−AE=3−1.8=1.2m；
∴A′到BD的距离为1.2m；
（2）由（1）知：△A′BF≌△BAC，
∴BF=AC=2m，
过点A′作A′H⊥DE于点H，则：A′H=DF，
∴A′H=BD−BF=3−2=1m；
即：A′到地面的距离为1m．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
23．阅读与思考：
分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： 例2：“三一分组”：
ax+ay+bx+by； 2xy+x2−1+y2
解：原式=ax+ay+bx+by 解：原式=x2+2xy+y2−1
=ax+y+bx+y =x+y2−1
=a+bx+y． =x+y+1x+y−1．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
(1)①填空：x2−xy+5x−5y
解：原式=x2−xy+5x−5y
=x______+5______
＝____________
②因式分解：x2−2x+1−y2；
(2)已知a2b+c=b2a+c=2023，且a≠b，求abc的值．
【答案】(1)①x−y，x−y，(x−y)(x+5)，②(x+y−1)(x−y−1)；
(2)−2023
【分析】（1）根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案；
（2）将两多项式相减得到a，b，c的关系，代入等式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
解：①原式=x2−xy+5x−5y
=xx−y+5x−y
=(x−y)(x+5)；
②原式=(x2−2x+1)−y2
=(x−1)2−y2
=(x+y−1)(x−y−1)；
（2）解：∵a2b+c=b2a+c=2023，
∴a2b+c−b2a+c=0，
∴(a−b)(ab+bc+ac)=0，
∵a≠b，
∴ab+bc+ac=0，
即：ab+bc=−ac，
∴b(ab+bc)=−abc=b2a+c=2023，
∴abc=−2023；
【点睛】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组．
24．如图1，在等边△ABC中，D，E分别是边AC，BC上一点，且AD=CE，BD与AE相交于点M．
(1)求证：△ABD≌△CAE；
(2)求证：∠AMD=60°；
(3)如图2，连接CM，当BM=2AM时，求证：CM⊥BM．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△CAE即可；
（2）由全等三角形的性质得得∠ABD=∠CAE，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）延长BD到F，使AM=MF，连接AF、CF，证△BAM≌△CAF(SAS)，得BM=CF，∠AFC=∠AMB=120°，则CF=2AM=2AF=2MF，取CF的中点N，连接MN，则FN=NC=MF，然后证△FMN是等边三角形，得MN=FN=CN，∠FMN=60°，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，
在△ABD和△CAE中，
AB=CA∠BAD=∠ACEAD=CE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)；
（2）由（1）可知，△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠AMD=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°；
（3）如图2，延长BD到F，使AM=MF，连接AF、CF，
由（1）知：∠AMF=60°，
∴△AMF是等边三角形，
∴AM=AF，∠AFM=∠MAF=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°,AB=AC，
∴∠BAM=∠CAF，
在△BAM和△CAF中，
AB=AC∠BAM=∠CAFAM=AF，
∴△BAM≌△CAF(SAS)，
∴BM=CF，∠AFC=∠AMB=180°−∠AMF=120°，
∵BM=2AM，
∴CF=2AM=2AF=2MF，
取CF的中点N，连接MN，则FN=NC=MF，
∵∠AFM=60°，
∴∠MFN=∠AFC−∠AFM=120°−60°=60°，
∴△FMN是等边三角形，
∴MN=FN=CN，∠FMN=60°，
∴∠NMC=∠NCM，
∵∠FNM=∠NMC+∠NCM=60°，
∴∠NMC=30°，
∴∠CMF=∠FMN+∠NMC=60°+30=90°，
∴BM⊥CM．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解本题的关键．
25．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0）交y轴于点B（0，b），且a、b满足a−b+a−62=0，P为线段AB上的一点．
（1）如图1，若AB＝62，当△OAP为AP＝AO的等腰三角形时，求BP的长．
（2）如图2，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，则在M、N运动的过程中，S四边形PNOM的值是否会发生改变？如发生改变，求出其面积的变化范围；若不改变，求该面积的值．
（3）如图3，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD⊥OP，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）62−6；（2）不变，面积为9；（3）相等，理由见解析
【分析】（1）由题意可得a＝b＝6，即可求AP的长度，即可求BP的长；
（2）由题意可证△PNO≌△PMA，可得S△OPN≌S△APM，由S四边形PNOM＝S△POM+S△OPN＝S△POM+S△APM＝S△AOP＝12S△AOB，即可求四边形PNOM的面积；
（3）过点A作AM⊥OA，延长OP交AM于点M，由题意可证△BOD≌△OAM，可得∠BDO＝∠AMO，OD＝AM，即可证△APM≌△APE，可得AE＝AM，则可得OD＝AE．
【详解】解：（1）∵a、b满足a−b+(a−6)2＝0，
∴b＝6＝a
∴点A（6，0），点B（0，6）
∴AO＝BO＝6
∵PA＝AO＝6
∵BP＝AB﹣AP
∴BP＝62﹣6
（2）如图：连接OP
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，∠BAO＝45°
∵点是AB中点
∴OP＝AP＝BP，∠BOP＝∠AOP＝45°＝∠BAO
∵点M、N分别是OA、OB边上的动点，点M从顶点A、点N从顶点O同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
∴AM＝ON，且ON＝AM，∠BOP＝∠BAO
∴△PNO≌△PMA（SAS）
∴S△OPN＝S△APM
∵S四边形PNOM＝S△POM+S△OPN＝S△POM+S△APM
∴S四边形PNOM＝S△AOP＝12S△AOB＝12×12×6×6＝9
（3）相等
如图：过点A作AM⊥OA，延长OP交AM于点M
∵BD⊥OP，∠AOB＝90°
∴∠DBO+∠BOF＝90°，∠BOF+∠AOM＝90°
∴∠DBO＝∠AOM且AO＝BO，∠BOD＝∠MAO＝90°
∴△BOD≌△OAM（ASA）
∴∠BDO＝∠AMO，OD＝AM
∵AM⊥OA，∠BAO＝45°
∴∠BAM＝∠BAO＝45°
∵∠BDO＝∠AEP，∠BDO＝∠AMO
∴∠AEP＝∠AMO，且∠BAM＝∠BAO＝45°，AP＝AP
∴△APM≌△APE（AAS）
∴AM＝AE，且AM＝OD
∴AE＝OD
【点睛】本题考查了三角形综合题，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．x的取值
2
0.5
c
分式的值
无意义
0
3
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