2020-2021年江苏省无锡市宜兴市高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年江苏省无锡市宜兴市高一数学下学期期中试卷及答案，共18页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题（每小题5分）.
1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则z•（1+i）对应点的坐标为（ ）
A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
2．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（ ）
A．＝（0，0），＝（1，2）
B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）
C．＝（3，5），＝（6，10）
D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，csA＝，则b＝（ ）
A．B．C．2D．3
4．我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．一个长、宽、高分别为80cm、60cm、100cm的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入一个直径为40cm的木球（水没有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
6．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．12个
7．设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝1
8．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足①，②△ABC面积S满足1≤S≤2．则下列不等式一定成立的是（ ）
A．6≤abc≤12B．12≤abc≤24
C．D．ab（a+b）＞8
二、多项选择题（每小题5分）.
9．设z是复数，则下列说法正确的有（ ）
A．若z2≥0，则z是实数B．若z是虚数，则z2≥0
C．若z2＜0，则z是虚数D．若z是纯虚数，则z2＜0
10．一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是（ ）
A．三棱锥B．四棱台C．六棱锥D．六面体
11．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
B．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
C．若2b＝a+c，且2cs2B﹣8csB+5＝0，则△ABC为等边三角形
D．若sin2A+sin2B+cs2C＜1，则△ABC为钝角三角形
12．已知是平面内两个夹角为120°的单位向量，点C在以O为圆心的上运动，若＝x+y（x，y∈R）．下列说法正确的有（ ）
A．当C位于中点时，x＝y＝1
B．当C位于中点时，x+y的值最大
C．在上的投影向量的模的取值范围为
D．的取值范围为[﹣，]
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．复数的共轭复数是 ．
14．若一个几何体由五个面围成，其中两个面是互相平行的三角形，其他各个面都是边长为1的正方形，则这个几何体是 ，它的表面积为 ．
15．对任意平面向量＝（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝（xcsθ﹣ysinθ，xsinθ+ycsθ），叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ得到点C，M（2，），N（3，2），把点N绕点M逆时针方向旋转后得到点P的坐标是 ．
16．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠C＝90°，BC＝2，则AB长度的取值范围是 ．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上。）
17．已知复数，z2＝2csθ+（λ+3sinθ）i（λ，θ∈R）．
（1）若m＝1时，z1是关于x的方程2x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值；
（2）若z1＝z2，求λ的取值范围．
18．已知向量＝（2csα，2sinα），＝（6csβ，6sinβ），且•（）＝2．
（1）求向量与的夹角；
（2）若|t|＝，求实数t的值．
19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．
（1）证明：；
（2）求sinA+sinB+sinC的取值范围．
20．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量＝x+y，则把有序数对（x，y）叫做在坐标系Oxy中的坐标．已知向量在坐标系Oxy中的坐标分别为（2，3）、（4，5）．
（1）求；
（2）是否存在y轴上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图所示，某市有一条从正南方向AO通过市中心O后向东偏北30°的OB方向的公路，现要修建一条地铁L，在OA、OB上各设一站A，B，地铁线在AB部分为直线段，现要求市中心O到AB的距离为10km．
（1）若OA＝15km，求OB之间的距离；
（2）求AB之间距离的最小值．
22．已知向量，是平面内两个不共线的单位向量，C为平面内一动点，且，．
（1）若P为OC的中点，求向量与夹角的余弦值；
（2）若||＜，求||的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（每小题5分）.
1．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则z•（1+i）对应点的坐标为（ ）
A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
解：由已知可得z＝1+2i，
则z•（1+i）＝（1+2i）（1+i）＝1+i+2i+2i2＝﹣1+3i，
∴z•（1+i）对应点的坐标为（﹣1，3），
故选：C．
2．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（ ）
A．＝（0，0），＝（1，2）
B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）
C．＝（3，5），＝（6，10）
D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）
解：根据，
选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则 3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；
选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．
选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C不能．
选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．
故选：B．
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，csA＝，则b＝（ ）
A．B．C．2D．3
解：∵a＝，c＝2，csA＝，
∴由余弦定理可得：csA＝＝＝，整理可得：3b2﹣8b﹣3＝0，
∴解得：b＝3或﹣（舍去）．
故选：D．
4．我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x．
∴x2+4x2＝1，解得x＝．
设∠BAE＝θ，则sinθ＝，csθ＝．
∴xE＝csθ＝，yE＝sinθ＝．
设＝m+n，
则（，）＝m（1，0）+n（0，1）．
∴m＝，n＝．
∴＝+，
故选：A．
5．一个长、宽、高分别为80cm、60cm、100cm的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入一个直径为40cm的木球（水没有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
解：直径为40cm的木球，一半在水中，一半在水上，
可得木球在水中的体积V＝＝；
∵木球在水中的体积等于水槽上升的体积，
水槽上升的体积为Sh．
∴水槽上升的高度h＝＝
故选：B．
6．分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（ ）
A．4个B．6个C．8个D．12个
解：如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为：
，共8个．
故选：C．
7．设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1
C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝1
解：∵z在复平面内对应的点为（x，y），
∴z＝x+yi，
∴z﹣i＝x+（y﹣1）i，
∴|z﹣i|＝，
∴x2+（y﹣1）2＝1，
故选：C．
8．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足①，②△ABC面积S满足1≤S≤2．则下列不等式一定成立的是（ ）
A．6≤abc≤12B．12≤abc≤24
C．D．ab（a+b）＞8
解：sinAsinBsinC＝，
设外接圆的半径为R，
由正弦定理可得：＝＝2R，
由S＝absinC，及正弦定理得sinAsinBsinC＝＝，
即R2＝4S，
∵面积S满足1≤S≤2，
∴4≤R2≤8，即2≤R≤2，
∴由sinAsinBsinC＝，可得8≤abc≤16，故AB错误；
∴bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，故C错误；
∴ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，故D正确．
故选：D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
9．设z是复数，则下列说法正确的有（ ）
A．若z2≥0，则z是实数B．若z是虚数，则z2≥0
C．若z2＜0，则z是虚数D．若z是纯虚数，则z2＜0
解：设z＝a+bi，a，b∈R，则z2＝a2﹣b2+2abi，
A．若z2≥0，则a2﹣b2≥0，2ab＝0，则a＝0或b＝0，若a＝0，则b＝0，z＝0为实数；若b＝0，则z＝a，z是实数．因此A正确．
B．z是虚数，则z2≥0，不正确；例如z＝i，则z2＝i2＝﹣1＜0，因此B不正确．
C．若z2＜0，则a2﹣b2＜0，2ab＝0，则a＝0或b＝0，若a＝0，则b不存在；若b＝0，则z＝a，z是实数．因此C不正确；
D．z是纯虚数，则z2＝（bi）2＝﹣b2＜0，因此D正确．
故选：AD．
10．一个多面体的所有棱长都相等，那么这个多面体一定不可能是（ ）
A．三棱锥B．四棱台C．六棱锥D．六面体
解：一个多面体的所有棱长都相等，三棱锥是正四面体时，满足题意所以A可能．
棱台的上底面与兄弟们的边长不相等，所以不满足题意，所以B不可能．
正六棱锥的底面边长与棱长不可能相等，所以C不可能．
六面体是正方体时，满足题意，所以D有可能．
故选：BC．
11．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ）
A．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
B．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
C．若2b＝a+c，且2cs2B﹣8csB+5＝0，则△ABC为等边三角形
D．若sin2A+sin2B+cs2C＜1，则△ABC为钝角三角形
解：对于A：由于a＝8，c＝10，B＝60°，利用余弦定理：b2＝a2+c2﹣2accsB＝64+100﹣2×8×＝84，解得b＝2，可得△ABC有一解，故错误；
对于B，若sin2A＝sin2B，则2A＝kπ+（﹣1）k•2B，（k∈Z），当k＝0时，A＝B，△ABC为等腰三角形；当k＝1时，A＝﹣B，△ABC为直角三角形，故错误；
对于C：2cs2B﹣8csB+5＝0，整理得4cs2B﹣8csB+3＝0，解得csB＝，或（舍去），由于0＜B＜π，解得B＝．
由于2b＝a+c，利用正弦定理：2sinB＝sinA+sinC，转换为sinA+sin（﹣A）＝，所以sin（A+）＝1，解得A＝，
所以A＝B＝C，则△ABC为等边三角形，故正确；
对于D，∵sin2A+sin2B+cs2C＜1，∴sin2A+sin2B＜1﹣cs2C＝sin2C，由正弦定理可得：a2+b2＜c2，∴csC＝＜0，∴C为钝角，则△ABC为钝角三角形，因此正确．
故选：CD．
12．已知是平面内两个夹角为120°的单位向量，点C在以O为圆心的上运动，若＝x+y（x，y∈R）．下列说法正确的有（ ）
A．当C位于中点时，x＝y＝1
B．当C位于中点时，x+y的值最大
C．在上的投影向量的模的取值范围为
D．的取值范围为[﹣，]
解：由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设C（csθ，sinθ），0≤θ≤120°
可得A（1，0），B（﹣，），
A：当C为弧AB的中点时，θ＝60°，∴C（，），
∴由＝x（1，0）+y（﹣，）得，
x﹣y＝，y＝，∴x＝1，y＝1，∴A正确，
B：由＝x（1，0）+y（﹣，）得，
x﹣y＝csθ，y＝sinθ，∴y＝sinθ，
∴x+y＝csθ+sinθ＝2sin（θ+30°），
∵0≤θ≤120°，∴30°≤θ+30°≤150°，
∴当θ＝60°时，x+y的最大值为2，此时C为弧AB的中点，∴B正确，
C：当OC⊥OA时，在上的投影为0，∴C错误，
D：∵•（﹣）＝（csθ，sinθ）•（，﹣）＝csθ﹣sinθ＝cs（θ+30°），
∵0≤θ≤120°，∴30°≤θ+30°≤150°，
∴cs（θ+30°）∈[﹣，]，∴•（﹣）∈[﹣，]，∴D正确．
故选：ABD．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．复数的共轭复数是 ﹣i ．
解：复数＝＝＝i的共轭复数是﹣i．
故答案为：﹣i．
14．若一个几何体由五个面围成，其中两个面是互相平行的三角形，其他各个面都是边长为1的正方形，则这个几何体是 正三棱柱 ，它的表面积为 ．
解：根据题意知，该几何体是正三棱柱，如图所示：
各棱长都为1，则该三棱柱的表面积为：．
故答案为：正三棱柱，．
15．对任意平面向量＝（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝（xcsθ﹣ysinθ，xsinθ+ycsθ），叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ得到点C，M（2，），N（3，2），把点N绕点M逆时针方向旋转后得到点P的坐标是 （1，2） ．
解：由题意得＝（1，），
则＝（cs﹣，sin+cs）＝（﹣1，），
故P（1，2）．
故答案为：（1，2）．
16．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠C＝90°，BC＝2，则AB长度的取值范围是 （2，4） ．
解：如图所示，
延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，
在△BCE中，∠B＝60°，∠C＝90°，∠E＝30°，BC＝2，则BE＝4．
平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时AB＝BC＝2，
所以AB的取值范围为（2，4）．
故答案为：（2，4）．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上。）
17．已知复数，z2＝2csθ+（λ+3sinθ）i（λ，θ∈R）．
（1）若m＝1时，z1是关于x的方程2x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值；
（2）若z1＝z2，求λ的取值范围．
解：（1）m＝1时，复数＝1+3i，
∵z1是关于x的方程2x2+px+q＝0的一个根，
∴1﹣3i也是关于x的方程2x2+px+q＝0的一个根，
∴1+3i+1﹣3i＝﹣，（1+3i）（1﹣3i）＝，
解得：p＝﹣4，q＝20．
（2）若z1＝z2，
则m＝2csθ，4﹣m2＝λ+3sinθ．
∴λ＝4﹣（2csθ）2﹣3sinθ＝4sin2θ﹣3sinθ＝4﹣，
∵sinθ∈[﹣1，1]
∴λ∈[﹣，7]．
18．已知向量＝（2csα，2sinα），＝（6csβ，6sinβ），且•（）＝2．
（1）求向量与的夹角；
（2）若|t|＝，求实数t的值．
解：（1）由＝（2csα，2sinα），＝（6csβ，6sinβ），
得，，
又•（）＝2，∴，则，
设向量与的夹角为θ，则csθ＝，
又θ∈[0，π]，∴；
（2）由|t|＝，得，
即，∴4t2﹣12t+36＝27，
∴4t2﹣12t+9＝0，解得t＝．
19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．
（1）证明：；
（2）求sinA+sinB+sinC的取值范围．
证明：（1）因为，
所以，
因为sinA＞0，B为钝角，A为锐角，
所以sinB＝csA＝sin（），
故B＝+A，即；
解：（2）：sinA+sinB+sinC＝sinA+sin（+A）+sin（），
＝sinA+csA+sin2A＝sinA+csA+2sinAcsA，
令t＝sinA+csA，则t2＝1+2sinAcsA，
因为A∈（0，），
所以2sinAcsA＝t2﹣1，t＝sin（A+）∈（1，]，
故t2+t﹣1＝（t+）2﹣，
当t＝1时，函数值为1，当t＝时，函数值为1+，
故t2+t﹣1∈（1，1]，
所以sinA+sinB+sinC的取值范围（1，1]．
20．如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量＝x+y，则把有序数对（x，y）叫做在坐标系Oxy中的坐标．已知向量在坐标系Oxy中的坐标分别为（2，3）、（4，5）．
（1）求；
（2）是否存在y轴上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵＝﹣＝4+5﹣（2+3）＝2+2，
∴||＝＝2＝，
故||的值为．
（2）假设y轴存在一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
设＝t，则＝﹣＝2+3﹣t＝2+（3﹣t），＝﹣＝（4+5）﹣t＝4+（5﹣t）．
根据题意得：⊥，∴•＝0，∴[2+（3﹣t）]•[4+（5﹣t）]＝0，
得：8+（3﹣t）（5﹣t）+[2（5﹣t）+4（3﹣t）]×1×1×＝0，
整理得：t2﹣11t+34＝0，其中△＜0，∴方程无解．
故在y轴上不一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
21．如图所示，某市有一条从正南方向AO通过市中心O后向东偏北30°的OB方向的公路，现要修建一条地铁L，在OA、OB上各设一站A，B，地铁线在AB部分为直线段，现要求市中心O到AB的距离为10km．
（1）若OA＝15km，求OB之间的距离；
（2）求AB之间距离的最小值．
解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，则OE＝10，如图所示：
Rt△AOE中，OA＝15，OE＝10，sin∠OAB＝＝，
所以sin∠OBA＝sin（60°﹣∠OAE）＝sin60°cs∠OAE﹣cs60°sin∠OAE＝×﹣×＝，
由正弦定理得＝，
解得OB＝＝＝，
所以OB之间的距离为；
（2）设∠AOE＝α，则45°＜α＜90°，
所以∠BOE＝120°﹣α，
所以AB＝AE+BE
＝10tanα+10tan（120°﹣α）
＝10×tan120°×[1﹣tanα•tan（120°﹣α）]
＝﹣10×
＝；
由csαcs（120°﹣α）＝﹣cs2α+csαsinα＝（sin2α﹣cs2α）﹣＝sin（2α﹣30°）﹣；
所以当α＝60°时，AB取得最小值为＝20，
所以AB之间距离的最小值为20km．
22．已知向量，是平面内两个不共线的单位向量，C为平面内一动点，且，．
（1）若P为OC的中点，求向量与夹角的余弦值；
（2）若||＜，求||的取值范围．
解：（1）∵，∴＝0，
∴，
∵，∴，
若P为OC的中点，则，
可得，
∴，
∵向量，是不共线的单位向量，设其夹角为θ，
展开上式可得csθ﹣，即csθ＝；
（2）由（1）知，，
∴＜，
即0≤＜，
∴0＜，解得＜||，
∴||的取值范围是（，]．