2020-2021年江苏省南京市鼓楼区高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年江苏省南京市鼓楼区高一数学下学期期中试卷及答案，共14页。试卷主要包含了计算，化简可得，在下列选项中，正确的是等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题共60分)
一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.计算：（ ）
A. B. C. D.
2.计算：复数（ ）
A. B. C. D.
3.在△ABC中，角A､B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：7，则其最大角的大小为（ ）
A.60° B.75° C.120° D.150°
4.托勒密(C.Ptlemy，约90-168)，古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）

5.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则（ ）
A.1 B. C. D.
7.化简可得（ ）
A. B.
C. D.
8.已知的内角所对的边为，其面积为，若且的外接圆半径为，则周长的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)
9.在下列选项中，正确的是（ ）
A.
B.
C.存在角α，β，使得sin(α+β)D.对于任意角α，β，式子cs(α+β)10已知是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）
A.
B.
C.
D.若则
11.在中，角的对边分别为，已知，在下列选项中，正确的是（ ）
A. B.
C.的取值范围为 D.当时，则，
12.在下列选项中正确的是（ ）
A.若z∈C，|z|2=z2，则z∈R
B.若z1，z2∈C，|z1+z2|=|z1-z2|，则z1z2=0
C.若复数，则
D.若复数z=(cs25°+isin25°)(cs65°+isin65°)，则z=i
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知α为锐角，且，则______.
14.已知复数z满足|z-1-2i|=2，则|z|的最大值为______.
15.作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡.已知F1=4N，F2=5N，F1与F2之间的夹角是60°，则力F3的大小为______N.
16.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，，∠BFE=120°，EF=2.若△CEF的面积为，则AB=________，sin∠BEC=________.
四､解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
（1）求的值；
（2）求的值.
18.(本小题满分12分)
已知z是复数，+3i为实数(i为虚数单位)，且.
（1）求z；
（2）若z和(z+mi)2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m的取值范围.
19.(本小题满分12分)
在①a=7；②csinA=4；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.
问题：是否存在锐角三角形ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=8，，__________？
20.(本小题满分12分)
设函数.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）设方程在区间内的两解分别为x1，x2，求cs(x1-x2)的值.
21.(本小题满分12分)
关于公式sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.
（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)
证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN中，点P在边MN上，点Q在边GN上，QT⊥HM，垂足为T，∠HPQ=90°，设HQ=1，∠QHP=α，∠PHM=β.
在直角三角形QHP中，QP=sinα，PH=csα，
在直角三角形PHM中，PM=___________，
在直角三角形QPN中，∠QPN=β，PN=sinαcsβ，
在直角三角形HQT中，QT=___________，
因为QT=PM+PN，所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ.
（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.
22.(本小题满分12分)
已知向量为坐标原点.
（1）当时，求与的夹角的余弦值；
（2）若三点共线，求的最小值.
答案
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2.计算：复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3.在△ABC中，角A､B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：7，则其最大角的大小为（ ）
A.60° B.75° C.120° D.150°
【答案】C
4.托勒密(C.Ptlemy，约90-168)，古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）

【答案】C
5.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
6.是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则（ ）
A.1 B. C. D.
【答案】B
7.化简可得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
8.已知的内角所对的边为，其面积为，若且的外接圆半径为，则周长的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)
9.在下列选项中，正确的是（ ）
A.
B.
C.存在角α，β，使得sin(α+β)D.对于任意角α，β，式子cs(α+β)【答案】BC
10已知是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）
A.
B.
C.
D.若则
【答案】CD
11.在中，角的对边分别为，已知，在下列选项中，正确的是（ ）
A. B.
C.的取值范围为 D.当时，则，
【答案】BCD
12.在下列选项中正确的是（ ）
A.若z∈C，|z|2=z2，则z∈R
B.若z1，z2∈C，|z1+z2|=|z1-z2|，则z1z2=0
C.若复数，则
D.若复数z=(cs25°+isin25°)(cs65°+isin65°)，则z=i
【答案】ACD
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知α为锐角，且，则______.
【答案】
14.已知复数z满足|z-1-2i|=2，则|z|的最大值为______.
【答案】
15.作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡.已知F1=4N，F2=5N，F1与F2之间的夹角是60°，则力F3的大小为______N.
【答案】
16.如图，在矩形ACD中，点E在边AD上，点F在边BC上，，∠BFE=120°，EF=2.
若△CEF的面积为，则AB=________，sin∠BEC=________.
【答案】
四､解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
（1）求的值；
（2）求的值.
（1）由题意，因为，所以
所以；
（2）由（1）知，所以|2m+，
所以|2m+.
18.(本小题满分12分)
已知z是复数，+3i为实数(i为虚数单位)，且.
（1）求z；
（2）若z和(z+mi)2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m的取值范围.
（1）由题意可设，则，
又因为为实数，所以，
因为，所以，解得，
所以
（2）若和在复平面内对应的点都在第一象限，
则，
所以有，且，解得一，则实数的取值范围为
19.(本小题满分12分)
在①a=7；②csinA=4；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.
问题：是否存在锐角三角形ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=8，，__________？
在中，因为，且，
所以，即，
又因为，所以，所以，
在中，由，可得，
选①：由余弦定理可得，即，解得或，
所以或103；
选②：，故该三角形不存在；
选③：由可得，，
则由正弦定理可得，，即，
且
所以
20.(本小题满分12分)
设函数.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）设方程在区间内的两解分别为x1，x2，求cs(x1-x2)的值.
（1）由题意，，
则的最小正周期为
（2）由（1）知所以方程可化为：，
由为方程的两个根可得，且，
则在区间内，解得，即，
所以
21.(本小题满分12分)
关于公式sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.
（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)
证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN中，点P在边MN上，点Q在边GN上，QT⊥HM，垂足为T，∠HPQ=90°，设HQ=1，∠QHP=α，∠PHM=β.
在直角三角形QHP中，QP=sinα，PH=csα，
在直角三角形PHM中，PM=①，
在直角三角形QPN中，∠QPN=β，PN=sinαcsβ，
在直角三角形HQT中，QT=②，
因为QT=PM+PN，所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ.
（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.
（1）由题意可知，在直角三角形中，在直角三角形中，
（2）由题意可知，在中，，且，
所以，
在中，，所以，
在中，，所以，
又，
所以，
化简可得，得证.
22.(本小题满分12分)
已知向量为坐标原点.
（1）当时，求与的夹角的余弦值；
（2）若三点共线，求的最小值.
（1）当时，
所以
则，
所以；
（2）若三点共线，则，
又因为，
则，解得，则，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.