2020-2021年江苏省无锡市锡山区高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年江苏省无锡市锡山区高一数学下学期期中试卷及答案，共18页。试卷主要包含了选择题.，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题）.
1．i是虚数，复数＝（ ）
A．﹣1+3iB．C．1+3iD．
2．在△ABC中，若||＝||＝|﹣|，则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
3．已知、是不共线的向量，，（λ、μ∈R），当且仅当（ ）时，A、B、C三点共线．
A．λ+μ＝1B．λ﹣μ＝1C．λμ＝﹣1D．λμ＝1
4．若非零向量，满足||＝3||，（2+3）⊥，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（ ）
A．2﹣iB．﹣4C．2D．4
6．当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若csinC＝asinA+（b﹣a）sinB，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为（ ）
A．B．C．3D．
8．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，，当角A最大时，△ABC面积为（ ）
A．3B．6C．5D．8
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知复数z＝2+i，则下列结论正确的是（ ）
A．B．复数z的共轭复数为2﹣i
C．zi2021＝1+2iD．z2＝3+4i
10．下列说法中正确的为（ ）
A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°
11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
C．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＞c2
D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为
12．如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝b，且（acsC+ccsA）＝2bsinB，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC是等边三角形
B．若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆
C．四边形ABCD面积最大值为+3
D．四边形ABCD面积最小值为﹣3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知i为虚数单位，则的虚部是 ．
14．在△ABC中，若a＝4，b＝3，c＝2，则△ABC的外接圆半径长为 ．
15．如图，正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则的取值范围为 ．
16．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，直线l过△ABC的重心G，且与边AB，AC分别交于D，E两点，则的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．平面内给定三个向量，，．
（1）若，求实数k；
（2）若，求实数k．
18．设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数（2+i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若+4mi（m∈R）为纯虚数，求实数m的值．
19．如图，在菱形ABCD中，，．
（1）若，求3x+2y的值；
（2）若，∠BAD＝60°，求．
（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．
20．在①csinB＝a﹣bcsC，②bsinC＝ccs（B﹣）这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____．
（1）求B；
（2）若D为AC的中点，BD＝2，求△ABC的面积的最大值．
21．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM＝θ．
（1）当时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；
（2）若θ＝15°，问此时人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的多少倍？
（3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？
22．如图，海上有A，B两个小岛，B在A的正东方向，小船甲从A岛出发以v海里/小时的速度沿北偏东60°方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过t小时与小船甲相遇．
（1）若AB相距2海里，v为8海里/小时，小船乙从B岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；
（2）若小船乙先从A岛以16海里/小时匀速沿射线AB方向行驶k（0＜k＜t）小时，再以8海里/小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下v的最大值．
参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i是虚数，复数＝（ ）
A．﹣1+3iB．C．1+3iD．
解：＝＝1+3i．
故选：C．
2．在△ABC中，若||＝||＝|﹣|，则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
解：若||＝||＝|﹣|，
则若||＝||＝|﹣|＝||，
则△ABC为等边三角形．
故选：A．
3．已知、是不共线的向量，，（λ、μ∈R），当且仅当（ ）时，A、B、C三点共线．
A．λ+μ＝1B．λ﹣μ＝1C．λμ＝﹣1D．λμ＝1
解：设A、B、C三点共线，则向量、共线，
即存在实数k，使得＝k
∵且
∴＝k（），可得，解之得λμ＝1
因此，当且仅当λμ＝1时，A、B、C三点共线．
故选：D．
4．若非零向量，满足||＝3||，（2+3）⊥，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意，设与的夹角为θ，||＝t，则||＝3||＝3t，
若（2+3）⊥，则（2+3）•＝2•+32＝6t2csθ+3t2＝0，
即csθ＝﹣，
又由0≤θ≤π，则θ＝，
故选：C．
5．已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（ ）
A．2﹣iB．﹣4C．2D．4
解：∵已知z＝2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，
∴2﹣i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，
∴2+i+（2﹣i）＝﹣a，
解得a＝﹣4，
故选：B．
6．当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|z+2|的最小值是（ ）
A．B．C．D．
解：∵|z+2|＝|（z+3﹣4i）+（﹣1+4i）|≥|﹣1+4i|﹣|z+3﹣4i|＝﹣1＝﹣1
∴|z+2|的最小值是﹣1．
故选：B．
7．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若csinC＝asinA+（b﹣a）sinB，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为（ ）
A．B．C．3D．
解：因为csinC＝asinA+（b﹣a）sinB，
所以由正弦定理可得c2＝a2+b2﹣ab，
可得csC＝＝＝，
因为C∈（0，π），
所以C＝，
所以∠ACD＝∠BCD＝，由CD＝，a＝3b，
所以＝＝，
在△ACD，△BCD中，由余弦定理得：AD2＝b2+3﹣2b×cs30°＝b2﹣3b+3，
DB2＝（3b）2+3﹣2×3b×cs30°＝9b2﹣9b+3，
故9b2﹣9b+3＝9（b2﹣3b+3），解得：b＝，故a＝4，
在△ABC中，由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2abcsC，即c2＝16+﹣2×4××＝，
故c＝．
故选：B．
8．以C为钝角的△ABC中，BC＝3，，当角A最大时，△ABC面积为（ ）
A．3B．6C．5D．8
解：∵△ABC中，BC＝3，，
∴3||csB＝12，即ccsB＝4，
其几何意义：AB在BC方向上的正投影长度始终为4，过A作AD⊥BC，垂足为D，
设∠ACD＝θ，∠ABC＝β，∠A＝α，A（x，y），y＞0，
tanθ＝y，tanβ＝，
∵θ＝α+β，
∴α＝θ﹣β，
tanα＝tan（θ﹣β）＝＝＝≤＝，（当且仅当y＝，即y＝2时去等号），
当tanα＝时，角A最大，此时△ABCBC边上的高y＝2，△ABC的面积S＝＝3．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知复数z＝2+i，则下列结论正确的是（ ）
A．B．复数z的共轭复数为2﹣i
C．zi2021＝1+2iD．z2＝3+4i
解：∵z＝2+i，∴|z|＝＝，＝2﹣i，故选项A、B正确；
又z•i2021＝（2+i）i＝﹣1+2i，故选项C错误；
∵z2＝（2+i）2＝3+4i，∴选项D正确，
故选：ABD．
10．下列说法中正确的为（ ）
A．已知，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°
解：对于A：已知，，由于与的夹角为锐角，
故，且λ≠0，故实数λ的取值范围是，故A错误；
对于B：向量，，满足，所以和共线，所以不能作为平面内的一组基底，故B正确；
对于C：非零向量，，满足且与同向，则是错误的，向量不能比较大小，故C错误；
对于D：非零向量和，满足，则以这三边构成的三角形为等边三角形，所以与的夹角为30°，故D正确．
故选：BD．
11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若A＝30°，b＝4，a＝3，则△ABC有两解
C．若△ABC为钝角三角形，则a2+b2＞c2
D．若A＝60°，a＝2，则△ABC面积的最大值为
解：A＞B⇒a＞b⇒2RsinA＞2RsinB⇒sinA＞sinB，A正确；
因为A＝30°，b＝4，a＝3，
由正弦定理得，，
故sinB＝，
因为b＞a，
所以B＞A，
故B有两角，B正确；
△ABC为钝角三角形，但不确定哪个角为钝角，则a2+b2＞c2不一定成立，C不符合题意；
因为A＝60°，a＝2，
由余弦定理得，a2＝4＝b2+c2﹣bc≥bc，当且仅当b＝c时取等号，
故bc≤4，
△ABC面积S＝＝，即最大值为，D正确．
故选：ABD．
12．如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝b，且（acsC+ccsA）＝2bsinB，D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列说法正确的是（ ）
A．△ABC是等边三角形
B．若AC＝2，则A，B，C，D四点共圆
C．四边形ABCD面积最大值为+3
D．四边形ABCD面积最小值为﹣3
解：∵（acsC+ccsA）＝2bsinB，
∴（sinAcsC+sinCcsA）＝2sinB•sinB，即sin（A+C）＝sinB＝2sinB•sinB，
∴由sinB≠0，可得sinB＝，∴B＝或．
又∵a＝b．∴B＝∠CAB＝∠ACB＝，故A正确；
若四点A，B，C，D共圆，则四边形对角互补，由A正确知D＝，
在△ADC中，∵DC＝1，DA＝3，∴AC＝＝，故B错；
等边△ABC中，设AC＝x，x＞0，
在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•csD，
由于AD＝3，DC＝1，代入上式，得x2＝10﹣6csD，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝x•xsin+•3sinD＝x2+sinD＝3sin（D﹣）+，
∵D∈（0，π），∴，
∴四边形ABCD面积的最大值为+3，无最小值，
故C正确，D错误，
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知i为虚数单位，则的虚部是 ﹣1010 ．
解：∵＝，
∴的虚部是﹣1010．
故答案为：﹣1010．
14．在△ABC中，若a＝4，b＝3，c＝2，则△ABC的外接圆半径长为 ．
解：设△ABC的外接圆半径为r．
由余弦定理得：csA＝＝﹣
∴sinA＝＝
由正弦定理得，∴r＝
故答案为：
15．如图，正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则的取值范围为 [﹣2，] ．
解：以AB，AC 为x，y轴建立直角坐标系则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），
设P（x，x）（0≤x≤1），
∵＝（x，x），＝（1−x，−x），＝（−x，1−x），
∴＝2x（1﹣2x）＝−4（x−）2+（0≤x≤1），
所以当x＝时，函数有最大值；
当x＝1时函数有最小值﹣2．
故答案为：[﹣2，]．
16．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，直线l过△ABC的重心G，且与边AB，AC分别交于D，E两点，则的最小值为 ．
解：设＝λ，＝μ，λ，μ∈[，1]，
则＝+＝+，
∵E，G，D三点共线，∴+＝1，即＝3，
∴•＝（﹣）•（μ﹣λ）＝μ﹣λ•﹣μ•+λ
＝﹣﹣+＝μ+＝（μ+）（）×＝（++）×
≥（2+）×＝，
当且仅当 ＝时取等号，∴•的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．平面内给定三个向量，，．
（1）若，求实数k；
（2）若，求实数k．
解：（1）∵向量，，．
∴＝（1+3k，2+3k），＝（﹣2，﹣1），
∵，
∴＝，
解得实数k＝﹣1．
（2）∵＝（1+3k，2+3k），＝（﹣1，4），
，
∴（）•（）＝﹣1×（1+3k）+4×（2+3k）＝0，
解得实数k＝﹣．
18．设实部为正数的复数z，满足|z|＝，且复数（2+i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若+4mi（m∈R）为纯虚数，求实数m的值．
解：（Ⅰ）设z＝a+bi，a，b∈R，a＞0．
由题意：a2+b2＝10．①
（2+i）（a+bi）＝2a﹣b+（a+2b）i，
得2a﹣b+a+2b＝0，3a+b＝0，②
①②联立，解得a＝1．b＝﹣3；
得z＝1﹣3i．
（Ⅱ）；
由题意可知；
解得m＝1．
19．如图，在菱形ABCD中，，．
（1）若，求3x+2y的值；
（2）若，∠BAD＝60°，求．
（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．
解：（1）因为，，
所以，，
所以，，
故．
（2）∵，
∴
∵ABCD为菱形，∴
∴，即．
（3）＝•＝﹣
＝﹣24+9+6cs
＝，∵cs∈（﹣1，1），
∴的取值范围：（﹣21，﹣9）．
20．在①csinB＝a﹣bcsC，②bsinC＝ccs（B﹣）这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____．
（1）求B；
（2）若D为AC的中点，BD＝2，求△ABC的面积的最大值．
解：（1）选①csinB＝a﹣bcsC，
由正弦定理得sinCsinB＝sinA﹣sinBcsC＝sinBcsC+sinCcsB﹣sinBcsC＝sinCcsB，
因为sinC＞0，
所以得sinB＝csB，即tanB＝，
所以B＝；
选②bsinC＝ccs（B﹣），
由正弦定理得，sinBsinC＝sinCcs（B﹣），
因为sinC＞0，
所以sinB＝cs（B﹣）＝csB+sinB，
即sinB＝csB，
所以tanB＝，
所以B＝；
（2）若D为AC的中点，则＝，
所以4＝++2，
即16＝c2+a2+ac≥3ac，
所以ac，
△ABC的面积S＝，即面积最大值．
21．如图所示，某镇有一块空地△OAB，其中OA＝3km，∠OAM＝60°，∠AOB＝90°．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON＝30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM＝θ．
（1）当时，求θ的值，并求此时防护网的总长度；
（2）若θ＝15°，问此时人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的多少倍？
（3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？
解：（1）在三角形OAM中，由余弦定理得，
所以，
所以三角形OAM是直角三角形，
所以∠OMA＝90°，θ＝30°．
由于∠MON＝30°，
所以∠AON＝∠A＝60°，
所以△OAN是等边三角形，周长为3×3＝9，也即防护网的总长度为9km．
（2）θ＝15°时，在三角形OAM中，由正弦定理得，
在三角形OMN中，∠ONA＝180°﹣60°﹣15°﹣30°＝75°，
由正弦定理得．
所以．
以O为顶点时，△OMN和△OAM的高相同，
所以，
即人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍．
（3）在三角形OAN中，∠ONA＝180°﹣60°﹣30°﹣θ＝90°﹣θ，
由正弦定理得．
在三角形OAM中，∠OMA＝180°﹣60°﹣θ，
由正弦定理得．
所以＝
＝＝
＝．
由于∠AOM＝θ∈（0°，60°），
所以当2θ+60°＝90°，θ＝15°时，S△OMN最小值为．
22．如图，海上有A，B两个小岛，B在A的正东方向，小船甲从A岛出发以v海里/小时的速度沿北偏东60°方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过t小时与小船甲相遇．
（1）若AB相距2海里，v为8海里/小时，小船乙从B岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；
（2）若小船乙先从A岛以16海里/小时匀速沿射线AB方向行驶k（0＜k＜t）小时，再以8海里/小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下v的最大值．
解：（1）设乙速度为x海里/小时，
由余弦定理可知（x）2＝22+（8×）2﹣2×2××cs30°，
整理得x2＝48；
由于x＞0，
所以x＝4；
答：乙的速度为4海里/小时．
（2）由题意知[8（t﹣k）]2＝（16k）2+（vt）2﹣2×16k×vt cs30°，
两边同除以t2得：192（）2+（128﹣16v）+v2﹣64＝0，
设＝m，其中0＜m＜1，
则有192m2+（128﹣16v）m+v2﹣64＝0，其中m∈（0，1），
即关于m的方程192m2+（128﹣16v）m+v2﹣64＝0在（0，1）上有解，
则必有△＝（128﹣16v）2﹣4×192×（v2﹣64）≥0，
解得0＜v≤，
当v＝时，可得m＝∈（0，1），
因此v为最大值为．
答：小船甲在能与小船乙相遇的条件下v的最大值海里/小时．