2020-2021年安徽芜湖高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年安徽芜湖高一数学下学期期中试卷及答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有装一项是符合题目要求的）
1．化简向量+﹣﹣等于（ ）
A．B．C．D．
A．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2﹣b2＝c2+bc，则∠A＝（ ）
A．B．C．D．
D．
3．已知i是虚数单位，则复数＝（ ）
A．+iB．﹣+iC．﹣﹣iD．﹣i
B．
4．在△ABC中，若b＝ccsA，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
A．
5．如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A．B．C．8D．4
C．
6．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记＝，＝，则＝（ ）
A．B．C．D．
D．
7．球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3，若截面圆半径为，则球O的体积为（ ）
A．16πB．C．D．
D．
8．在△ABC中，a，b分别为内角A，B所对的边，b＝5，B＝30°，若△ABC有两解，则a的取值范围是（ ）
A．（2，5）B．（5，10）C．（2，2）D．（2，10）
B．
9．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为（ ）
A．700mB．640mC．600mD．560m
C．
10．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）
A．B．C．D．
A．
11．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝+3，则△ABM与△ABC的面积比为（ ）
A．B．C．D．
C．
12．已知在△OAB中，OA＝OB＝2，，动点P位于线段AB上，当取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
C．
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13．若向量，满足||＝，||＝1，，|2+|＝ ．
14．若圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为 ．
15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b+2c＝2acsB，a＝8，△ABC的面积为4，则b+c的值为 4 ．
16．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M是CB1上的一个动点，则BM+D1M的最小值是 ．
三、解答题（本题共6小题，共48分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣x，3）．
（1）若点A，B，C三点共线，求x的值；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求x的值．
解：（1）∵＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（5﹣x，3），
∴＝﹣＝（3，1），＝﹣＝（﹣1﹣x，6）
∵点A，B，C三点共线，∴和共线，
∴3×6＝﹣1﹣x，解得x＝﹣19；
（2）∵△ABC为直角三角形，且∠B为直角，
∴⊥，∴•＝3（﹣1﹣x）+6＝0，
解得x＝1．
18．已知复数z使得z+2i∈R，∈R，其中i是虚数单位．
（1）求复数z的共轭复数；
（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z+2i＝x+（y+2）i，
∵z+2i∈R，∴y+2＝0，即y＝﹣2．
又∈R，
∴x﹣4＝0，即x＝4．
∴x＝4﹣2i，则；
（2）∵m为实数，且（z+mi）2＝[4+（m﹣2）i]2＝（12+4m﹣m2）+8（m﹣2）i，
由题意，，解得﹣2＜m＜2．
∴实数m的取值范围为（﹣2，2）．
19．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB、AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB旋转一周，
（1）求阴影部分形成的几何体的表面积．
（2）求阴影部分形成的几何体的体积．
解：（1）由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆台下底面、侧面和半球面，
，
，
，
故所求几何体的表面积为S＝8π+35π+25π＝68π；
（2）×4＝52π．
，
∴所求几何体的体积为．
20．已知△ABC中，过重心G的直线l交边AB于P，交边AC于Q，若，，其中p，q为非零常数．
（1）求证：；
（2）求证：为定值．
【解答】证明：（1）延长AG交BC于D，则D为BC中点，
∴，
∵G是重心，∴，
∴；
（2）设，，
∵，∴，
∵，∴，
∵P，G，Q三点共线，
则存在λ，使得，即，
即，
∴，整理，得，
∴，∴，
∴．
21．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求角A；
（2）若，求△ABC周长的取值范围．
解：（1）∵，
∴．
即，
∴，
整理得
∵0＜A＜π，
∴．
（2）∵a2＝b2+c2﹣2bccsA，
∵，∴，
即，
∴
∴
所以△ABC周长的范围为．
22．在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2．
（1）若∠ABD＝，求BC的长；
（2）若AC＝3，求cs∠BAD．
解：（1）在△ABD中，由余弦定理知，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cs∠ABD，
∴8＝16+BD2﹣2•4•BD•cs，化简得BD2﹣4BD+8＝0，
解得BD＝2，
∵E是BD的中点，∴BE＝BD＝，
在△ABE中，由余弦定理知，AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cs∠ABD＝16+2﹣2×4××＝10，
∴AE＝，
∵＝2，∴AC＝AE＝，
由余弦定理知，cs∠BAC＝＝＝，
在△ABC中，由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cs∠BAC＝16+﹣2×4××＝，
∴BC＝．
（2）∵AC＝3，＝2，∴AE＝2，
∵∠AEB+∠AED＝π，
∴cs∠AEB＝﹣cs∠AED，
设BE＝DE＝x，
则＝﹣，即＝﹣，
解得x＝2，
∴BD＝2BE＝4，
在△ABD中，由余弦定理知，cs∠BAD＝＝＝﹣．