2020-2021年福建省南平市浦城县高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年福建省南平市浦城县高一数学下学期期中试卷及答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题.，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知i为虚数单位，在复平面内，复数i2+i对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
B．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
A．
3．如图所示，△A'B'C'是△ABC水平放置（斜二测画法）的直观图，其中A'B'＝A'C'，A'B'∥x'轴，B'C'∥y'轴，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
B．
4．已知tanα＝﹣2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
D．
5．复数z1＝3i+2（i为虚数单位）是方程z2﹣6z+b＝0（b∈R）的根，则b的值为（ ）
A．B．13C．D．5
B．
6．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．f（x）的最小正周期为π
C．f（x）的图象关于对称（﹣，0）对称
D．f（x）的图象关于直线对称
D．
7．如图所示，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的某四棱锥的三视图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
C．
8．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积．根据此公式，若acsB+（b﹣2c）csA＝0，且b2+c2﹣a2＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
C．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．下列命题正确的有（ ）
A．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”
B．函数f（x）＝csx向右平移个单位得到函数解析式为g（x）＝sinx
C．过三点有且只有一个平面
D．1弧度角表示：在任意圆中，等于半径长的弦所对的圆心角
AB．
10．△ABC是边长为3的等边三角形，已知向量满足，，则下列结论中正确的有（ ）
A．为单位向量B．
C．D．
ABD．
11．△ABC中，AB＝2，∠ACB＝30°，则下列叙述正确的是（ ）
A．△ABC的外接圆的直径为4
B．若AC＝4，则满足条件的△ABC有且只有1个
C．若满足条件的△ABC有且只有1个，则AC＝4
D．若满足条件的△ABC有两个，则2＜AC＜4
ABD．
12．已知函数f（t）＝2sint﹣cst+1，对于∀t∈R，均有f（t1）≤f（t）≤f（t2），则（ ）
A．f（t1）﹣f（t2）＝﹣2B．f（t1）+f（t2）＝2
C．D．tant2＝﹣2
BCD．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）
13．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ．
14．若||＝3，＝（1，），|﹣2|＝，则向量与的夹角为 ．
15．正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面投影是底面中心）的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球表面积是 40﹣16 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D，E分别是边AB，AC上的点，AE＝1，且，则＝ 1 ，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为 ．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
（1）GH∥平面A1EF，
（2）平面A1EF∥平面BCHG．
证明：（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，
∴GH∥B1C1，EF∥BC，B1C1∥BC，∴GH∥EF，
∵GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，
∴GH∥平面A1EF．
（2）由（1）知BC∥EF，
∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，
∴ACBE，∴四边形BCHG是平行四边形，∴A1E∥BG，
∵A1E∩EF＝E，GH∩BG＝G，A1E、EF⊂平面A1EF，GH、BG⊂平面BCHG，
∴平面A1EF∥平面BCHG．
18．如图是一个奖杯底座（四棱台）的三视图和直观图，O1、O为上、下底面的中心，M、N、P、Q为各棱的中点．
（1）求它的体积；
（2）求它的表面积．
（1）棱台的体积为：＝．
（2）棱台的表面积为：+2×＝400+60+24．
19．如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cs∠ADC＝．
（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．
（1）在△ADC中，∵cs∠ADC＝，
∴sin∠ADC＝＝＝＝，
则sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣∠B）＝sin∠ADC•csB﹣cs∠ADC•sinB＝×﹣＝．
（2）在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝，
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+CB2﹣2AB•BCcsB＝82+52﹣2×8×＝49，
即AC＝7．
20．已知向量，且．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最小值及相应x的取值集合；
（3）求f（x）的对称轴及单调递减区间．
由已知得且＝4﹣
＝
＝2sinx•csx
＝sin2x+
＝sin2x+＝＝1
＝2sin（2x）．
（1）；
（2）当，即x＝时，f（x）min＝﹣2，
即x的取值集合为时，f（x）取得最小值﹣2；
（3）当，即为函数f（x）的对称轴，
要求函数f（x）的单调递减区间，只需，
解得，
即f（x）的单调递减区间为．
21．已知函数一个周期的图像如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x方程g（x）＝f2（x）﹣2mf（x）在上最小值为﹣3，求实数m的值．
（1）根据图象可得A＝1，由＝+＝，
即函数f（x）的周期T＝π，
所以T＝＝π，
所以ω＝2，
即f（x）＝sin（2x+φ），
图象过（，1），代入f（x）可得sin（+φ）＝1，
又|φ|＜，
所以φ＝，
所以函数f（x）的解析式为f（x）＝sin（2x+）．
（2）令t＝f（x），则y＝t2﹣2mt，对称轴为t＝m，
因为，所以t∈[﹣，1]．
当m＜﹣时，g（x）min＝+m＝﹣3，所以m＝﹣成立；
当﹣≤m≤1时，g（x）min＝﹣m2＝﹣3，所以m＝±不成立；
当m＞1时，g（x）min＝1﹣2m＝﹣3，所以m＝2成立．
综上所述，m＝﹣或m＝2．
22．如图，在△ABC，AB＝4，AC＝3，BC＝5，D在BC边上，延长AD到E，若＝t+（﹣t）（t为常数）
（1）若AE＝9，求CD的距离；
（2）若CE⊥AC，求CE、BE的长度；
（3）若CE⊥AC时，若以四边形ACEB为旋转面，以直线AC、CE、BE、AB为旋转轴，旋转一圈所围成的向何体的体积分别为v1、v2、v3、v4，求出四个几何体体积的最大值与最小值．
因为A，D，E三点共线，所以设（λ＞0），
∵＝t+（﹣t），所以λ＝t+（﹣t），即＝+，
由D在BC边上，可得+＝1，即λ＝，
（1）若AE＝9，又λ＝，可得AD＝3，故AD＝AC，
若CD两点重合时，CD的距离为0，若CD不重合时，△ACD为等腰三角形，
在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，则AB⊥AC，csC＝，此时CD＝2×3csC＝，
故CD的距离为0或；
（2）若CE⊥AC，AB⊥AC，则CE∥AB，
所以△ABD与△ECD相似，因为λ＝，所以相似比为1：2，
则CE＝8，BE＝＝5；
（3）V1＝×（4²+8²+4×8）×3＝112π，V2＝π×3²×4+×π×3²×4＝48π，
V3＝×π×（）×10×（1﹣）＝π，V4＝π×3²×8﹣×π×3²×4＝60π，
故四个几何体中体积最大为V1＝112π，最小为48π．