2020-2021年山东省济宁市任城区高一数学下学期期中试卷及答案

这是一份2020-2021年山东省济宁市任城区高一数学下学期期中试卷及答案，共9页。试卷主要包含了选择题.，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．设复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
D．
2．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ）
A．B．1C．D．2（1+）
A．
3．若在△ABC中，2csBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
C．
4．若向量＝（1，2），＝（0，1），k﹣与+2共线，则实数k的值为（ ）
A．﹣1B．C．1D．2
B．
5．已知复数3﹣2i是关于x的方程2x2﹣mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值分别为（ ）
A．6，8B．12，0C．12，26D．24，26
C．
6．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则△ABC的面积为（ ）
A．2B．4C．D．
A．
7．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（ ）
A．B．C．D．
D．
8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则•的取值范围是（ ）
A．[6，12]B．[6，16]C．[8，12]D．[8，16]
C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．正方体
ACD．
10．下列说法正确的有（ ）
A．在△ABC中，a：b：c＝sinA：sinB：sinC
B．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件
D．在△ABC中，若sinA＝，则A＝
AC．
11．有下列说法，其中错误的说法为（ ）
A．若，，则
B．若，则P是三角形ABC的垂心
C．两个非零向量，，若|﹣|＝||+||，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数λ使得
AD．
12．在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB和平面NMQ平行的是（ ）
A．B．
C．D．
BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若复数z＝，i为虚数单位，则|z|＝ ．
14．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝（+），则与的夹角为 90° ．
15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 12.5 斛．
16．已知平面向量，，满足，，，且与的夹角为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知复数z＝1+i，且＝1﹣i，求实数a，b的值．
解：由题可知，z2＝2i，左式＝＝右式，
即（a+b）+（a+2）i＝i（1﹣i）＝1+i，
得到方程组，解得：．
18．在①asinC＝csin（A+）；②2ccsA＝acsB+bcsA；③b2+c2＝a2+bc这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若已知b＝3，S△ABC＝3，_____，求a的值．
解：若选①：因为asinC＝csin（A+），
所以sinAsinC＝sinCcsin（A+），
所以sinA＝sin（A+）＝，
即sinA＝csA，
所以tanA＝，
因为A为三角形的内角，
所以A＝，
所以S△ABC＝＝＝＝3，
所以c＝4，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccsA，
＝＝13，
所以a＝，
若选：②2ccsA＝acsB+bcsA，
所以2sinCcsA＝sinAcsB+sinBcsA，
所以2sinCcsA＝sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，
因为sinC≠0，
所以csA＝，
因为A为三角形内角，
所以A＝，S△ABC＝＝＝＝3，
所以c＝4，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccsA，
＝＝13，
所以a＝，
若选③：③b2+c2＝a2+bc，
由余弦定理得，csA＝＝，
因为A为三角形内角，所以A＝，S△ABC＝＝＝＝3，
所以c＝4，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccsA，
＝＝13，
所以a＝．
19．如图所示，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D1为A1C1上的中点．
（1）求证：BC1∥平面AB1D1；
（2）设三棱锥A﹣A1B1D1的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，求．
（1）证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，
则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B上的中点，
又点D1为A1C1上的中点，
所以OD1∥BC1，
又OD1⊂平面AB1D1，B1C⊄平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1．
（2）V1＝＝＝＝V2，
所以＝．
20．已知向量．
（1）求的坐标以及与之间的夹角；
（2）当k为何值时，与垂直？
（3）当t∈[﹣1，1]时，求的取值范围．
解：（1）∵向量，
∴＝（3，）．
设与之间的夹角为θ，θ∈[0，π]，
则csθ＝＝＝，∴θ＝．
（2）要使，与垂直，
需（）•（）＝k+（1﹣3k）﹣3＝4k+（1﹣3k）×（﹣2）﹣3×4＝0，
求得k＝．
（3）当t∈[﹣1，1]时，＝＝＝2，
故当t＝﹣时， 取得最小值为；
当t＝1时， 取得最大值为2，
故的取值范围为[，2]．
21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．求证：
（1）直线EG∥平面BDD1B1；
（2）平面EFG∥平面BDD1B1；
（3）若正方体棱长为1，过A，E，C1三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．
解：（1）证明：连接SB，由EG为△CSB的中位线，可得EG∥SB，
由EG⊄平面BDD1B1，SB⊂平面BDD1B1，可得EG∥平面BDD1B1；
（2）由EF∥DB，EF⊄平面BDD1B1，DB⊂∥平面BDD1B1，
可得EF∥∥平面BDD1B1，
又由（1）可得EG∥平面BDD1B1，
EF∩EG＝E，可得平面EFG∥平面BDD1B1；
（3）取B1C1的中点N，连接A1N，NE，
可得AE∥A1N，AE＝A1N，
取A1D1的中点M，连接MC1，AM，
可得MC1＝A1N，MC1∥A1N，
可得截面AEC1M为平行四边形，且AE＝EC1＝AM＝MC1＝＝，
所以截面的面积为×A1C1×ME＝××＝．
22．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且点E在点F的右下方，在运动的过程中，始终保持∠EAF＝不变，设∠EAB＝θ弧度．
（1）写出θ的取值范围，并分别求线段AE，AF关于θ的函数关系式；
（2）求△EAF面积S的最小值．
解：（1）由AB⊥AC，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，
且点E在点F的右下方，∠EAF＝不变，可知θ∈．
在△ABE中，由正弦定理可得，
∴AE＝，
在△ABF中，由正弦定理可得，
∴AF＝，
（2）由（1）可得，
＝
＝＝，，
∴，
∴三角形△AEF的面积的最小值为，此时θ＝．