初中16.1 二次根式学案

这是一份初中16.1 二次根式学案，共20页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习过程，中考在线，拓展知识等内容，欢迎下载使用。
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
二、学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件．
难点：掌握二次根式有意义的条件。
三、学习过程
（一）复习回顾：
（1）已知，那么是的______;是的________,
记为______,一定是_______数。
（2） 4的算术平方根为2，用式子表示为=_________；
正数的算术平方根为_______，
0的算术平方根为_______；
式子的意义是 。
（二）探索新知：
自主学习：二次根式的定义
(1)的平方根是 ；
(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式。如果用含h的式子表示t，则t= ；
(3)圆的面积为S，则圆的半径是 ；
(4)正方形的面积为，则边长为 。
思考：， ，,等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.
定义: 一般地我们把形如（）叫做 ，
叫做_______。称为
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
，，，，，
2、议一议：① -1有算术平方根吗？
② 0的算术平方根是多少？ ③当a0）、 、 、 -、
、 （x≥0，y≥0）．
解：属于二次根式是
注：在二次根式中，字母必须满足 , 才有意义。
例2：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
解：由，得
当时，在实数范围内有意义。
例3．当x是多少时，在实数范围内有意义？
（四）学以致用：
1、当时怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） （2） （3） （4）
2、取何值时，下列各二次根式有意义？
① ② ③
3、（1）若有意义，则a的值为___________。
（2）若在实数范围内有意义，则为 。
4、要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它长、宽各应取多少？
*5、当x是 时，+在实数范围内有意义.
教师复备栏或学生笔记栏
（五）达标检测：
一、选择题：
1、下列式子，，，中，二次根式的个数是（ ）Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
2、一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、二次根式中，字母a的取值范围是（ ）
A、 a＜l B、a≤1 C、a≥1 D、a＞1
4、已知则x的值为 （ ）
A、 B、 C、 D、的值不能确定
(二)填空题：
1、当m__________时， eq \r(,5－3m) 是二次根式.
2、当x__________时， eq \r(,3＋2x) 有意义.
3、当x__________时， eq \f(1,\r(,x－7)) 有意义.
*4、若，那么= ，= 。
*5、当= 时，代数式有最小值，其最小值是 。
（六）中考在线：
1、（03.盐城）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D .
2、（13.安徽）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 。
3、（13.盘锦）若式子有意义，则的取值范围是 。
4、（13.娄底）使式子有意义，则的取值范围是 。
第一课时：堂堂清：
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
A．5 B． C． D．以上皆不对
二、填空题
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为________．
3．负数________平方根．
４．要使式子有意义，则的取值范围是 。
５．要使二次根式有意义，则的取值范围是
６．若与互为相反数，则的值为 。
三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

应用拓展
1、(1)已知+＝0，则___________.
(2)已知,则= _____________。
(3)若+有意义，则=_______．
2．使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
3. 当x是多少时，在实数范围内有意义？
4、(1)已知y=++5，求的值．
(2)若+=0，求a2014+b2014的值.
人教版初二下数学 16.1.2二次根式(2) NO.2
一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质：和
2、能利用上述性质对二次根式进行化简.
二、学习重点、难点
重点：二次根式的性质．
难点：综合运用性质: 和进行化简和计算。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？
（2）二次根式有意义，则 。（3）在实数范围内因式分解：( )2=（+ ）(- )
（二）自主学习：
二次根式的性质
（1）是 的算术平方根，所以 ；
是 的算术平方根，所以 ；
思考： ① 的取值范围是 ；
②通过对上面的填空，你能发现的值等于 ；
（2） ， ， ， ；
思考：观察其结果与根号内幂底数的关系，
当
（3） ， ，
， ；
思考：观察其结果与根号内幂底数的关系，
当 （4）
（三）合作交流
1、归纳总结：二次根式的性质：
（1） 0； (2) .
(3)
2、化简下列各式：
（1） （2）
（3） （4）= （）
3、请大家思考、讨论:二次根式的性质与有什么区别与联系。
4.判断题：（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4）当a是非负数时， （ ）
（5） （ ）
（四）典例分析：
例1：计算：（1） （2） （3）
（4）
追加练习1：
1. 化简： ； ；
２. 如果是任意实数，则（ ）
A. B. C. D.
例2：实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为 。
追加练习2：
１.下列计算中，不正确的是 （ ）。
A、3= B、 0.5= C、
D、
２.化简： ； = ；
例３：在实数范围内因式分解：① ②
（五）学以致用：
1、在实数范围内分解因式:
（1）( )2=（x+ ）(x- )
（2）( )2=（x+ ）(x- )
（３） （４）
2、化简：（1） (2)
（3）（）2 （４）（3）2 （５）（）2
（６） （７） （８）
3、化简下列各式
（1） (2)
（3） （4）（x＜-2）
*4、已知a、b、c为三角形的三条边，则_______。
*5、已知+=0，求 。
（六）中考在线：
１、（13•红河）计算的结果是 （ ）
A． B． C． D．
２、（13•连云港）计算＝
３、（13•汕头）若实数满足，
则
4、（13•青海）已知实数在数轴上的位置如图所示，
则化简的结果是 。
-1 0 a 1
第二课时：堂堂清
1．计算（1）（）2 （2）-（）2
（3）（）2 （4）（-3）2
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）
3．在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-2 （2）x4-9 （3） 3x2-5
５．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
6. 若二次根式有意义，化简│x-4│-│7-x│。
7. 已知2＜x＜3，化简：
人教版初二下数学 16.2.1二次根式乘法 NO.3
学习目标：
1、理解二次根式的乘法法则：=（），
能利用其进行计算。（重点）
2、理解=（），能利用其进行化简。（难点）
一、自主体验：
1、计算下列各式，观察计算结果：
（1） ， 。
（2） ， 。
（3） ， 。
（4） ， 。
2、用“>”“0，y>0） *（5）4÷2（a>0）
*（6）
堂堂清：
一、选择题
1．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．
A．（y>0）B．（y>0）C．（y>0） D．以上都不对
2．在下列各式中，化简正确的是（ ）
A．=3 B．=±
C．=a2 D． =x
3．化简的结果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
二、填空题
1．化简：_________；=_________．（x≥0）
2．二次根式，，，，，中最简二次根式是
三、计算：（1）
(2)
四、综合提高题
阅读学习：观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
，
，
同理可得： =，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算。
（1）
（2）
五：中考链接：
1、已知，则的值等于__________.
2、若x、y为实数，且y=，则的值 。
3、（13.泰州）先化简，再求值：，其中
16.3二次根式的加减学案(1) NO.6
学习目标：
1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式（重点）
2、理解和掌握二次根式加减的方法，用它来指导根式的计算和化简．（重点、难点）
学习过程
一：自主学习
（一）、复习引入
计算．（1）； （2）；
（3）； （4）
（二）、探索新知：
计算下列各式．
【思考提示】根据以上计算，用类比运算法尝试一下。
（1）2+3 =
（2）2-3+5 =
（3）=
（4）3-2+=
由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，
如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以．（与整数中同类项的意义相类似我们把与，、与这样的几个二次根
式，称为同类二次根式） 3+=3+2=5 3+=3+3=6
【归纳】：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并．
思维诊断：
1.在下列各组根式中,是同类二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
2.如果最简二次根式与是同类二次根式,求m、n 的值.
例1．计算 （1） （2）+


例2．计算（1）3-9+3
（ 2）（+）+（-）

归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；
第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
追加练习：(1)
(2)
(3)
（4）
三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
四、课堂检测
1．以下①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
2．下列各式：①3+3=6；②=1；
③+==2；④=2，其中错误的有（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )
A．和B．和
C．和 D．和
4．下列各式的计算中，成立的是( )
A． B．
C． D．
*5．若则的值为( )
A．2 B．－2C． D．
6．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有___ ____．
7．计算二次根式5-3-7+9的最后结果
是___ ___．
8．若最简二次根式与是同类二次根式，
则x＝_ ____．
9．若最简二次根式与是同类二次根式，
则a＝___ ___，b＝___ ___．
10．计算：（1）
（2）
堂堂清：
能与合并的二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2、下列二次根式不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
3、已知二次根式与可以合并，实数的值可以是（ ）A.8 B.10 C.12 D.14
4、，，，四个二次根式中，可以合并的二次根式是
5、任意写出一个与的同类二次根式 。
6、计算：（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
*7、先化简，再求值．（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．
*8、已知，求的值。
16.3二次根式的加减法二次根式的混合运算NO.7
一、学习目标
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。
二、学习重点、难点
重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。
三、学习过程（一）复习回顾：
1、填空
（1）整式混合运算的顺序是：
。
（2）二次根式的乘除法法则是：
。
（3）二次根式的加减法法则是：
。
（4）写出已经学过的乘法公式：
= 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②
2、计算：
（1）·· （2）
（3）
（二）合作交流
1、探究计算：(提示：类比整式的运算法则。)
（1）（）× （2）
2、探究计算：
（1） （2）
（三）展示反馈
计算： （1）

（2）
（3） （4）（-）（--）
注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。
（四）拓展延伸
1、（2013.孝感）先化简，再求值：，
其中。
2、先化简，再求值：，其中。
3、已知，求（1） ； （2）的值。
4、已知，求的值。
（五）达标测试：
1．计算（+）（-）的值是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．1
2．（-+）2的计算结果是________．
3．（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果是__ _____．
4．若x=-1，则 __ ______．
5．已知，，则 _________．
6．计算（1）
（2）
（2013．大连）（3）
（4）（-3+2）×
（六）作业设计
A组
1、计算：（1）（2）

（3）（4）
（5）
（6）
B组
1、计算：（1）
（2）
2、已知，，求的值
3、已知，求的值。
《二次根式》复习1 NO.8
一、学习目标
1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2、熟练进行二次根式的乘除法运算。
3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。
4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。
二、学习重点、难点
重点：二次根式的计算和化简。
难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。
三、复习过程
（一）知识体系
二次根式
二次根式的概念①
二次根式的
性质
二次根式的化简与运算
②
③
④
二次根式的加减法则⑦
二次根式的乘除
二次根式的乘法法则⑤
二次根式的除法法则⑥
请写出框中数字处的内容：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ；
⑦ ；
（二）归纳考点
考点1：二次根式成立的条件及性质
二次根式成立的条件：被开方数。
二次根式的性质：（1）是一个非负数。（2）。
（3）
【例1】（2013.凉州）如果代数式有意义，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【思路点拨】要使代数式有意义，应同时满足分式和二次根式都有意义。分式有意义的条件是分母不为零，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，二者缺一不可。
【中考在线】1：
1、（2012.株洲）要使二次根式有意义，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2、（2012.大庆）代数式有意义，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3、（2013.曲靖）下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
4、（2013.永州）已知，则的值为（ ）
A.0 B. C.1 D.5
5、（2013.襄阳）使代数式有意义的的取值范围是 。
6、（2011.黔东）若，化简 。
考点2：二次根式的乘除及最简二次根式
二次根式的乘除。
(1)乘法法则：。 (2)除法法则：。
最简二次根式满足的两个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
【例2】（2013.上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【例3】（2013.宿迁）计算的值是 。
【思路点拨】先按二次根式的乘法法则计算，再把被开方数相同的最简二次根式合并，注意运算结果的化简。
【中考在线】:2
1、（2011.巴中）下列各式①，②，③，④中，最简二次根式有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、（2013.常德）计算的结果为（ ）
A. B.1 C. D.7
3、（2013.青岛）计算： 。
4、（2013.玉林）化简： 。（2012.南京）计算的结果是 。
考点3：二次根式的加减及其混合运算
二次根式运算的三点要求：
（1）将二次根式化为最简二次根式。
（2）分清运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。
（3）将最后结果化为最简。
【例4】计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【思路点拨】先把各二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
追加练习1：
（1） （2）

（2） （4）
【例5】（2013.黔东）先化简，再求值：，其中。
【思路点拨】先根据分式的运算法则化简已知代数式，再把字母的值代入化简后的式子中计算，即可得原式的值。
【中考在线】3：
1、（2012.宜昌）下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2、（2013.新疆）下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3、（2013.长沙）计算： 。4、（2013.哈尔滨）计算： 。
5、（2012.大庆）计算： 。
6、（2012.梧州）计算： 。
7、（2013.恩施）先化简，再求值：，其中。
《二次根式》复习2 NO.9
一、学习目标
1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2、熟练进行二次根式的乘除法运算。
3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。
4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。
二、学习重点、难点
重点：二次根式的计算和化简。
难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。
三、复习过程（一）自主复习
1．若a＞0，a的平方根可表示为___________；a的算术平方根可表示________
2．当a______时，有意义，当a______时，没有意义。
3．
4．
5．
（二）合作交流，展示反馈
1、式子成立的条件是什么?
2、计算：
(1) (2)
(3) (4)
（三）精讲点拨
在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个公式：
（1）
（2）
（4）
（四）达标测试：
A组
1、选择题：
（1）化简的结果是（ ）
A 5 B -5 C 士5 D 25
（2）代数式中，x的取值范围是（ ）
A B C
D
（3）下列各运算，正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
（4）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（5）化简的结果是（ ）
（6）化简的结果是（ ）
A、3 B、 C、 D、
（7）化简的结果是（ ）
A、6 B、
C、 D、
（8）化简的结果是（ ）
A、3 B、 C、 D、5
2、计算．
1) 2)4)
3) 6）
5） 7）
3、（1）已知求的值。
（2）已知求的值。
4、化简求值：，其中
5化简，再求值：，其中。
B组
1、选择题：
（1），则（ ）
A a,b互为相反数 B a,b互为倒数 C D a=b
（2）在下列各式中，化简正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
（3）把中根号外的移人根号内得（ ）

2、阅读理解：对于任意实数，定义一种运算“&”如下：，如，那么
3、计算：（1）
（2）
（3）
（4）
4、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：
验证：
(1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变化结果并进行验证．
(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式并进行验证．
八年级数学第十六章二次根式测试题NO.10
1.下列各式中，不属于二次根式的是
A. (x≤0) B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
2.已知式子 QUOTE 有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＝1 B. x≥1 C. x≤1 D. 0＜x＜1
3.若是二次根式，则（ ）
A. a＞0 B. a＜0 C. a≥0 D. a≤0
4.若式子有意义，则点P（a，b）在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知a＜0，则化简的结果是（ ）
A. B. C.－ D.
7.若，则等于（ ）
A. 2a－1 B. 1－2a C. －1 D. 1
8.已知点P（x，y）在第三象限，则化简的结果是 （ ）
A. 2xy B. －2xy C. 2 D. －2
9.下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
10.若是一个不等于0的整数，则正整数a的最小值是
（ ） A. 12 B. 3 C. 6 D. 2
11.估计的运算结果的范围应在（ ）
A.1到2 B. 2到3 C. 3到4 D. 4到5
12.设4－的整数部分为a，小数部分为b，则a－的值为（ ）
A. B. C. D.－
二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
13.要使代数式有意义，则x的取值范围是 .
14.若有意义，且a b≠0，则点P（a，b）在第 象限.
15.若，则a＝ ，b＝ .
16.在实数范围内分解因式：x3－3x＝ .
17.已知x－1＝，则的值是 .
18.已知a、b、c是△ABC的三边，则的值为 .
19.观察下列各式的规律：①；②；
③……若，则a＝ .
20.若矩形长为cm，宽cm，则周长为 .
21.实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是
22.在面积为80cm2的正方形正中间挖掉一个面积为45cm2的小正方形，则剩余的边框的宽度是 cm.
三：解答题：（本大题共60分）
23.计算：（每小题2分，计8分）
⑴. ⑵.
⑶.（b＞0） ⑷.
24.x为何值时，下面各式的意义：（每小题2分，计8分） ⑴. ⑵.
⑶. ⑷.
25.化简求值：（每小题3分，计12分）
⑴.已知x＝，y＝，求的值.
⑵.已知=，求的值.

⑶.当x＝时，求的值.

⑷.若a、b为实数，且，求 QUOTE 的值.
26.（6分）如图，已知长方形ABCD中，E为CD上一点，∠DAE＝∠CEB＝60°，AB＝4，求DE的长.
27.（5分）已知a＝3＋，b＝3－. 求的值.
28.（5分）已知一块长方形木板，长为7.5dm，宽为5dm，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
29.把根号外的因式移到根号内：

30.先阅读下列的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数和，使且，
则可变为，即变成开方，从而使得化简。
例如： ==，
∴
请仿照上例解下列问题：
（1）；
（2）