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数学八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理导学案
展开课题:16、1勾股定理 (1) 课型 :新知探究课 姓名:
总课时:第14课时
学习目标:
1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。
2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习重点:勾股定理的内容及证明。
学习难点:勾股定理的证明。
学习过程:
一、知识链接
1、直角△ABC的主要性质是:∠C=90°(用几何语言表示)
(1)两锐角之间的关系:
(2)若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:
二、探究新知:(一)、发现与猜测: 1、操作感知:
(1)、同学们画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。
(2)、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长
发现问题:你是否发现+与,+和的关系,即+ ,+ ,
2、验证自学课本22-23页,思考“探究”,补充下表,你能发现正方形A、B、C的关系吗?
由此我们可以得出什么结论?可猜想:_____________________________________________
命题1:如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么 。
(二)、勾股定理的证明
1、已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:
证明:4S△+S小正=
S大正=
根据的等量关系:
由此我们得出: (在练习本上用梯形尝试证明)
2、归纳:勾股定理的内容是: 。
三、巩固练习
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图1
图2
1、在Rt△ABC中, ,
(1)如果a=3,b=4,则c=________;
(2)如果a=6,b=8,则c=________;
(3)如果a=5,b=12,则c=________;
(4) 如果a=15,b=20,则c=________.
2、下列说法正确的是( )
A.若、、是△ABC的三边,则
B.若、、是Rt△ABC的三边,则
C.若、、是Rt△ABC的三边,, 则
D.若、、是Rt△ABC的三边, ,则
3. 求下列图形的面积
4、一个直角三角形中,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )
A.斜边长为25 B.三角形周长为25 C.斜边长为5 D.三角形面积为20
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。
注意:在用勾股定理求第三边时,分不清直角三角形的斜边和直角边;另外不论是否是直角三角形就用勾股定理;为了避免这些错误的出现,在解题中,同学们一定要找准直角边和斜边,同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形.
四、当堂检测:
1.如图,三个正方形中的两个的面积S1=25,S2=144,则另一个的面积S3为________.
2、在Rt△ABC中,∠C=90°,
①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;
③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△ABC=________。
2、一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为 。
3、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为 。
4、已知,如图在ΔABC中,AB=BC=CA=2cm,AD是边BC上的高.
求 ①AD的长;②ΔABC的面积.
课后练习:
1、在Rt△ABC,∠C=90° 例(1)解:由题意得:c2=a2+b2
c2=52+52
c=±
(1)已知a=b=5,求c。 c=±5(舍去负值)
(2)已知a=1,c=2, 求b。 c的值是5
北
南
A
东
第4题图
(3)已知c=17,b=8, 求a。
(4)已知a:b=1:2,c=5, 求a。
(5)已知b=15,∠A=30°,求a,c。
2、已知,AB=17 AC=10,BC边上高AD=8,则BC长为 。
3、已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距 。
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年级:八年级 科目:数学 主备: 大浪淘金123456 审核:教务处
课题:16、1勾股定理 (2) 课型 :新知探究课 姓名:
总课时:第15课时
学习目标:
1.会用勾股定理进行简单的计算。
2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。
学习重点:勾股定理的简单计算。
学习难点:勾股定理的灵活运用。
学习过程:
一、自主学习:1、自学课本第25页。
导学
⑴开通题意,题目在说怎样的情境。
⑵注意勾股定理的使用条件,即门框为长方形,四个角都是直角。
⑶图中有几个直角三角形?图中标字母的线段哪条最长?
⑷指出薄木板在数学问题中忽略厚度,只记长度,探讨以何种方式通过?
⑸转化为勾股定理的计算,采用多种方法。完成下列解答过程:
解:在Rt△ABC中,根据勾股定理
AC = + (反思小结:先要确定使用勾股定理的条件,在“Rt△---中”
再用字母表示三边关系,再代入数学进行相关运算)
因为 AC=≈2.236
因此 AC 木板宽,所以木板 从门框内通过
2、练一练:做读本第26页练习1,过程写在下面:3、自学课本25页例2,理解后写在下面:
第2题
二、巩固练习:
1、做做读本第26页练习2
2.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点A,使AC垂直江岸,测得BC=50米,∠B=60°,则江面的宽度为
3.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是 米。
第4题
4.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点,PQ=16厘米,且RP⊥PQ,则RQ= 厘米。
5、在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边, 花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m。(自主画图或参考课本29页第10题)
。
6.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖半径至少为 米。
反思小结:1、当直角三解形有特殊角,如60度,30度,可用两边之间的关系,减少一个未知数,然后用勾股定理构建方程,从而解决问题。
2、应用问题,要注意弄清题意,分析数学关系,确定解题策略。
三、当堂检测
1.一架25分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米,那么梯足将滑动
2.山坡上两株树木之间的坡面距离是4 米,则这两株树之间的垂直距离是 米,水平距离是 米。
2题图 3题图
3、如图12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是 。
4、小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度
四、课后作业
1、△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为
2、如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.
3、如图,已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂,竹杆顶部抵着地面,
此时,顶部距底部有 m;
第3题
第2题
4、有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子,它的伙伴在离该树12m,
高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声,它立刻以4m/s的速度飞
向大树树梢,那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起?
本节课有哪些收获,请写在下面:
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课题:16、1勾股定理 (3) 课型 :新知探究课 姓名:
总课时:第16课时
学习目标:
1.会用勾股定理解决较综合的问题。
2.树立数形结合的思想。
学习重点:勾股定理的综合应用。
学习难点:勾股定理的综合应用。
学习过程:
一、知识链接:1、自主学习课本26页思考,尝试自主把证明过程写在下面:
二、探究新知。(一)、尺规作图表示无理数。
1、自学课本26-27页,思考如何在数轴上表示无理数,并尝试在下列数轴上表示、、-。
2、思考27页图17.1-11,你知道了这些数怎样在数轴上表示了吗?
3、练一练在上面数轴上怎样表示
反思小结:以通过以上练习可知数轴上的点即表示有理数,还可以表示
_____________,所以数轴上的点和________是一一对应的。
(二)、应用勾股定理解决问题
1、例:已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥BC于D,∠A=60°,CD= ,求线段AB的长。
解:∵CD⊥BC于D,∠A=60°
∴∠ACD=30°
∴AC=2AD
在Rt△ADC中
AC2=CD2+AD2
(2AD) 2=()2+ AD2
3 AD2=3
AD=1
∴AC=2AD=2×1=2
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°
∴∠B=30°
AB=2AC=2×2=4
∴线段AB的长是4。
2、练一练:已知:如图,∠B=∠D=90°, 3、做课本27页练习2请写在下面。
∠A=60°,AB=4,CD=2。
求:四边形ABCD的面积。
解:
小结:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差。
三、巩固练习:
1. 如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是( )
A
B
C
D
7cm
A
B
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第4题图
第4题图
第4题图
第2题图
第1题图
2. 如图所示,在△ABC中,三边a,b,c的大小关系是( )
A.a<b<c B. c<a<b C. c<b<a D. b<a<c
3.等边△ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为 .
4.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为_______
四、当堂检测:
1、如图,数轴上的点A所表示的数为x,则x2-10的立方根为( )
(A)-10 (B) --10
(C) 8 (D) -2
2.△ABC中,AB=AC=25cm,高AD=20cm,则BC= ,S△ABC= 。
3.△ABC中,若∠A=∠B=∠C,AC=10 cm,则∠A= 度,∠B= 度,∠C= 度,BC= ,S△ABC= 。
4.△ABC中,∠C=90°,AB=4,BC= ,CD⊥AB于D,则AC= ,CD= ,BD= ,AD= ,S△ABC= 。
五、课后反思:
1. 这节课你有哪些收获:
2.需要改进的地方:
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课题:16、1勾股定理 (4) 课型 :练习课 姓名:
总课时:第17课时
A
B
C
a
b
c
一:复习勾股定理,体会其应用中的“分类思想”
题组一:
1.勾股定理: 如果直角三角形的两直角边
分别为a,b,斜边为c,则有______________.
2.已知:直角三角形的三边长分别是3, 4, X,则X = ______.
3. 已知,△ABC中,AB =10,AC =17,BC边上的高线AD = 8 ,
则BC的长为__________.
4.小结反思:分类思想
(1).直角三角形中,已知两边长且不明确是直角边还是斜边时(如一、2),应分类讨论
(2)当已知条件中没有给出图形时,应认真读句画图(如一、3),避免遗漏另一种情况。
3.方程思想(规律)
直角三角形中,当无法已知两边求第三边时,应采用间接求法:灵活地寻找题中的等量关系,利用勾股定理列方程.
二:利用“转化思想”,解决实际问题.
题组二:
2
3
2
3
2
3
B
C
20
A
1.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20 dm、3 dm、2dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少?
3
2
B
A
20
B
A
C
15
5
2、如图,长方体的长为15 cm,宽为 10 cm,高为20 cm,点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?
3.反思小结。转化思想
(1).几何体的表面路径最短的问题,一般展开表面转化为平面
(2).利用两点之间线段最短,及勾股定理求解
三、当堂检测:
1. 有一个长方体盒子,它的长是70cm,宽和高都是50cm.在A点处有一只蚂蚁,它想吃到B点处的食物.,那么它爬行的最短路程是多少
2.如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行多少cm?
四、自主练习,完成课本29页相应练习
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课题:16、1勾股定理逆定理 (1) 课型 :新知探究课 姓名:
总课时:第18课时
学习目标:
1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重点:掌握勾股定理的逆定理及证明。
学习难点:勾股定理的逆定理的证明。
一、知识链接:1、你还记得勾股定理吗?请写在下面(第23页):命题1:_____________
_______________________________________________________________________________
二、自主探究:自学课本31页, 1、思考:怎样判定一个三角形是直角三角形?
2、操作:下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c
5、12、13 7、24、25 8、15、17
(1)这三组数满足吗?
(2)分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?
3、猜测:猜想命题2:如果三角形的三边长、、,满足,那么这个三角形是 三角形
问题二:命题1:
命题2:
命题1和命题2的 和 正好相反,把像这样的两个命题叫做 命题,如果把其中一个叫做 ,那么另一个叫做
4、证明:自学课本31-32,看看书中是怎样证明这个命题的,请写在下面:
5、勾股定理逆定理: __________
三、练习巩固:1、判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形,若是并判断哪个角是直角。
(1)、a=5, b=12, c=13;(2)、a=6, b=10, c=8;(3)、a=5, b=7, c=9;
2、做课本33页练习1、2、写在下面:
3、 已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,, (n>1)
求证:∠C=90°。
四、当堂检测:1、任何一个命题都有 ,但任何一个定理未必都有 。
2、“两直线平行,同位角相等。”的逆定理是 。
3、一个三角形的三边之比为3;4:5,这个三角形的形状是__________.
4、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是__________.
5、适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为( )
①②∠A=450;③∠A=320, ∠B=580;④
A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.
6、三角形的三边长的关系为,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
7.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列命题中的假命题是( )
A.如果∠C-∠B=∠A,则△ABC是直角三角形。
B.如果,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°。
C.如果(c+a)(c-a)=,则△ABC是直角三角形。
D.如果∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC是直角三角形。
8.下列四条线段不能组成直角三角形的是( )A.a=8,b=15,c=17 B.a=9,b=12,c=15 C.a= ,b= ,c= D.a:b:c=2:3:4
五、课后培优题:1. 已知 ,则由此为三边的三角形是 三角形.
2. .阅读下列解题过程:已知、、为△ABC的三边.且满足
a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状a2c2-b2c2=a4-b4
解:∵a2c2-b2c2=a4-b4, ①
∴ ②
∴ ③
∴△ABC为直角三角形.
问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号 ;
(2)错误的原因是 ;
(3)本题正确的结论是 。
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课题:16、1勾股定理逆定理 (2) 课型 :新知探究课 姓名:
总课时:第19课时
学习目标:
1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
学习重点:灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
学习难点:灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
一、知识链接:1、勾股定理是已知:_____________________________,结论:_________________。
勾股定理逆定理是已知:______________________,结论:________________________________。
2、应用并注意对比:
(1)、在Rt△ABC中,,如果a=5,b=12,则c的长度是多少?
(2)、在△ABC中,若a=6, b=10, c=8,△ABC是直角三角形吗?
反思:1、在应用勾股定理逆定理时,要注意:________________________________________。
2、像6、8、10这样,能够成为直角三角形三条边长的三个_________,称为__________。例如常见的勾股数有:___________;___________;___________;___________。
二、新知探究:1、自学课本33页例2,尝试做33页练习3。
2、一根30米长的细绳折成3段,围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,请你试判断这个三角形的形状(设哪条边方便列式呢?)。
三、巩固练习:
1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长:(1)3,4,5;(2)5,12,13;(3)8,15,17;(4)4,5,6.其中能构成直角三角形的有( )
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2. 三角形的三边长分别为a2+b2、2ab、a2-b2(a、b都是正整数),则这个三角形是()
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
3.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,那么斜边扩大到原来的( )
A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b2
5.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )
A B C D
6、下列定理中,没有逆定理的是( )
A:两直线平行,内错角相等 B:直角三角形两锐角互余
C:对顶角相等 D:同位角相等,两直线平行
7.如图,小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜,爸爸让小明计算一下土地的面积,以便计算一下产量。小明找了一卷米尺,测得AB=4米,BC=3米,CD=13米,DA=12米,又已知∠B=90。
F
E
A
C
B
D
8. 如图,E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,且AB=4,CE= BC,F为CD的中点,连接AF、AE,问△AEF是什么三角形?请说明理由.
四、当堂检测:
1.一根24米绳子,折成三边为三个连续偶数的三角形,则三边长分别为 ,此三角形的形状为 。
2.小强在操场上向东走80m后,又走了60m,再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后,又走60m的方向是
3. 在ΔABC中,若AB2+BC2=AC2,则∠A+∠C= 0 .
4.如图,在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿,早晨测得它的影长为4米,中午测得它的影长为1米,则A、B、C三点能否构成直角三角形?为什么?
5、如图,在△ABD中,∠A是直角,AB=3,AD=4,BC=12,DC=13,△DBC是直角三角形吗?
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