数学八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理导学案

这是一份数学八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理导学案，共13页。学案主要包含了知识链接，探究新知，巩固练习，当堂检测，课后反思等内容，欢迎下载使用。

课题：16、1勾股定理 (1) 课型 ：新知探究课 姓名：
总课时：第14课时
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：
一、知识链接
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示）
（1）两锐角之间的关系：
（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
二、探究新知：（一）、发现与猜测： 1、操作感知：
（1）、同学们画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
（2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长
发现问题：你是否发现+与，+和的关系，即+ ，+ ，
2、验证自学课本22-23页，思考“探究”，补充下表，你能发现正方形A、B、C的关系吗？
由此我们可以得出什么结论？可猜想：_____________________________________________
命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 。
（二）、勾股定理的证明
1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：
证明：4S△+S小正=
S大正=
根据的等量关系：
由此我们得出： (在练习本上用梯形尝试证明)
2、归纳：勾股定理的内容是： 。
三、巩固练习
A的面积（单位面积）
B的面积（单位面积）
C的面积（单位面积）
图1
图2
1、在Rt△ABC中， ，
（1）如果a=3，b=4，则c=________；
（2）如果a=6，b=8，则c=________；
（3）如果a=5，b=12，则c=________；
(4) 如果a=15，b=20，则c=________.
2、下列说法正确的是（ ）
A.若、、是△ABC的三边，则
B.若、、是Rt△ABC的三边，则
C.若、、是Rt△ABC的三边，， 则
D.若、、是Rt△ABC的三边， ，则
3. 求下列图形的面积
4、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为 。
注意：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形．
四、当堂检测：
1．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=________。

2、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。
3、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为 。
4、已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．
求 ①AD的长；②ΔABC的面积．
课后练习：
1、在Rt△ABC，∠C=90° 例（1）解：由题意得：c2=a2+b2
c2=52+52
c=±
（1）已知a=b=5,求c。 c=±5(舍去负值)
（2）已知a=1,c=2, 求b。 c的值是5
北
南
A
东
第4题图
（3）已知c=17,b=8, 求a。
（4）已知a：b=1：2,c=5, 求a。
（5）已知b=15，∠A=30°，求a，c。
2、已知，AB=17 AC=10,BC边上高AD=8，则BC长为 。
3、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 。
最新人教八年级勾股定理全章导学案
年级：八年级 科目：数学 主备： 大浪淘金123456 审核：教务处
课题：16、1勾股定理 (2) 课型 ：新知探究课 姓名：
总课时：第15课时
学习目标：
1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
学习重点：勾股定理的简单计算。
学习难点：勾股定理的灵活运用。
学习过程：
一、自主学习：1、自学课本第25页。
导学
⑴开通题意，题目在说怎样的情境。
⑵注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。
⑶图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？
⑷指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？
⑸转化为勾股定理的计算，采用多种方法。完成下列解答过程：
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理
AC = + （反思小结：先要确定使用勾股定理的条件，在“Rt△---中”
再用字母表示三边关系，再代入数学进行相关运算）
因为 AC=≈2.236
因此 AC 木板宽，所以木板 从门框内通过
2、练一练：做读本第26页练习1，过程写在下面：3、自学课本25页例2，理解后写在下面：
第2题
二、巩固练习：
1、做做读本第26页练习2
2．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为
3．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
第4题
4．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。
5、在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边， 花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。（自主画图或参考课本29页第10题）
。
6．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。
反思小结：1、当直角三解形有特殊角，如60度，30度，可用两边之间的关系，减少一个未知数，然后用勾股定理构建方程，从而解决问题。
2、应用问题，要注意弄清题意，分析数学关系，确定解题策略。
三、当堂检测
1．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动
2．山坡上两株树木之间的坡面距离是4 米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。
2题图 3题图
3、如图12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
4、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度
四、课后作业
1、△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为
2、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
3、如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地面，
此时，顶部距底部有 m；
第3题
第2题
4、有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，
高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞
向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？

本节课有哪些收获，请写在下面：
最新人教八年级勾股定理全章导学案
年级：八年级 科目：数学 主备： 大浪淘金123456 审核：教务处
课题：16、1勾股定理 (3) 课型 ：新知探究课 姓名：
总课时：第16课时
学习目标：
1．会用勾股定理解决较综合的问题。
2．树立数形结合的思想。
学习重点：勾股定理的综合应用。
学习难点：勾股定理的综合应用。
学习过程：
一、知识链接：1、自主学习课本26页思考，尝试自主把证明过程写在下面：
二、探究新知。（一）、尺规作图表示无理数。
1、自学课本26-27页，思考如何在数轴上表示无理数，并尝试在下列数轴上表示、、-。
2、思考27页图17.1-11，你知道了这些数怎样在数轴上表示了吗？
3、练一练在上面数轴上怎样表示
反思小结：以通过以上练习可知数轴上的点即表示有理数，还可以表示
_____________，所以数轴上的点和________是一一对应的。
（二）、应用勾股定理解决问题
1、例：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD= ，求线段AB的长。
解：∵CD⊥BC于D，∠A=60°
∴∠ACD=30°
∴AC=2AD
在Rt△ADC中
AC2=CD2+AD2
(2AD) 2=()2+ AD2
3 AD2=3
AD=1
∴AC=2AD=2×1=2
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°
∴∠B=30°
AB=2AC=2×2=4
∴线段AB的长是4。
2、练一练：已知：如图，∠B=∠D=90°， 3、做课本27页练习2请写在下面。
∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
解：
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。
三、巩固练习：
1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A
B
C
D
7cm
A
B
C
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第4题图
第4题图
第4题图
第2题图
第1题图
2. 如图所示，在△ABC中，三边a,b,c的大小关系是（ ）
A.a＜b＜c B. c＜a＜b C. c＜b＜a D. b＜a＜c
3．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 .
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______
四、当堂检测：
1、如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2-10的立方根为（ ）
（A）-10 （B） --10
（C） 8 （D） -2
2．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。
3．△ABC中，若∠A=∠B=∠C，AC=10 cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。
4．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC= ，CD⊥AB于D，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ,S△ABC= 。
五、课后反思：
1. 这节课你有哪些收获：
2．需要改进的地方：
最新人教八年级勾股定理全章导学案
年级：八年级 科目：数学 主备： 大浪淘金123456 审核：教务处
课题：16、1勾股定理 (4) 课型 ：练习课 姓名：
总课时：第17课时
A
B
C
a
b
c
一：复习勾股定理，体会其应用中的“分类思想”
题组一：
1.勾股定理: 如果直角三角形的两直角边
分别为a,b,斜边为c,则有______________.
2.已知:直角三角形的三边长分别是3, 4, X,则X = ______.
3. 已知，△ABC中,AB =10,AC =17,BC边上的高线AD = 8 ,
则BC的长为__________.
4.小结反思：分类思想
（1）.直角三角形中，已知两边长且不明确是直角边还是斜边时（如一、2），应分类讨论
（2）当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图（如一、3），避免遗漏另一种情况。
3.方程思想（规律）
直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程.
二：利用“转化思想”,解决实际问题.
题组二：
２
3
2
3
2
3
Ｂ
Ｃ
２０
Ａ
1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20 dm、3 dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
3
2
B
A
20
B
A
C
15
5
2、如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
3.反思小结。转化思想
（1）.几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面转化为平面
（2）.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解
三、当堂检测：
1. 有一个长方体盒子，它的长是70cm，宽和高都是50cm．在A点处有一只蚂蚁，它想吃到B点处的食物．，那么它爬行的最短路程是多少
2．如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行多少cm？
四、自主练习，完成课本29页相应练习
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年级：八年级 科目：数学 主备： 大浪淘金123456 审核：教务处
课题：16、1勾股定理逆定理 (1) 课型 ：新知探究课 姓名：
总课时：第18课时
学习目标：
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
学习难点：勾股定理的逆定理的证明。
一、知识链接：1、你还记得勾股定理吗？请写在下面（第23页）：命题1：_____________
_______________________________________________________________________________
二、自主探究：自学课本31页， 1、思考：怎样判定一个三角形是直角三角形？
2、操作：下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c
5、12、13 7、24、25 8、15、17
（1）这三组数满足吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
3、猜测：猜想命题2：如果三角形的三边长、、，满足，那么这个三角形是 三角形
问题二：命题1：
命题2：
命题1和命题2的 和 正好相反，把像这样的两个命题叫做 命题，如果把其中一个叫做 ，那么另一个叫做
4、证明：自学课本31-32，看看书中是怎样证明这个命题的，请写在下面：
5、勾股定理逆定理： __________
三、练习巩固：1、判断由线段、、组成的三角形是不是直角三角形，若是并判断哪个角是直角。
（1）、a=5， b=12， c=13；（2）、a=6， b=10， c=8；（3）、a=5， b=7， c=9；
2、做课本33页练习1、2、写在下面：
3、 已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，， （n＞1）
求证：∠C=90°。
四、当堂检测：1、任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。
2、“两直线平行，同位角相等。”的逆定理是 。
3、一个三角形的三边之比为3；4：5，这个三角形的形状是__________.
4、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是__________.
5、适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为( )
①②∠A=450;③∠A=320, ∠B=580;④
A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.
6、三角形的三边长的关系为,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
7．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
8．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a= ，b= ，c= D．a：b：c=2：3：4
五、课后培优题：1. 已知 ,则由此为三边的三角形是 三角形.
2. .阅读下列解题过程：已知、、为△ABC的三边．且满足
a2c2-b2c2=a4-b4，试判断△ABC的形状a2c2-b2c2=a4-b4
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4， ①
∴ ②
∴ ③
∴△ABC为直角三角形.
问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号 ；
(2)错误的原因是 ；
(3)本题正确的结论是 。
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年级：八年级 科目：数学 主备： 大浪淘金123456 审核：教务处
课题：16、1勾股定理逆定理 (2) 课型 ：新知探究课 姓名：
总课时：第19课时
学习目标：
1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
学习重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
学习难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
一、知识链接：1、勾股定理是已知：_____________________________，结论：_________________。
勾股定理逆定理是已知：______________________，结论：________________________________。
2、应用并注意对比：
（1）、在Rt△ABC中，，如果a=5，b=12，则c的长度是多少？
（2）、在△ABC中，若a=6， b=10， c=8，△ABC是直角三角形吗？
反思：1、在应用勾股定理逆定理时，要注意：________________________________________。
2、像6、8、10这样，能够成为直角三角形三条边长的三个_________，称为__________。例如常见的勾股数有：___________；___________；___________；___________。
二、新知探究：1、自学课本33页例2，尝试做33页练习3。
2、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状（设哪条边方便列式呢？）。

三、巩固练习：
1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2. 三角形的三边长分别为a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b2
5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

A B C D
6、下列定理中,没有逆定理的是（ ）
A：两直线平行，内错角相等 B：直角三角形两锐角互余
C：对顶角相等 D：同位角相等，两直线平行
7．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90。


F
E
A
C
B
D
8. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
四、当堂检测：
1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。
2．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是
3. 在ΔABC中,若AB2+BC2=AC2,则∠A+∠C= 0 .
4．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
5、如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，△DBC是直角三角形吗？