考点02 圆周运动的动力学问题（解析版）—高中物理

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1．匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(2)大小
Fn＝an＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝meq \f(4π2,T2)r＝m42f 2r＝m42n 2r＝mωv.
(3)方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
2．离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
(2)受力特点(如图)
①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动．
②当0③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力．
3．匀速圆周运动与变速圆周运动中合力、向心力的特点
(1)匀速圆周运动的合力：提供向心力．
(2)变速圆周运动的合力(如图)
①与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动．更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 ②指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的方向．
1．向心力来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以由重力、弹力、摩擦力等各种力提供，也可以是几个力的合力或某个力的分力提供，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．匀速圆周运动中向心力来源
3.变速圆周运动中向心力来源
如图所示，当小球在竖直面内摆动时，沿半径方向的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcs θ＝meq \f(v2,R)，如图所示．
4．圆周运动中动力学问题的分析思路
典例1(圆周运动的动力学问题)(2023·陕西省·质检)如图所示，长为L的轻质硬杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴上，现让杆绕转轴O在竖直平面内匀速转动，转动的角速度为ω，某时刻杆对球的作用力水平向左，则此时杆与水平面的夹角θ为( )
A．sin θ＝eq \f(ω2L,g) B．sin θ＝eq \f(g,ω2L)
C．tan θ＝eq \f(ω2L,g) D．tan θ＝eq \f(g,ω2L)
答案 B
解析 小球所受重力和杆的作用力的合力提供向心力，受力如图所示
根据牛顿第二定律有：eq \f(mg,sin θ)＝mLω2，解得：sin θ＝eq \f(g,ω2L)，故选B.
典例2(圆锥摆模型)(2023·辽宁省六校联考)四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动．如图甲所示，小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动(连接B球的绳较长)；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相等(连接D球的绳较长)，则下列说法错误的是( )
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相等
C．小球C、D所需的向心加速度大小相等
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
答案 B
解析 对题图甲中A、B分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，小球的质量为m，小球A、B到悬点O的竖直距离为h，则mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝eq \r(\f(g,lcs θ))＝eq \r(\f(g,h))，所以小球A、B的角速度相等，线速度大小不相等，故A正确，B错误；对题图乙中C、D分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳上拉力为FT，则有mgtan θ＝man，FTcs θ＝mg，得an＝gtan θ，FT＝eq \f(mg,cs θ)，所以小球C、D所需的向心加速度大小相等，小球C、D受到绳的拉力大小也相等，故C、D正确．
典例3(生活中的圆周运动)列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用
B．列车过转弯处的速度v＝eq \r(\f(gRh,d))时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨
C．列车过转弯处的速度vD．若减小α角，可提高列车安全过转弯处的速度
答案 B
解析 列车以规定速度转弯时受到重力、支持力的作用，重力和支持力的合力提供向心力，A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，有meq \f(v2,R)＝mgtan α＝mgeq \f(h,d)，解得v＝eq \r(\f(gRh,d))，故当列车过转弯处的速度v＝eq \r(\f(gRh,d))时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确；列车过转弯处的速度v1.如图所示，汽车正在水平路面上沿圆轨道匀速率转弯，且没有发生侧滑．下列说法正确的是( )
A．汽车转弯时由车轮和路面间的静摩擦力提供向心力
B．汽车转弯时由汽车受到的重力与支持力的合力提供向心力
C．汽车转弯时由车轮和路面间的滑动摩擦力提供向心力
D．汽车转弯半径不变，速度减小时，汽车受到的静摩擦力可能不变
答案 A
解析 汽车转弯时靠静摩擦力提供向心力，故A正确，B、C错误；根据Ff＝Fn＝meq \f(v2,R)知，半径不变，速度减小时，向心力减小，则汽车受到的静摩擦力减小，故D错误．
2．两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是( )
答案 B
解析 小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，则有mgtan θ＝mω2Lsin θ，整理得：Lcs θ＝eq \f(g,ω2)，则两球处于同一高度，故B正确．
3．(2023·钦州·期末)一个小球做匀速圆周运动，圆周半径r＝0.5 m，小球质量为m＝
0.2 kg，角速度大小为ω＝4 rad/s，则小球所受向心力F大小为( )
A．2.5 N B．1.6 N
C．0.5 N D．0.4 N
答案 B
解析 小球所受向心力F＝mω2r＝0.2×42×0.5 N＝1.6 N，故选B.
4.(2020·全国卷Ⅰ·16)如图，一同学表演荡秋千．已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg.绳的质量忽略不计．当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
答案 B
解析 取该同学与踏板为研究对象，到达最低点时，受力如图所示，设每根绳子中的平均拉力大小为F.
由牛顿第二定律知：2F－mg＝eq \f(mv2,r)，取g＝9.8 m/s2，代入数据得F＝405 N，故每根绳子平均承受的拉力约为405 N，选项B正确．
5.质量为m的小球用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方eq \f(L,2)处有一光滑小钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间(瞬时速度不变)，细线没有断裂，则下列说法正确的是( )
A．小球的线速度突然增大
B．小球的角速度突然减小
C．小球对细线的拉力突然增大
D．小球对细线的拉力保持不变
答案 C
解析 根据题意，细线碰到钉子的瞬间，小球的瞬时速度v不变，但其做圆周运动的半径从L突变为eq \f(L,2)，由ω＝eq \f(v,r)可知小球的角速度突然增大，选项A、B错误；根据FT－mg＝meq \f(v2,r)可知小球受到的拉力增大，由牛顿第三定律知，选项C正确，D错误．
6.(多选)(2022·甘肃·模拟)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则( )
A．该弯道的半径r＝eq \f(v2,gtan θ)
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
答案 ABD
解析 火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mgtan θ＝meq \f(v2,r)，解得：r＝eq \f(v2,gtan θ)，故A正确；根据牛顿第二定律得：mgtan θ＝meq \f(v2,r)，解得：v＝eq \r(grtan θ)，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确．
7．(2023·广东惠州市调研)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球Q，细线穿过小孔(小孔光滑)另一端连接在金属块P上，P始终静止在水平桌面上，若不计空气阻力，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．实际上，小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用．因阻力作用，小球Q的运动轨迹发生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动)．下列判断正确的是( )
A．小球Q的位置越来越高
B．细线的拉力减小
C．小球Q运动的角速度增大
D．金属块P受到桌面的静摩擦力增大
答案 B
解析 由于小球受到空气阻力作用，线速度减小，则所需要的向心力减小，小球做近心运动，小球的位置越来越低，故A项错误；设小孔下面细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L，当小球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图所示，则有FT＝eq \f(mg,cs θ)，mgtan θ＝meq \f(v2,Lsin θ)＝mω2Lsin θ，解得ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))，由于小球受到空气阻力作用，线速度减小，θ减小，cs θ增大，因此细线的拉力FT减小，角速度ω减小，故B项正确，C项错误；对金属块P，由平衡条件知，P受到桌面的静摩擦力大小等于细线的拉力大小，则静摩擦力减小，故D项错误．
8.如图所示为室内场地自行车赛的比赛情景，运动员以速度v在倾角为θ的粗糙倾斜赛道上做匀速圆周运动．已知运动员质量为m，圆周运动的半径为R，重力加速度为g，将运动员视为质点．则运动员( )
A．所受合力方向沿赛道面向下
B．所受自行车的作用力方向竖直向上
C．合力大小为meq \f(v2,R)
D．速度不能超过eq \r(gRtan θ)
答案 C
解析 运动员和自行车组成的整体受重力、支持力、摩擦力作用，靠合力提供向心力，合力的方向始终指向圆心，A错误；运动员所受重力、支持力的合力提供其做圆周运动的向心力，故自行车对运动员的作用力应斜向左上方，B错误；运动员所受的合力提供运动员做圆周运动的向心力，根据向心力公式可得F向＝meq \f(v2,R)，C正确；以运动员和自行车整体为研究对象，受到的重力和赛道的支持力的合力提供向心力时，向心力为F向＝m总eq \f(v2,R)＝m总gtan θ，解得v＝eq \r(gRtan θ)，当运动员和自行车的速度略大于eq \r(gRtan θ)时，整体会受到赛道的沿着赛道面向下的摩擦力，仍能做匀速圆周运动，D错误．
9．(2023·河北张家口市模拟)如图所示，O为半球形容器的球心，半球形容器绕通过O的竖直轴以角速度ω匀速转动，放在容器内的两个质量相等的小物块a和b相对容器静止，b与容器壁间恰好没有摩擦力的作用．已知a和O、b和O的连线与竖直方向的夹角分别为60°和30°，则下列说法正确的是( )
A．小物块a和b做圆周运动所需的向心力大小之比为eq \r(3)∶1
B．小物块a和b对容器壁的压力大小之比为eq \r(3)∶1
C．小物块a与容器壁之间无摩擦力
D．容器壁对小物块a的摩擦力方向沿器壁切线向下
答案 A
解析 a、b角速度相等，向心力大小可表示为F＝mω2Rsin α，所以a、b所需向心力大小之比为sin 60°∶sin 30°＝eq \r(3)∶1，A正确；对b分析可得mgtan 30°＝mω2Rsin 30°，结合对b分析结果，对a分析有mω2Rsin 60°10.如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．a、b 两小球都是所受合外力充当向心力
B．a、b两小球圆周运动的半径之比为tan θ
C．b小球受到的绳子拉力为eq \f(mg,cs θ)
D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为eq \f(mg,sin θ)
答案 C
解析 小球a速度变化，只有在最低点时所受合外力充当向心力，而小球b做匀速圆周运动，所受合外力充当向心力，故A错误；由几何关系可知，a、b两小球圆周运动的半径之比为eq \f(1,sin θ)，故B错误；根据矢量三角形可得Fbcs θ＝mg，即Fb＝eq \f(mg,cs θ)，故C正确；a小球到达最高点时速度为零，将重力正交分解有Fa＝mgcs θ，故D错误．
11.(2023·浙江·模拟)质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是( )
A.秋千对小明的作用力小于mg
B.秋千对小明的作用力大于mg
C.小明的速度为零，所受合力为零
D.小明的加速度为零，所受合力为零
答案 A
解析 设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，沿摆绳方向，对小明受力分析，有F－mgcs θ＝meq \f(v2,l)，因最高点时小明的速度为0，则F＝mgcs θ12.(多选)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)．设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则( )
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m2∶m1
D．球A、B到P的距离之比等于m1∶m2
答案 AC
解析 对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力FT，设绳与竖直方向的夹角为θ，重力与拉力的合力提供向心力，设该小球到P的距离为l，则有mgtan θ＝meq \f(4π2,T2)lsin θ，解得周期为T＝2πeq \r(\f(lcs θ,g))＝2πeq \r(\f(h,g))，因为任意时刻两球均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，选项A正确；连接两球的绳的拉力FT相等，由于向心力为Fn＝FTsin θ＝mω2lsin θ，故m与l成反比，即eq \f(l1,l2)＝eq \f(m2,m1)，又小球的向心加速度a＝ω2htan θ＝(eq \f(2π,T))2htan θ，故向心加速度大小不相等，选项C正确，B、D错误．
13.(多选)(2021·河北卷·9)如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时( )
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
答案 BD
解析 对小球受力分析，设弹簧弹力为FT，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向有FTsin θ＝mg，而FT＝k( EQ \F(MP,cs θ) -l0),可知θ为定值，FT不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；水平方向当转速较小，杆对小球的弹力FN背离转轴时，则FTcs θ－FN＝mω2r,即FN＝FTcs θ－mω2r,当转速较大，FN指向转轴时，则FTcs θ＋FN′＝mω′2r,即FN′＝mω′2r－FTcs θ,因ω′>ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大，C错误；根据F合＝mω2r可知，因角速度变大，则小球所受合外力变大，D正确．运动模型
向心力的来源图示
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
圆锥摆
飞车走壁
飞机水平转弯
火车转弯