考点03 小船渡河模型（解析版）—高中物理

这是一份考点03 小船渡河模型（解析版）—高中物理，共10页。


两类问题，三种情景
1.要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v船>v水时.
2.要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直.
3.要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是发动机(或划行)产生的分速度，后者是合速度.
典例1(渡河时间、位移问题)已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，
(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少；
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若水流速度为v2′＝6 m/s，船在静水中的速度为v1＝5 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
答案 (1)20 s 20eq \r(34) m (2)25 s (3)不能
解析 (1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时间为t＝eq \f(d,v1)＝eq \f(100,5) s＝20 s.
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船的位移为l＝eq \r(d2＋x2)，由题意可得x＝v2t＝3×20 m＝60 m，代入得l＝20eq \r(34) m.
(2)当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝5 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cs θ＝v2，cs θ＝eq \f(v2,v1)＝0.6，则sin θ＝eq \r(1－cs2 θ)＝0.8，船的实际速度v＝v1sin θ＝5×0.8 m/s＝4 m/s，所用的时间为t＝eq \f(d,v)＝eq \f(100,4) s＝25 s.
(3)当水流速度v2′＝6 m/s时，则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5 m/s，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.
典例2(渡河中最小速度问题)如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟，若采取冲锋舟最小速度和最短时间两种方案，沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，则两种方案中冲锋舟最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2之比为( )
A．1∶2 B．1∶eq \r(3) C．2∶eq \r(3) D.eq \r(3)∶2
答案 D
解析 设冲锋舟以最小速度v1和最短时间的冲锋舟速度v2分别从A运动到B，冲锋舟最小速度v1垂直于AB连线，且v1＝vsin 30° ，最短时间的冲锋舟速度v2垂直于平直河岸，且v2＝vtan 30°，可知eq \f(v1,v2)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2)，故选项D正确．
1.(2023·南通市·期末)如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸．若水流速度减小，为保持航线不变，下列措施与结论正确的是( )
A．减小船速，过河时间变长B．减小船速，过河时间不变
C．增大船速，过河时间不变D．增大船速，过河时间缩短
答案 A
解析 船头始终垂直于河岸，河宽一定，若水流速度减小，为保持航线不变，根据运动的合成，船的速度必须减小，再根据t＝eq \f(d,v船)，可知渡河的时间变长，故选A.
2．(多选)小船在静水中的速度为4 m/s，河宽为200 m，水流速度为3 m/s，下列说法正确的是( )
A．小船过河的最短时间为50 s
B．小船以最短时间过河，其位移为200 m
C．船头垂直河岸过河，水速越大，过河时间越长
D．小船过河的实际速度可以垂直于河岸
答案 AD
解析 当船头垂直河岸时，船沿着垂直于河岸方向的分速度最大，此时过河的时间最短，且与水速无关，为t＝eq \f(d,v船)＝50 s，故A正确，C错误；小船以最短时间过河，其位移为x＝eq \r(v船t2＋v水t2)＝250 m，故B错误；因为静水船速大于水流速度，则合速度方向可能垂直于河岸，即小船过河的实际速度可以垂直于河岸，故D正确．
3．(2021·济南市高一期末)小船横渡一条河，船头方向始终与河岸垂直．若小船相对水的速度大小不变时，小船的运动轨迹如图所示，则( )
A．由M到N水流速度一直增大
B．由M到N水流速度一直减小
C．由M到N水流速度先增大后减小
D．由M到N水流速度先减小后增大
答案 B
解析 从轨迹曲线的弯曲形状可知，加速度的方向水平向左，知由M到N水流速度减小，即越靠近对岸水速越小．故选B.
4．如图是某船采用甲、乙、丙三种过河方式的示意图(河宽相同)．船在静水中的速度v0不变，河中各处的水流速度v1不变，图中小船尖端指向为船头方向．下列判断正确的是( )
A．由甲图可判断出v0B．乙图过河方式过河时间最短
C．丙图过河方式过河速度最小
D．甲、丙图过河方式过河时间不可能相同
答案 B
解析 设题图甲中的小船船头方向与上游成θ角，由于合速度垂直河岸，故有v0cs θ＝v1，解得v0>v1，选项A错误；当船头垂直河岸过河时，其过河时间最短，B正确；由于题图丙中的小船船头指向与水速成锐角，其合速度是这三种情况中最大的，故C错误；若题图甲、丙中的船头方向与垂直河岸方向的夹角相等(船沿垂直河岸方向的分速度相同)，则它们过河时间就相同，故D错误．
5．(多选)(2022·张家口市高一期末)在一次渡河的实战演练中，指挥部要求红、蓝两个连队按不同的要求渡过一条宽200 m的河道，假设河中水流是均匀的，水的流动速度为3 m/s，战士用的渡船在静水中的速度为5 m/s，现要求红队以最短时间到达对岸，蓝队到达正对岸，忽略船启动及减速的时间，下列说法中正确的是( )
A．蓝队要到达正对岸应使船头方向朝着正对岸划船
B．红队要以最短时间到达对岸应使船头朝着正对岸划船
C．蓝队完成任务到达对岸用时40 s
D．红队完成任务到达对岸的最短时间为40 s
答案 BD
解析 蓝队要到达正对岸，则合速度方向应该指向正对岸，则应使船头方向朝着对岸偏上游方向划船，选项A错误；红队要以最短时间到达对岸，则船头应该指向正对岸，即应使船头朝着正对岸划船，选项B正确；蓝队完成任务到达对岸用时t1＝eq \f(d,v合)＝eq \f(d,\r(v船2－v水2))＝eq \f(200,\r(52－32)) s＝50 s，选项C错误；红队完成任务到达对岸的最短时间为t2＝eq \f(d,v船)＝eq \f(200,5) s＝40 s，选项D正确．
6.如图所示为一条河流，河水流速为v，一只船从A点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为v静，第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为l1；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为l2，若AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则( )
A．t1＞t2，l1＜l2 B．t1＜t2，l1＞l2
C．t1＝t2，l1＜l2 D．t1＝t2，l1＞l2
答案 D
解析 因为AB、AC与河岸垂线方向的夹角相等，则船在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河时间t＝eq \f(d,v静⊥)，所以两次渡河时间相等．设AB、AC与河岸的夹角为θ，船头向着AB方向行驶时，沿河岸方向v1＝v静cs θ＋v，船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向v2＝|v－v静cs θ|＜v1，则沿河岸方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，l1＞l2，故D正确，A、B、C错误．
7.如图所示，一条小船位于200 m宽的河中央A点处，离A点距离为100eq \r(3) m的下游处有一危险的急流区，当时水流速度为4 m/s，为使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静止水中的速度至少为( )
A.eq \f(4\r(3),3) m/s B.eq \f(8\r(3),3) m/s C.2 m/s D.4 m/s
答案 C
解析 小船刚好避开危险区域时，小船合运动方向与水流方向的夹角设为θ，则tan θ＝eq \f(100,100\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，则θ＝30°，当船头垂直合运动方向渡河时，小船在静水中的速度最小，在静水中的最小速度vmin＝v水sin 30°＝2 m/s，C正确.
8.某次抗洪抢险中，必须用小船将物资送至河流对岸．如图所示，A处的下游靠河岸处有个旋涡，A点和旋涡的连线与河岸的最大夹角为30°，若河流中水流的速度大小恒为2 m/s，为使小船从A点以恒定的速度安全到达对岸，则小船在静水中航行时速度的最小值为( )
A．0.5 m/s B．1 m/s C．2 m/s D．4 m/s
答案 B
解析 如图所示，当小船在静水中的速度v2与其在河流中的速度v垂直时，小船在静水中的速度v2最小，则最小值为v1sin 30°＝1 m/s，A、C、D错误，B正确．
9．一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是( )
A．船渡河的最短时间是25 s
B．船运动的轨迹可能是直线
C．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s2
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
答案 C
解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t＝eq \f(100,5) s＝20 s，故A错误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，故B错误；船在最短时间内渡河，则船运动到河的中央时所用时间为10 s，水的流速在x＝0到x＝50 m之间均匀增加，则a1＝eq \f(4－0,10) m/s2＝0.4 m/s2，同理x＝50 m到x＝100 m之间a2＝eq \f(0－4,10) m/s2＝－0.4 m/s2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s2，故C正确；船在河水中的最大速度为v＝eq \r(52＋42) m/s＝eq \r(41) m/s，故D错误．
10．(2022·遂宁市绿然国际学校高一月考)一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.
(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
(1)若船在静水中的速度为v2＝5 m/s.
①欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
②欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
(2)若船在静水中的速度v2′＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移大小是多少？
答案 (1)①船头应朝垂直河岸方向 36 s 90eq \r(5) m ②船头与上游河岸成60°角 24eq \r(3) s 180 m
(2)船头应朝上游与河岸成53°角方向 150 s 300 m
解析 (1)若v2＝5 m/s，船速大于水速．欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向；当船头垂直河岸时，如图所示
tmin＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s
v合＝eq \r(v12＋v22)＝eq \f(5,2)eq \r(5) m/s
x1＝v合tmin＝90eq \r(5) m
②欲使船渡河航程最短，合速度应沿垂直河岸方向，如图所示
有v2sin α＝v1
得α＝30°
所以当船头与上游河岸夹角为60°时航程最短
x2＝d＝180 m
t＝eq \f(d,v合′)＝eq \f(d,v2cs 30°)＝24eq \r(3) s
(2)若v2′＝1.5 m/s，船速小于水速，所以船一定向下游漂移，设合速度方向与河岸下游方向夹角为θ，则航程x3＝eq \f(d,sin θ)
欲使航程最短，需使θ最大，如图丙所示，以v1矢量末端为圆心，v2′大小为半径作圆，出发点与圆周上某点的连线即为合速度方向，欲使v合″与水平方向夹角最大，应使v合″与圆相切，即v合″⊥v2′
sin θ＝eq \f(v2′,v1)＝eq \f(3,5)
得θ＝37°
所以船头应朝上游与河岸夹角为53°方向
t′＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2′cs 37°)＝150 s
v合″＝v1cs 37°＝2 m/s
x3＝eq \f(d,sin 37°)＝300 m.
11.(2022·辽阳市高一期末)2021年7月，河南中北部出现暴雨，部分地区出现特大暴雨，国家防总启动防汛Ⅲ级应急响应，举国驰援战洪灾，尤其解放军和武警部队奋战在救援第一线．救援人员发现一被困在车顶的人员，车不动但周围的水在流动，水流方向与安全区域平行，如图所示，已知车离安全区域最近的距离d＝20 m，救援人员乘皮筏从安全区域边缘去救援，皮筏相对静水的速度大小v1＝1 m/s，水流速度大小v2＝2 m/s，皮筏和车均视为质点，求：
(1)皮筏运动到车旁的最短时间t；
(2)在(1)中皮筏运动的位移大小x.
答案 (1)20 s (2)20eq \r(5) m
解析 (1)皮筏方向垂直于水流方向时时间最短，t＝eq \f(d,v1)
解得t＝20 s.
(2)由题意知皮筏垂直水流方向的位移大小x1＝d＝20 m
沿水流方向的位移大小x2＝v2t
解得x2＝40 m
由几何关系知x＝eq \r(x12＋x22)
解得x＝20eq \r(5) m.
12.如图所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A点出发，若船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点.求：
(1)小船在静水中的速度v1的大小；
(2)河水的流速v2的大小；
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD.
答案 (1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m
解析 (1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d，
故有v1＝eq \f(d,tmin)＝eq \f(120,60×8) m/s＝0.25 m/s.
(2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cs α，此时渡河时间为t＝eq \f(d,v1sin α)，所以sin α＝eq \f(d,v1t)＝0.8，故v2＝v1cs α＝0.15 m/s.
(3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m.
13.如图所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动，拉弓放箭射向他左侧的固定目标．假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道到固定目标的最近距离OA＝d.若不计空气阻力的影响，要想命中目标(靶心)且射出的箭在空中飞行时间最短(不考虑箭的竖直运动)，则( )
A．运动员放箭处到目标的距离为eq \f(v1,v2)d
B．运动员放箭处到目标的距离为eq \f(\r(v12＋v22),v2)d
C．箭射到靶的最短时间为eq \f(d,\r(v12＋v22))
D．箭射到靶的最短时间为eq \f(d,\r(v22－v12))
答案 B
解析 要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则运动员射出的箭速度v2的方向与OA线段平行，运动员骑马奔驰的速度v1和运动员相对静止时射出的箭速度v2的合速度v3的方向指向固定目标(如图所示)，箭射到靶的最短时间为eq \f(d,v2)，运动员放箭处到目标的距离为l＝eq \r(v12＋v22)t＝eq \f(\r(v12＋v22),v2)d，故选B.
14.(多选)(2023·广东茂名市高三检测)如图所示，小船从河岸的O点沿虚线运动，匀速运动到河对岸的P点，河水的流速v水、船在静水中的速度v静与虚线的夹角分别为α、θ，河宽为L，且v静、v水的大小不变，下列说法正确的是( )
A．渡河时间t＝eq \f(L,v静)
B．渡河时间t＝eq \f(L,v静sinθ＋α)
C．v水越小，渡河时间越短
D．当α＋θ＝90°时，渡河的时间最短
答案 BD
解析 根据速度的合成与分解及数学知识可知，渡河时间t＝eq \f(L,v静sinα＋θ)，与v水无关，选项A、C错误，B正确；当α＋θ＝90°时，渡河时间最短，为tmin＝eq \f(L,v静)，选项D正确．
15.(多选)(2023·福建龙岩市才溪中学月考)如图所示，河的宽度为L，河水流速为u，甲、乙两船均以在静水中的速度v同时渡河．出发时两船相距2L，甲、乙两船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A点．则下列判断正确的是( )
A．甲船在A点右侧靠岸
B．甲船在A点左侧靠岸
C．甲、乙两船到达对岸的时间相等
D．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇
答案 BC
解析 依题意，乙船恰好能直达正对岸的A点，根据速度合成与分解可知v＝2u，将甲、乙两船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，知甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河的时间均为t＝eq \f(L,vsin 60°)，可得甲船沿河岸方向上的位移为x＝(u＋vcs 60°)t＝eq \f(2\r(3),3)L<2L，即甲船在A点左侧靠岸，显然甲、乙两船不可能在未到达对岸前相遇，故B、C正确，A、D错误．渡河
时间
(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关；
(2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝eq \f(d,v船)(d为河宽)
渡河
位移
若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，且xmin＝d
若v船