2.4圆的方程讲义 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三节 圆的方程【建议课时】1【学习目标】根据定义结合两点间距离公式能够推导圆的标准方程；理解一般方程中的条件要求；由点与圆的位置关系体会简单的线性规划问题.【知识点梳理】1．圆的定义及方程2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.【知识点点睛】方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，对其进行配方转化得：，观察等式，并结合不同曲线定义可得：①当D2＋E2－4F＞0，该方程表示圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径：eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)的圆； ②当D2＋E2－4F=0，该方程表示点：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))； ③当D2＋E2－4F0，该曲线不存在.例如设a∈R，则“a＞1”是“方程x2＋2ax＋y2＋1＝0的曲线是圆”的(　　)A．充分不必要条件　　　　 　B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件因为方程是圆，所以可转化为(x＋a)2＋y2＝a2－1，即a2－1＞0，解得a＞1或a＜－1.所以当“a＞1”时，有a2－1＞0，得曲线方程是圆的方程；当曲线方程是圆的方程时，有a＞1或a＜－1，不一定得到a＞1.所以是充分不必要条件．所以答案是A2、点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系可利用两点间的距离公式理解：设圆心为(a，b)，若M(x0，y0)在圆内，则，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.例如若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，求实数a的取值范围.因为点在圆内，所以(2a)2＋(a＋1－1)2＜5，解得－1＜a＜1.故实数a的取值范围是(－1,1)．题型一 圆的方程例1（1）已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，点M(－2,0)是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是(　　)A．x＋2＝0或7x－24y＋14＝0B．y＋2＝0或7x＋24y＋14＝0C．x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0D．y＋2＝0或7x－24y＋14＝0答案 C解析：　⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝16，故圆心是(2,3)，半径是4，点M(－2,0)是⊙C外一点，显然直线x＋2＝0是过点M的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P(a，b)，则直线MP的斜率是eq \f(b,a＋2)，直线MP的方程是bx－(a＋2)y＋2b＝0，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3－b,2－a)·\f(b,a＋2)＝－1，,\f(|2b－3a＋2＋2b|,\r(b2＋a＋22))＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(22,25)，,b＝－\f(21,25).))故切线方程是7x＋24y＋14＝0，故选C.（2）已知AB为圆C：x2＋y2－2y＝0的直径，点P为直线y＝x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________．答案：6解析：圆C：x2＋y2－2y＝0，转化为x2＋(y－1)2＝1，则圆心(0,1)到直线y＝x－1的距离d＝eq \f(|－1－1|,\r(2))＝eq \r(2)，由于AB为圆的直径，则点A到直线的最小距离为eq \r(2)－1，此时点B到直线的距离为eq \r(2)＋1，|PA|2＋|PB|2＝(eq \r(2)－1)2＋(eq \r(2)＋1)2＝6，即|PA|2＋|PB|2的最小值为6.（3）已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为1：2，则圆C的标准方程为________．解析：∵圆C关于y轴对称，∴可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2，依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(12＋－b2＝r2，,|b|＝\f(1,2)r，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r2＝\f(4,3)，,b＝±\f(\r(3),3)，))∴圆C的标准方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3).答案：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)【思维点睛】1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．注意 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．【变式训练】1．在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)A．x2＋(y－1)2＝4　　　　 　B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16答案B解析：　法一：由题意可得圆心(0,1)到直线x－by＋2b＋1＝0的距离d＝eq \f(|1＋b|,\r(1＋b2))＝eq \r(\f(1＋b2,1＋b2))＝eq \r(1＋\f(2b,1＋b2))≤eq \r(1＋\f(2|b|,1＋b2))≤eq \r(2)，当且仅当b＝1时取等号，所以半径最大的圆的半径r＝eq \r(2)，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.法二：易知直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1,2)，如图，当圆M与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大，为eq \r(2)，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B.2、若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1＝0对称，则圆心C的坐标为________；圆C的一般方程是________．答案：(1,2)　x2＋y2－2x－4y＋4＝0解析：已知圆x2＋y2＋2x＝0的圆心坐标是(－1,0)、半径是1，设圆C的圆心(a，b)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(b,a＋1)＝1，,\f(a－1,2)＋\f(b,2)－1＝0，))由此解得a＝1，b＝2，即圆心C的坐标为(1,2)，因此圆C的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.3、已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案：(－2，－4)　5解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋eq \f(5,2)＝0，配方得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝－eq \f(5,4)＜0，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.题型二 与圆有关的最值问题命题点一：斜率型最值问题例2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求eq \f(y,x)的最大值和最小值．解：eq \f(y,x)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，eq \f(y,x)的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq \f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋eq \f(2\r(3),3)或k＝－2－eq \f(2\r(3),3).∴eq \f(y,x)的最大值为－2＋eq \f(2\r(3),3)，最小值为－2－eq \f(2\r(3),3).命题点二：截距型最值问题例3、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．解：设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的在y轴上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的在y轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq \f(|2＋－3－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq \r(2)－1或t＝－eq \r(2)－1.∴x＋y的最大值为eq \r(2)－1，最小值为－eq \r(2)－1.命题点三：距离型最值问题例4、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．解：eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq \r(x＋12＋y－22)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为eq \r(34)，∴eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值为eq \r(34)＋1，最小值为eq \r(34)－1.【思维点睛】与圆有关的最值问题的3种常见转化方法(1)形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【变式训练】1．圆心在曲线y＝eq \f(2,x)(x＞0)上，与直线2x＋y＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为(　　)A．(x－2)2＋(y－1)2＝25　　 　B．(x－2)2＋(y－1)2＝5C．(x－1)2＋(y－2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5答案 D解析：　设圆心坐标为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2,a)))(a＞0)，则半径r＝eq \f(2a＋\f(2,a)＋1,\r(5))≥eq \f(2 \r(2a×\f(2,a))＋1,\r(5))＝eq \r(5)，当且仅当2a＝eq \f(2,a)，即a＝1时取等号．所以当a＝1时圆的半径最小，此时r＝eq \r(5)，C(1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.2、过动点P作圆：(x－3)2＋(y－4)2＝1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|＝|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是________．答案：eq \f(12,5)解析：根据题意，设P的坐标为(m，n)，圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为N，则N(3,4)．PQ为圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的切线，则有|PN|2＝|PQ|2＋|NQ|2＝|PQ|2＋1，又|PQ|＝|PO|，则有|PN|2＝|PO|2＋1，即(m－3)2＋(n－4)2＝m2＋n2＋1，变形可得3m＋4n＝12，即P在直线3x＋4y＝12上，则|PQ|的最小值即为点O到直线3x＋4y＝12的距离d＝eq \f(|3×0＋4×0－12|,\r(32＋42))＝eq \f(12,5)，即|PQ|的最小值是eq \f(12,5).题型三 与圆有关的轨迹问题例5、已知A(2,0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.【思维点睛】与圆有关的轨迹问题的4种求法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【变式训练】1、已知Rt△ABC中，A(0,0)，B(6,0)，求直角顶点C的轨迹方程．解：法一：依题意，顶点C的轨迹是以AB为直径的圆，且去掉端点A，B，则圆心坐标为(3,0)，半径为3，故直角顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝9(y≠0)．法二：设顶点C的坐标为(x，y)，由于AC⊥BC，故kAC·kBC＝－1，∴eq \f(y,x)·eq \f(y,x－6)＝－1，∴x2＋y2－6x＝0，即直角顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝9(y≠0)．课后练习1．方程y＝eq \r(1－x2)表示的曲线是(　　)A．上半圆　　　　　　　 　B．下半圆C．圆 D．抛物线解析：选A　由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．2．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析：选A　已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.3．已知两条直线l1：x－eq \r(3)y＋2＝0与l2：x－eq \r(3)y－6＝0被圆C截得的线段长均为2，则圆C的面积为(　　)A．5π B．4πC．3π D．2π解析：选A　∵直线l1：x－eq \r(3)y＋2＝0与l2：x－eq \r(3)y－6＝0平行，且截圆C所得的弦长均为2，∴圆心到两直线的距离相等，又知两平行直线间的距离d＝eq \f(|2－－6|,\r(12＋－\r(3)2))＝4，即圆心到直线l1的距离为2，则圆的半径r＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，∴圆C的面积S＝πr2＝5π.4．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)A．[2,6] B．[4,8]C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]解析：选A　设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝eq \r(2)，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为eq \f(|2＋2|,\r(2))＝2eq \r(2)，可得dmax＝2eq \r(2)＋r＝3eq \r(2)，dmin＝2eq \r(2)－r＝eq \r(2).由已知条件可得|AB|＝2eq \r(2)，所以△ABP面积的最大值为eq \f(1,2)|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为eq \f(1,2)|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．5．已知直角三角形ABC的斜边AB，且A(－1,0)，B(3,0)，则直角边BC的中点的轨迹方程为(　　)A．x2＋y2＋4x＋3＝0B．x2＋y2＋4x＋3＝0(y≠0)C．x2＋y2－4x＋3＝0D．x2＋y2－4x＋3＝0(y≠0)解析：选D　设直角边BC的中点为P(x，y)，因为B(3,0)，所以C(2x－3,2y)．因为AC⊥BC，所以eq \o(AC,\s\up7(―→))·eq \o(BC,\s\up7(―→))＝(2x－2)·(2x－6)＋4y2＝0，化简得x2＋y2－4x＋3＝0.因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.即x2＋y2－4x＋3＝0(y≠0)．6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为__________．答案：5eq \r(2)－4解析：设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝eq \r(2－32＋－3－42)＝5eq \r(2).而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq \r(2)－4.故|PM|＋|PN|的最小值为5eq \r(2)－4.7．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求eq \f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．解：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝2eq \r(2)，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝eq \f(|2＋2×7－t|,\r(12＋22))≤2eq \r(2)，解上式得，16－2eq \r(10)≤t≤16＋2eq \r(10)，所以所求的最大值为16＋2eq \r(10).(2)记点Q(－2,3)，因为eq \f(n－3,m＋2)表示直线MQ的斜率k，所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C有公共点，得eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2).可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，所以eq \f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).8．已知圆C的圆心在x轴的正半轴，且y轴和直线x－eq \r(3)y＋2＝0均与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)设点P(0,1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN为锐角，求实数m的取值范围．解：(1)设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,b＝0，,|a|＝r，,\f(|a－\r(3)b＋2|,2)＝r，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝0，,r＝2，))则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)将y＝x＋m代入圆C的方程，消去y并整理得2x2＋2(m－2)x＋m2＝0.令Δ＝4(m－2)2－8m2＞0，得－2－2eq \r(2)＜m＜－2＋2eq \r(2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2－m，x1x2＝eq \f(m2,2).易知PM＝(x1，y1－1)，PN＝(x2，y2－1)，依题意，得PM·PN＞0，即x1x2＋(x1＋m－1)(x2＋m－1)＞0⇒m2＋m－1＞0，解得m＜eq \f(－1－\r(5),2)或m＞eq \f(－1＋\r(5),2).故实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－2\r(2)，\f(－1－\r(5),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(5),2)，－2＋2\r(2))).定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径：eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)