2022~2023学年江苏省苏州市相城区相城区春申中学八年级上学期月考数学试卷(10月)（含解析）

这是一份2022~2023学年江苏省苏州市相城区相城区春申中学八年级上学期月考数学试卷(10月)（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.实数：− 3，π，0.27，227，3−8，39，0.3，0.101001000…中，有理数的个数是
( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是( )
A. 5，12，13B. 1，1， 2C. 1，2， 5D. 3，2， 5
4.如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是( )
A. ∠A=∠CB. ∠D=∠BC. AD//BCD. DF//BE
5.一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A. 三角形三条边的垂直平分线的交点B. 三角形三条角平分线的交点
C. 三角形三条高所在直线的交点D. 三角形三条中线的交点
6.如图，△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10．AD为△ABC的角平分线，CD的长度为
( )
A. 2B. 52C. 3D. 103
7.如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是
( )
A. 10B. 20C. 50D. 5
8.如图，∠AOB=45∘，OC为∠AOB内部一条射线，点D为射线OC上一点，OD为 2，点E、F分别为射线OA、OB上的动点，则△DEF周长的最小值是
( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.25的平方根是 ．
10.已知直角三角形的两边长分别为3、4.则第三边长为 ．
11.奥运会火炬接力手达到21780人，这个数精确到百位表示约为 人(用科学记数法表示)．
12.已知一个正数的平方根是3x−2和5x+10，则这个数是 ．
13.如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为___ __．
14.如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 ．
15.如图，一个长为10米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的长为8米，如果梯子的顶端A沿墙下滑2米到点C处，那么梯子底端B将外移到D，则线段BD的长为 米．
16.如图，在Rt△ABC中，以AC为直角边向外作Rt△ACD，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知S1=6，S2=4，S3=16，则S4为 ．
17.如图，在▵ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90∘，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 ．
18.如图，在▵ABC中，AB=10，BC=21，S▵ABC=84，D是BC的中点，动直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
19. 计算题．
(1) 16−3−8+20150；
(2) (−5)2+|1− 2|−(12)−2．
20.求下列各式中x的值．
(1)4(x−1)2−36=0
(2)(x+5)3=−125．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
已知5a+2的 立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是 13的整数部分，求3a−b+c的平方根．
22.(本小题8分)
已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB/​/DF，ED=AB，∠E=∠CPD.求证：ΔABC≅ΔDEF．
23.(本小题8分)
若实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|，化简|a|+|a+b|− (c−a)2−2 c2．
24.(本小题8分)
如图，▵ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．
25.(本小题8分)
11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树CD高是6米，另外一棵AB点高4米；AB与CD树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟，忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标E．
(1)问：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根C 有多远？
(2)求 16+x2+ 36+(10−x)2的最小值 ．
26.(本小题8分)
等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘．
(1)如图1，D，E是等腰Rt△ADE斜边BC上两动点，且∠DAE=45∘，将△ABE绕点A逆时针旋转90∘后，得到ΔAFC，连接DF．
①求证：▵AED≅▵AFD；
②当BE=3，CE=7时，求DE的长；
(2)如图2，点D是等腰Rt△ADE斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD=3，BC=9时，求DE的长__(画出图形，做必要标记，不必写过程)．
27.(本小题8分)
某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究：
(1)如图1，在▵ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰▵ABE和等腰▵ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，在▵ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形▵ACD，∠EAB=∠CAD=90∘，连接BD，CE，若AB=8，BC=4，∠ABC=45∘，求BD的长．
(3)如图3，在四边形ABCD中，连接AC，CD=BC，∠BCD=60∘，∠BAD=30∘，AB=15，AC=25，求AD的长__(画出图形，做必要标记，不必写过程)．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由图形可知A、B、D为轴对称图形，C不是轴对称图形．
故选：C．
根据轴对称图形的定义即可进行解答．
本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】解：实数： − 3 ， π ， 0.27 ， 227 ， 3−8 ， 39 ， 0.3 ， 0.101001000… 中，
无理数有： − 3 ， π ， 0.101001000… ， 39 ，
有理数有： 0.27 ， 227 ， 3−8=−2 ， 0.3 ，
∴有理数的的个数是4．
故选：B
利用无理数和有理数的概念逐一判断即可．
本题考查了无理数和有理数的概念，熟练掌握无理数和有理数的概念是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解： ∵52+122=169=132,
∴5,12,13 能作为直角三角形的三边，故A不符合题意；
∵12+12=2= 22,
∴1,1, 2 能作为直角三角形的三边，故B不符合题意；
∵12+22=5= 52,
∴1,2, 5 能作为直角三角形的三边，故C不符合题意；
∵ 32+22=7≠ 52,
∴ 3,2, 5 不能作为直角三角形的三边，故D符合题意；
故选：D
勾股定理的逆定理：在三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形”是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：当∠D=∠B时，
在△ADF和△CBE中
∵ {AD=CB∠D=∠BDF=BE ，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
故选B．
利用全等三角形的判定，得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．
此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解： ∵ 根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴ 三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
故选：B．
根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等进行判断．
本题考查角平分线的性质，要充分理解并加以运用性质中的线段关系．
6.【答案】C
【解析】解：过点D 作 DE⊥AB 于 E ，
∵AC=6，BC=8，AB=10．
∴AB2=100′，AC2+BC2=62+82=100，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴CD=DE
在Rt△ACD和Rt△AED中，
CD=DEAD=AD．
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AC=6，
在Rt△BED中，BD2=DE2+BE2，
∴(8−CD)2=CD2+(10−6)2，解得CD=3．
故选：C．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到两边的距离相等以及勾股定理即可进行解答．
本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理列出等式求解．
7.【答案】C
【解析】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
又∵∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABD和△BCE中，
{∠ADB=∠BEC∠BAD=∠CBEAB=BC ，
∴△ABD≌△BCE(AAS)，
∴BE=AD=3，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC= 32+(3+1)2=5 ，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC= AB2+BC2= 52+52= 50 ，
故选：C．
过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE=AD=3，由勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出．
本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形．运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算．
8.【答案】B
【解析】解：如图，分别作点D关于OA、OB的对称点D1、D2，连接D1D2，交OA于E，OB于F，连接OD1、OD2，
∴∠EOD1=∠EOD，∠FOD=∠FOD2，ED1=ED，FD2=FD，OD1=OD=OD2，
∴ED1+EF+FD2=DE+EF+DF= D1D2，即D1D2为△DEF周长的最小值，
∵∠EOD1=∠EOD，∠FOD=∠FOD2，∠AOB=45°，∠AOB=∠EOD+∠FOD，
∴∠D1OD2=2∠AOB=90°，
∵OD= 2 ，
∴OD1=OD=OD2= 2 ，
∴D1D2= 2OD2 =2．
故选：B．
如图，分别作点D关于OA、OB的对称点D1、D2，连接D1D2，交OA于E，OB于F，连接OD1、OD2，根据轴对称的性质可得∠EOD1=∠EOD，∠FOD=∠FOD2，ED1=ED，FD2=FD，OD1=OD=OD2，可得ED1+EF+FD2=DE+EF+DF= D1D2，可知D1D2为△DEF周长的最小值，根据∠AOB=45°可得∠D1OD2=2∠AOB=90°，根据根据勾股定理求出D1D2的长即可得答案．
本题考查了轴对称−最短路径问题及勾股定理，正确作出辅助线，确定E、F的位置并得出∠D1OD2=90°是解题关键．
9.【答案】±5
【解析】解：∵(±5)2=25，
∴25的平方根是±5．
根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键．
10.【答案】 7 或5
【解析】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为： 42−32= 7 ；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为： 42+32=5 ；
∴第三边的长为： 7 或5，
故答案为： 7 或5．
已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
11.【答案】2.18×104
【解析】解： 21780 人，这个数精确到百位表示约为 2.18×104 人．
故答案为 ： 2.18×104
用科学记数法 a×10n ( 1⩽a<10 ， n 是正整数)表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
本题考查近似数和科学记数法，解答本题的关键是明确近似数的含义．
12.【答案】25
【解析】根据题意可知：3x−2+5x+10=0，解得x=−1，
所以3x−2=−5，5x+10=5，
∴(±5)2=25
故答案为25．
13.【答案】65°
【解析】解：∵△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°−55°−30°=95°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=95°−30°=65°．
故答案为：65°．
先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C=∠CAD，进而可得出结论．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
14.【答案】15
【解析】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，
故答案为：15．
根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：在 Rt▵AOB 中，由勾股定理得： OB= AB2−AO2= 102−82=6 ，
在 Rt▵COD 中，由勾股定理得： OD= CD2−CO2= 102−62=8 ，
∴BD=OD−OB=8−6=2(米)，
故答案为：2．
梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后所构成的两直角三角形即可．
此题考查了勾股定理的应用，利用图形培养同学们解决实际问题的能力，由已知观察题目的信息抓住不变量是解题以及学好数学的关键．
16.【答案】6
【解析】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，
∴S1=12π(12AB)2=18π⋅AB2，
S2=12(12BC)2=18π⋅BC2，
S3=12(12CD)2=18π⋅CD2，
S4=12(12AD)2=18π⋅AD2，
∴S1+S2=18π⋅AB2+18π⋅BC2=18π(AB2+BC2)，
S3−S4=18π⋅CD2−18π⋅AD2=18π(CD2−AD2)，
∵∠ABC=∠CAD=90∘，
∴AB2+BC2=AC2，CD2−AD2=AC2
∴AB2+BC2=CD2−AD2，
∴18π(AB2+BC2)=18π(CD2−AD2)，
∴S1+S2=S3−S4，
∵S1=6，S2=4，S3=16，
∴6+4=16−S4，
∴S4=6，
故答案为：6．
先根据圆的面积公式将S1、S2、S3、S4分别用含AB、BC、CD、AD的式子表示，再根据勾股定理得出等式BC2+BC2=CD2−AD2，再转化为S1+S2=S3−S4，即可求出结果．
此题考查勾股定理及其应用，解题的关键在于把握题中的隐含条件，即S1+S2=S3−S4，需根据勾股定理进行适当推导才能得出这一结果．
17.【答案】 5
【解析】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于
E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．

连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45∘，
∴∠CBC′=90∘，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45∘，
∴BC=BC′=2，
∵D是BC边的中点，
∴BD=1，
根据勾股定理可得DC′= BC′2+BD2= 22+12= 5⋅
故答案为： 5．
首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小.然后根据勾股定理进行计算可得．
本题考查了线路最短的问题，确定动点E的位置时，使EC+ED的值最小是关键．
18.【答案】17
【解析】过点 C 作 CK⊥l 于点 K ，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H ，过点 C 作 CN⊥AE 交 AE 的延长线于点 N ，
∵BF⊥l ， CK⊥l ，
∴∠BFD=∠CKD=90∘ ，
∵D 是 BC 的中点，
∴BD=CD ，
在 ▵BDF 和 ▵CDK 中，
∠BFD=∠CKD∠BDF=∠CDKBD=CD ，
∴▵BDF≅▵CDKAAS ，
∴BF=CK ，
∵∠CKE=∠KEN=∠N=90∘ ，
∴ 四边形 CKEN 是矩形，
∴CK=EN ，
∴BF=EN ，
∴AE+BF=AE+EN=AN ，
在 Rt▵ACN 中， AN∵S▵ABC=12BC⋅AH=84 ， BC=21 ，
∴AH=8 ，
在 Rt▵ABH 中， AB=10 ，
∴BH= AB2−AH2= 102−82=6 ，
∴CH=BC−BH=21−6=15 ，
在 Rt▵ACH 中， AC= AH2+HC2= 82+152=17 ，
当 AC⊥l 时， AN 与 AC 重合，则 AN 最大为17，
即 AE+BF 的最大值为17，
故答案为：17．
过点 C 作 CK⊥l 于点 K ，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H ，过点 C 作 CN⊥AE 交 AE 的延长线于点 N ，可证得 ▵BDF≅▵CDK ，再根据四边形 CKEN 是矩形，可得 BF=EN ，从而得到 AE+BF=AE+EN=AN ，然后根据 S▵ABC=84 ，可得 AH=8 ，然后根据勾股定理可得 AC=17 ，再由当 AC⊥l 时， AN 与 AC 重合，则 AN 最大为17，即可．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
19.【答案】【小题1】
解：原式= 4−(−2)+1
=4+2+1
=7 ；
【小题2】解：原式=5+ 2−1−4
= 2．

【解析】1. 直接利用算术平方根、立方根的性质及零指数幂的运算法则分别化简，进而计算得出答案；
2. 此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
根据算术平方根、绝对值的性质及负指数幂的运算法则进行计算即可
20.【答案】【小题1】4(x−1)2−36=0
∴(x−1)2=9，
∴x−1=±3，
∴x1=4，x2=−2;
【小题2】∵(x+5)3=−125，
∴x+5=−5
∴x=−10⋅

【解析】1. 根据平方根的定义，直接开平方求解即可；
2. 根据立方根的定义，直接开立方求解即可．
本题考查了平方根和立方根，掌握其定义和性质是解题的关键．
21.【答案】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，
∴5a+2=273a+b−1=16，
解得：a=5b=2．
∵c是 13的整数部分，
∴c=3，
∴3a−b+c=16，
3a−b+c的平方根是±4.

【解析】利用立方根、算术平方根的定义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
此题考查立方根、平方根，算术平方根的定义，无理数的估算方法，掌握相关定义是解题的关键．
22.【答案】证明：∵AB//DF，
∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，
∵∠E=∠CPD，
∴∠E=∠B，
在△ABC和△DEF中，
{∠B=∠EAB=ED∠A=∠FDE
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
【解析】由AB/​/DF可得∠B=∠CPD、∠A=∠FDE，再结合∠E=∠CPD可得∠E=∠B，然后根据ASA即可证明结论．
本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用全等三角形
的判定定理是解答本题的关键．
23.【答案】解：由数轴可知：a+b=0，c−a>0，c<0，a<0
原式=−a+0−|c−a|−2|c|
=−a−c+a+2c
=c

【解析】根据数轴、绝对值、二次根式的性质，分别化简即可得解．
本题考查数轴、相反数、绝对值、二次根式的性质，熟练掌握相应的性质是解题的关键．
24.【答案】解：BF=CG．
证明如下：连接EB、EC，如下图，
∵AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G
∴EF=EG
∵ED⊥BC于D，D是BC的中点，
∴EB=EC，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)，
∴BF=CG⋅

【解析】连接EB、EC，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质可得EF=EG、EB=EC，然后
借助“HL”证明Rt△EFB≌Rt△EGC，由全等三角形的性质可证明BF=CG
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质以及垂直平分线段的性质，正确作出
辅助线，熟练掌握相关判定与性质是解题关键．
25.【答案】【小题1】
解：由题意得：AB=4米，DC=6米，BC=10米，
设EC为x米，则BE为(10−x)米，
在Rt△ABE和Rt△DEC中，
AE2=AB2+BE2=42+(10−x)2，DE2=DC2+EC2=62+x2，
又∵AE=DE，
∴x2+62=(10−x)2+42，
∴x=4，
答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根C有4米远;
【小题2】
10 2

【解析】1. 设EC为x米，则BE为(10−x)米，在Rt△ABE和Rt△DEC中，由勾股定理得出AE2，DE2，根据AE=DE，列出方程，解方程即可求解;
2.
构造图形如图所示，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，其中AM=6，BN=4，
MN=10，P点是MN上一点，设PN=x，则PM=10−x，作点B关于MN的对称点D，过D作C′D⊥DB，交
AM的延长线于C′，则ND=BN=4，MC′=ND=4，C′D=MN=10，AC′=6+4=10，
∴PB=PD
∵PA= AM2+PM2= 36+(10−x)2，PB= BN2+PN2= 16+x2，
∴PA+PB=PA+PD≥AD，
当A、P、D三点依次在同一直线上时，PA+PB=PA+PD=AD的值最小，
此时，PA+PB=PA+PD=AD= AC′2+C′D2=10 2，
∴ 16+x2+ 36+(10−x)2的最小值为10 2，
故答案为：10 2．
本题考查了勾股定理的应用，根据题意将问题转化为两点之间线段最短是解题的关键．
根据(1)的方法，构造图形如图所示，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，其中AM=6，BN=4，MN=10，P点是MN上一点，同理当A、P、D三点依次在同一直线上时，PA+PB=PA+PD=AD的值最小，运用勾股定理即可求解．
26.【答案】【小题1】
证明：如图1中，
∵△BAE≅△CAF ，
∴AE=AF ， ∠BAE=∠CAF ，
∵∠BAC=90∘ ， ∠EAD=45∘ ，
∴∠CAD+∠BAE=∠CAD+∠CAF=45∘ ，
∴∠DAE=∠DAF ，
在 ▵AED 和 ▵AFD 中，
AE=AF∠EAD=∠FADAD=AD ，
∴△AED≅△AFD(SAS) ．
②解：如图1中，设 DE=x ，则 CD=7−x ．
∵AB=AC ， ∠BAC=90∘ ，
∴∠B=∠ACB=45∘ ，
∵∠ABE=∠ACF=45∘ ，
∴∠DCF=90∘ ，
∵▵AED≅▵AFD(SAS) ，
∴DE=DF=x ，
在 Rt▵DCF 中，
∵ DF2=CD2+CF2 ， CF=BE=3 ，
∴ x2=7−x2+32 ，
解得 x=297 ，
∴ DE=297 ．
【小题2】
①当点 D 在线段 BC 上时，如图2中，连接 BE ．
∵∠BAC=∠EAD=90∘ ，
∴∠EAB=∠DAC ，
∵AE=AD ， AB=AC ，
∴ΔEAB≅ΔADC(SAS) ，
∴∠ABE=∠C=∠ABC=45∘ ， EB=CD=6 ，
∴∠EBD=90∘ ，
∴DE2=BE2+BD2=62+32=45 ，
∴DE=3 5 ．
②当点 D 在 CB 的延长线上时，如图3中，连接 BE ．
同法可证 ▵DBE 是直角三角形， EB=CD=12 ， DB=3 ，
∴DE2=EB2+BD2=144+9=153 ，
∴DE=3 17 ，
综上所述， DE 的值为 3 5 或 3 17．

【解析】1.
①想办法证明 ∠DAE=∠DAF ，由 DA=DA ， AE=AF ，即可证明．
②如图1中，设 DE=x ，则 CD=7−x .在 Rt▵DCF 中，由 DF2=CD2+CF2 ， CF=BE=3 ，推出 x2=7−x2+32 ，解方程即可．
2.
分两种情形①当点D在线段 BC 上时，如图2中，连接 BE .由 ▵EAD≌▵ADC ，推出 ∠ABE=∠C=∠ABC=45∘ ， EB=CD=5 ，推出 ∠EBD=90∘ ，推出 DE2=BE2+BD2=62+32=45 ，即可解决问题．
②当点D在 CB 的延长线上时，如图3中，同法可得 DE2=153 ，即可解决问题．
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
27.【答案】【小题1】
猜想： BD=CE ，理由如下：
∵∠BAE=∠CAD ，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC ，
即 ∠EAC=∠BAD ，
在 ▵EAC 和 ▵BAD 中，
AE=AB∠EAC=∠BADAC=AD ，
∴▵EAC≅▵BAD(SAS) ，
∴BD=CE ；
【小题2】
∵ 等腰 Rt▵ABE 和等腰 Rt▵ACD 中， ∠EAB=∠CAD=90∘ ，
∴∠ABE=∠AEB=∠ACD=∠ADC=45∘ ， AE=AB ， AC=AD ，
∵∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC ，
∴∠EAC=∠BAD ，
在 ▵EAC 和 ▵BAD 中，
AE=AB∠EAC=∠BADAC=AD ，
∴▵EAC≌▵BAD(SAS) ，
∴BD=CE ，
∵AE=AB=8 ，
∴BE= AE2+AB2=8 2 ，
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC=45∘+45∘=90∘ ，
∴△EBC 是直角三角形，
∴CE= BC2+BE2= 42+(8 2)2=12 ，
∴BD=12 ；
【小题3】
如图3，连接 BD ，
∵CD=BC ， ∠BCD=60∘ ，
∴▵BCD 是等边三角形，
把 ▵ACD 绕点 D 顺时针旋转 60∘ 得到 ▵EBD ，连接 AE ，
则 BE=AC=25 ， ▵ADE 是等边三角形，
∴AD=AE ， ∠EAD=60∘ ，
∵∠BAD=30∘ ， AB=15 ，
∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=30∘+60∘=90∘ ，
在 Rt▵ABE 中，由勾股定理得： AE= BE2−AB2= 252−152=20 ，
∴AD=AE=20 ．
故答案为：20．

【解析】1. 利用 SAS 证明 △EAC≌△BAD 从而得到 BD=CE ；
2. 利用 SAS 证明 △EAC≌△BAD 从而得到 BD=CE ，利用勾股定理求出 BE ，从而求出 CE 即 BD ；
3. 连接 BD ，由 CD=BC ， ∠BCD=60∘ 可知 ▵BCD 等边三角形，把 ▵ACD 绕点 D 顺时针旋转 60∘ 得到 ▵EBD ，连接 AE 则 BE=AC=25 ， ▵ADE 是等边三角形，从而得到 ∠BAE=90∘ ，利用勾股定理得 AE=20 ，从而得到 AD=AE=20 ．
本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握手拉手模型并正确作出辅助线是解题的关键．