2023年希望杯数学培训80题——七年级(含答案）

这是一份2023年希望杯数学培训80题——七年级(含答案），共36页。试卷主要包含了 计算，2023等内容，欢迎下载使用。

计算： .
2.已知 a  2021 2021 2021，b  2022  2022  2022 ，c  2023 2023  2023
2020  2020+20202021 2021 20212022  2022  2022
则abc ．
3.(1)1 12  (1)3 14 … (1)999 11000  (1)1001 的值是．
设 M ，则的整数部分是 ．
5. 计算：
104  324224  324344  324464  324584  324
44  324164  324284  324404  324524  324
=．
6.已知2£5+845+1105+1335=1445，其中£里的数字是 ．
7.哪些连续正整数之和为 1000？试求出所有的解．
8.2023
减去它的 1
2
，再减去余下的
1 ，再减去余下的 1
34
，以此类推，一直到最
后减去余下的 1
1000
，最后的结果为．
n 个正数的乘积的 n 次方根称为这 n 个数的几何平均数．喜羊羊写了 4 个数， 这 4 个数的几何平均数是 2048；美羊羊也写了 4 个数，这 4 个数的几何平均数是 8．那么，喜羊羊和美羊羊写的这 8 个数的几何平均数是．
有下列三个命题：
若 α，β 是不相等的无理数，则 αβ + α – β 是无理数；

若 α，β 是不相等的无理数，则是无理数；
若 α，β 是不相等的无理数，则
是无理数．
其中正确的命题个数是．
如果 a，b，c 是三个任意整数，那么 a  b ， a  c ， b  c （）．
222
A. 都不是整数B. 至少有两个整数
C. 至少有一个整数D. 都是整数
有理数 m，n 在数轴上的位置如图所示，在m  n ， m  n ， n  m ， m  n 中正数的个数是．
如 果 实 数 a ， b ， c 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 那 么 代 数 式
a2  | a  b |  (c  a)2  | b  c | 可以化简为（）．
A. 2c – aB. 2a – 2bC. –aD. a
把 4 个不同的整数两两相加得到 6 个和，并且这 6 个和是 5 个互不相同的数：
23，26，29，32 和 35．那么这 4 个整数中最大的是．
从 1~26 这 26 个整数中取出两个数，选出的两个数相乘所得的积正好是剩余的 24 个数之和．选出的两个数分别是和．
16. 已知 a – b = 4，ab + c2 + 4 = 0，则 a + b =．
17. 已知 a、b、c 是实数，且
ab a  b
 1 ，
3
bc b  c
 1 ，
7
ac a  c
 1 ，则
12
abc
ab  bc  ac =．
18. 已知 | x | + x + y =5，x + | y |－y = 10，则 x + y 的值是．
16  x2
4  x2
已知
 2，则
．
2
16  x2
4  x2
222 − 4 有个不同的质因数．
21. 已知 x 是实数，则(x2－4x+3)(x2+4x+3)的最小值是．
a
若实数 a，b，c 满足等式2
 3 b  6 ， 4
9 b  6c ，则 c 可能取的最大
a
值为．
已知 x，y 是非负整数，且满足4(2  x)  3y  4 ，那么满足条件的 x + y 的最大值是．
若正整数 x，y，z 满足，则 x y z 的最大值是．
25.x  2  x  3  x 1 的最小值是．
满足 x y  2 y
 4 的整数对（x，y）有个．
设 a 是整数，关于 x 的方程
x 1 2  a 只有三个不同的整数解，求这三个
解．
若 a 为整数，则关于 x 的方程(a – 1) x = a + 1 的所有整数解的和是．
已知 x 与 y 使得 x + y，x – y，x y， 四个数中的三个相等，则这样的数对（x，
y）有对．
1  3k  x  y  2
若关于 x，y 的二元一次方程组k x  y  b

有无穷多组解，则2k  b2 的值
为．
若[x]表示不超过 x 的最大整数，且满足方程 3x + 5[x] – 49 = 0，则3x+1=．

9x  a  0
如果关于 x 的不等式组
8x  b  0
的整数解仅有 1，2，3，那么整数 a，b 组
成的有序数对（a，b）共有对．
x 1  0

如果关于 x 的不等式组x  a  0 无解，则 a 的取值范围是．
在 1~100 的自然数中与 10 互质的自然数共有个．
已知三个质数 a，b，c 满足a  b  c  ab  bc  ac  133 ，则 abc＝．
已知三位数abc 能被 5 整除，但不能被 6 和 7 整除；三位数cba 能被 6 整除， 但不能被 5 和 7 整除；三位数cab 能被 7 整除，但不能被 5 和 6 整除，则abc
＝．
九位数 ABCABCBBB 能被 1~17 中的任意整数整除，且 A，B，C 是不同的数字， 则九位数 ABCABCBBB 是．
38. 乘积 376 ×733 的个位数字是．
四位数aabb 是一个整数的平方， aabb =．
已知 p 是质数，且 p2  71的不同正因数的个数不超过 10，则满足题意的 p
的个数是．
如图所示有 4 种类型的几何体，每个几何体都是由 4 个单位正方体组成．选出 8 个同类型的几何体，把它们组合成一个 2×4×4 的长方体．可以完成组合的几何体有种类型．
已知圆环内直径为 a 厘米，外直径为 b 厘米，将 50 个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为厘米．
设有一个边长为 1 的正三角形，记作 A1（如图 1），将 A1 的每条边三等分，以中间的线段为一边向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作 A2（如图 2）；将 A2 的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A3（如图 3）；再将 A3 的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A4，那么 A4 的周长是．
图 1图 2图 3
44. 如图所示，AOB 是一条直线，若1: 2 : 3 : 4  1: 2 : 4 : 5 ，则2 的余角是
度．
45. 如图，AB//CD，那么∠1 –∠2 +∠3 –∠4 +∠5 =度．
46. 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7=（）．
A．450°B．540°C．630°D．720°
从一个凸 n 边形的纸板上剪下一个三角形，剩余的是一个内角和为 2160°的多边形，则 n 最大是．
一个凸 n 边形的内角和小于 1998°，那么 n 的最大值是．
如果一个凸多边形的内角和等于外角和的 3 倍，那么这个多边形的边数是
（）．
A.4B.6C.8D.10E.12
如图所示，在△ABC 中，AC=7，BC=4，D 为 AB 中点，E 为 AC 边上一点，
且AED  90  1 C ，则 CE =．
2
在△ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且 BD⊥CE，BD=4， CE=6，那么△ABC 的面积是．
△ABC 中，∠A 为最小角，∠B 为最大角，且 2∠B = 5∠A，若∠B 的最大值为 m°，∠B 的最小值为 n°，则 m + n =．
如图，在锐角△ABC 中，高线 CD，BE 相交于点 F，若∠A=55°，则∠BFC
的度数是度．
如图，PQ=PR=QS，线段 PR 与 QS 相互垂直，则∠PRQ 与∠PSQ 度数之和是度．
在平行四边形 ABCD 中，AD = 2AB，点 M 是 AD 的中点，CE⊥AB 于 E．如果∠CEM = 40°，那么∠DME 的值是（）．
A．150°B．140°C．135°D．130°
若长方形内有一点 P，点 P 到各边的距离从小到大依次为 1，2，5，6 则长方形面积最小为．
如图所示的 4×5 的方格图中，过格点 P 的直线与方格图上、下边界相交形成的直角梯形 ABCD（其中 AB487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么 x 的取值范围是
．
如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等，则 x – y – z 的值是．
设 f (n) 为正整数 n （ 十进制） 的各数位上的数字的平方之和， 如
1
f (123)  12  22  32  14 ．记 f (n) 
则 f2016 (2016) 的值是．
f (n) ，f k 1 (n) 
f ( f k (n)) ，k=1，2，3……，
有 16 枚棋子，都是一面黑色，另一面白色，放在 4×4 的正方形网格里．最初，所有棋子都是黑面朝上．规定：每次操作，将一个 2×2 正方形中的 4 枚棋子都正反面翻转一次．那么，要得到如图所示的排列，至少需要经过
次操作．
2023 希望数学——7 年级培训 80 题答案
1.计算： ．

答案： 1011
2023
2.已知 a  2021 2021 2021，b  2022  2022  2022 ，c  2023 2023  2023
2020  2020+20202021 2021 20212022  2022  2022
则abc ． 答案：1
3.(1)1 12  (1)3 14  (1)999 11000  (1)1001 的值是． 答案：–1
设M ，则的整数部分是 ．
答案：61
计算：
104  324224  324344  324464  324584  324
44  324164  324284  324404  324524  324
=．
答案：373
已知2£5+845+1105+1335=1445，其中£里的数字是 ．
答案：7
7.哪些连续正整数之和为 1000？试求出所有的解．
答案：198＋199＋200＋201＋202；55＋56＋…＋70；28＋29＋…＋52．
8.2023
减去它的 1
2
，再减去余下的
1 ，再减去余下的 1
34
，以此类推，一直到最
后减去余下的 1
1000
，最后的结果为．
答案： 2023
1000
n 个正数的乘积的 n 次方根称为这 n 个数的几何平均数．喜羊羊写了 4 个数， 这 4 个数的几何平均数是 2048；美羊羊也写了 4 个数，这 4 个数的几何平均数是 8．那么，喜羊羊和美羊羊写的这 8 个数的几何平均数是．
答案：128
有下列三个命题：
若 α，β 是不相等的无理数，则 αβ + α – β 是无理数；
若 α，β 是不相等的无理数，则是无理数；
若 α，β 是不相等的无理数，则
是无理数．
其中正确的命题个数是． 答案：0
如果 a，b，c 是三个任意整数，那么 a  b ， a  c ， b  c （）．
222
A. 都不是整数B. 至少有两个整数
C. 至少有一个整数D. 都是整数答案：C
有理数 m，n 在数轴上的位置如图所示，在m  n ， m  n ， n  m ， m  n 中正数的个数是．
答案：2
如 果 实 数 a ， b ， c 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 那 么 代 数 式
a2  | a  b |  (c  a)2  | b  c | 可以化简为（）．
A. 2c – aB. 2a – 2bC. –aD. a
答案：C
把 4 个不同的整数两两相加得到 6 个和，并且这 6 个和是 5 个互不相同的数：
23，26，29，32 和 35．那么这 4 个整数中最大的是． 答案：19
从 1~26 这 26 个整数中取出两个数，选出的两个数相乘所得的积正好是剩余的 24 个数之和．选出的两个数分别是和．
答案：15，21
16. 已知 a – b = 4，ab + c2 + 4 = 0，则 a + b =． 答案：0
17. 已知 a、b、c 是实数，且
ab a  b
 1 ，
3
bc b  c
 1 ，
7
ac a  c
 1 ，则
12
abc
ab  bc  ac =．
答案： 1
11
18. 已知 | x | + x + y =5，x + | y |－y = 10，则 x + y 的值是． 答案：1
16  x2
已知
 2，则
．
4  x2
2
16  x2
4  x2
2
答案： 3
222 − 4 有个不同的质因数． 答案：6
21. 已知 x 是实数，则(x2－4x+3)(x2+4x+3)的最小值是． 答案：–16
a
若实数 a，b，c 满足等式2
 3 b  6 ， 4
9 b  6c ，则 c 可能取的最大
a
值为． 答案：2
已知 x，y 是非负整数，且满足4(2  x)  3y  4 ，那么满足条件的 x + y 的最大值是．
答案：4
若正整数 x，y，z 满足 ，则 x y z 的最大值是．
答案：160
25.x  2  x  3  x 1 的最小值是． 答案：5
满足 x y  2 y
 4 的整数对（x，y）有个．
答案：6
设 a 是整数，关于 x 的方程
x 1 2  a 只有三个不同的整数解，求这三个
解．
答案：–3，1，5
若 a 为整数，则关于 x 的方程(a – 1) x = a + 1 的所有整数解的和是． 答案：4
x
已知 x 与 y 使得 x + y，x – y，xy， y 四个数中的三个相等，则这样的数对（x，
y）有对． 答案：2
1  3k  x  y  2
若关于 x，y 的二元一次方程组k x  y  b

有无穷多组解，则2k  b2 的值
为． 答案：5
若[x]表示不超过 x 的最大整数，且满足方程 3x + 5[x] – 49 = 0，则3x+1=．
答案：20

9x  a  0
如果关于 x 的不等式组
8x  b  0
的整数解仅有 1，2，3，那么整数 a，b 组
成的有序数对（a，b）共有对． 答案：72
x 1  0

如果关于 x 的不等式组x  a  0 无解，则 a 的取值范围是．
答案： a  1
在 1~100 的自然数中与 10 互质的自然数共有个． 答案：40
已知三个质数 a，b，c 满足a  b  c  ab  bc  ac  133 ，则 abc＝． 答案：154
已知三位数abc 能被 5 整除，但不能被 6 和 7 整除；三位数cba 能被 6 整除， 但不能被 5 和 7 整除；三位数cab 能被 7 整除，但不能被 5 和 6 整除，则abc
＝．
答案：675
九位数 ABCABCBBB 能被 1~17 中的任意整数整除，且 A，B，C 是不同的数字， 则九位数 ABCABCBBB 是．
答案：306306000
38. 乘积 376 ×733 的个位数字是． 答案：7
四位数aabb 是一个整数的平方， aabb =． 答案：7744
已知 p 是质数，且 p2  71的不同正因数的个数不超过 10，则满足题意的 p
的个数是． 答案：2
如图所示有 4 种类型的几何体，每个几何体都是由 4 个单位正方体组成．选出 8 个同类型的几何体，把它们组合成一个 2×4×4 的长方体．可以完成组合的几何体有种类型．
答案：4
已知圆环内直径为 a 厘米，外直径为 b 厘米，将 50 个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为厘米．
答案：49a+b
设有一个边长为 1 的正三角形，记作 A1（如图 1），将 A1 的每条边三等分，以中间的线段为一边向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作 A2（如图 2）；将 A2 的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A3（如图 3）；再将 A3 的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A4，那么 A4 的周长是．
图 1图 2图 3
答案： 64
9
44. 如图所示，AOB 是一条直线，若1: 2 : 3 : 4  1: 2 : 4 : 5 ，则2 的余角是
度．
答案：60
45. 如图，AB//CD，那么∠1 –∠2 +∠3 –∠4 +∠5 =度．
答案：0
46. 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7=（）．
A．450°B．540°C．630°D．720°
答案：B
从一个凸 n 边形的纸板上剪下一个三角形，剩余的是一个内角和为 2160°的多边形，则 n 最大是．
答案：15
一个凸 n 边形的内角和小于 1998°，那么 n 的最大值是． 答案：13
如果一个凸多边形的内角和等于外角和的 3 倍，那么这个多边形的边数是
（）．
A.4B.6C.8D.10E.12
答案：C
如图所示，在△ABC 中，AC=7，BC=4，D 为 AB 中点，E 为 AC 边上一点，
且AED  90  1 C ，则 CE =．
2
答案：5.5
在△ABC 中，已知 BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且 BD⊥CE，BD=4， CE=6，那么△ABC 的面积是．
答案：16
△ABC 中，∠A 为最小角，∠B 为最大角，且 2∠B = 5∠A，若∠B 的最大值为 m°，∠B 的最小值为 n°，则 m + n =．
答案：175
如图，在锐角△ABC 中，高线 CD，BE 相交于点 F，若∠A=55°，则∠BFC
的度数是度．
答案：125
如图，PQ=PR=QS，线段 PR 与 QS 相互垂直，则∠PRQ 与∠PSQ 度数之和是度．
答案：135
在平行四边形 ABCD 中，AD = 2AB，点 M 是 AD 的中点，CE⊥AB 于 E．如果∠CEM = 40°，那么∠DME 的值是（）．
A．150°B．140°C．135°D．130°
答案：A
若长方形内有一点 P，点 P 到各边的距离从小到大依次为 1，2，5，6 则长方形面积最小为．
答案：33
如图所示的 4×5 的方格图中，过格点 P 的直线与方格图上、下边界相交形成的直角梯形 ABCD（其中 AB487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么 x 的取值范围是
．
答案：7＜x≤19
如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等，则 x – y – z 的值是．
答案：3
设 f (n) 为正整数 n （ 十进制） 的各数位上的数字的平方之和， 如
1
f (123)  12  22  32  14 ．记 f (n) 
则 f2016 (2016) 的值是． 答案：145
f (n) ，f k 1 (n) 
f ( f k (n)) ，k=1，2，3……，
有 16 枚棋子，都是一面黑色，另一面白色，放在 4×4 的正方形网格里．最初，所有棋子都是黑面朝上．规定：每次操作，将一个 2×2 正方形中的 4 枚棋子都正反面翻转一次．那么，要得到如图所示的排列，至少需要经过
次操作．
答案：6