防城港市高级中学2023届高三上学期1月月考（理）数学试卷(含答案)

这是一份防城港市高级中学2023届高三上学期1月月考（理）数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、设集合,,则( )
A.B.C.D.
2、已知,则z的虚部为( )
A.B.C.D.
3、已知,,则( )
A.B.C.D.
4、我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在表达式中“……”圆代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程求得,类比上述过程及方法则的值为( )
A.B.4C.D.2
5、设F为抛物线的焦点,点M在C上,点N在准线l上,满足,,则( )
A.B.C.2D.
6、执行如图所示程序框图,当输入时,则输出的P是( )
A.3B.2C.4D.5
7、棱长为2的正方体中,AB,,的中点分别为E,M,N,则下列说法正确的是( )
A.三棱锥的体积为6B.平面平面
C.D.平面平面MNE
8、等比数列前n项和为,若,,则( )
A.488B.508C.511D.567
9、在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间,社区有5名医务人员到某学校的高一,高二,高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员,则不同的分配方法有( )
A.25种B.50种C.300种D.150种
10、四面体ABCD顶点都在半径为2的球面上,正三角形ABC的面积为,则四面体ABCD的体积最大为( )
A.B.C.D.
11、已知函数为奇函数,,且与的图象的交点为,,,,则( )
A.-2mB.2mC.mD.-m
12、双曲线的左右顶点分别为A,B,曲线M上的一点C关于x轴的对称点为D,若直线AC的斜率为m,直线BD的斜率为n,则当取到最小值时,双曲线离心率为( )
A.B.2C.3D.6
二、填空题
13、设等差数列的前n项为,若,,则公差______.
14、定义,现从集合中随机取两个不同的元素m,n,则满足的概率为__________.
15、已知函数,对任意x都成立,,且,将f（x）的图象向左平移个单位长度,所得图象关于原点对称,则______.
16、已知函数有两个极值点和,则实数a的取值范围为______.
三、解答题
17、记的面积为S,其内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
（1）求C;
（2）求面积的最大值.
18、某校高一200名学生的期中考试语文成绩服从正态分布,数学成绩的频数分布直方图如下:
（1）计算这次考试的数学平均分,并比较语文和数学哪科的平均分较高(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的);
（2）如果成绩大于85分的学生为优秀,这200名学生中本次考试语文,数学优秀的人数大约各多少人?
（3）如果语文和数学两科都优秀的共有4人,从（2）中的这些同学中随机抽取3人,设三人中两科都优秀的有X人,求X的分布列和数学期望.
(附参考公式)若,则,
19、如图四棱锥中,四边形ABCD为等腰梯形,,平面平面PCD,,,,.
（1）证明:平面PEB;
（2）若Q在线段PC上,且,求二面角的余弦值.
20、已知椭圆的离心率为,,分别为椭圆的左,右焦点,P为椭圆的下顶点,且的面积为4.
（1）求椭圆C的方程:
（2）圆,点A,B分别是椭圆C和圆上位于y轴右侧的动点,且直线PB的斜率是直线PA的斜率的2倍,求证:直线AB恒过定点
21、已知且,函数.
（1）若时,求曲线处的切线方程:
（2）若函数f（x）有且仅有两个零点,求a的取值范围.
22、在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为.
（1）求直线l的直角坐标方程;
（2）若l与C有公共点,求m的取值范围.
23、已知a,b,c都是正数,且,证明:
（1）若,则
（2）
参考答案
1、答案：D
解析：因为,,
所以,
故选:D
2、答案：A
解析：由得,所以z虚部为.
故选:A.
3、答案：C
解析：因为,,
故选:C
4、答案：B
解析：令,则,整理,得,解得,或,
,,
故选:B
5、答案：C
解析：由题,,抛物线焦点为,准线l为,
设准线l与x轴交点为E,如图所示,
由题知,由定义可知,
因为,所以是正三角形,
则对,因为,所以,
所以,
故选:C
6、答案：A
解析：当时,满足进行循环的条件,,,;
当时,满足进行循环的条件,,,,;
当时,满足进行循环的条件,,,,;
当时,不满足进行循环的条件,故输出的p值为3,
故选:A
7、答案：B
解析：如图:
A.,A错误;
B.在正方体中,
因为,,所以平面,
所以,同理,所以直线平面,
因为直线A1C在平面内,所以平面⊥平面,B正确;
C.因为,,C错误;
D.将平面MNE平移使ME与重合,N不在平面内,D错误;
故选:B
8、答案：C
解析：根据等比数列的性质知,,成等比,因为,所以,则.
故选:C
9、答案：D
解析：当5个人分为2,2,1三小组,分别来自3个年级,共有种;
②当5个人分为3,1,1三小组时,分别来自3个年级,共有种.
综上,选法共有.
故选:D.
10、答案：B
解析：设正三角形ABC的边长为a,,
所以,
由正弦定理(r为的外接圆的半径)
所以,
所以球心到平面ABC的距离,
则四面体体积最大为.
故选:B
11、答案：D
解析：因为为奇函数,所以关于点中心对称,
又图象也关于点中心对称,所以两个函数图象的交点也关于点对称,
由对称性知,每一组对称点,所以.
故选:D.
12、答案：B
解析：设,,,,
则,,所以,
将曲线方程代入得,
又由均值定理得,当且仅当,即时等号成立,
所以离心率,
故选:B
13、答案：3
解析：由题,因为是等差数列,所以,,
因为,所以,解得,
故答案为:3.
14、答案：
解析：因为,从集合中随机取两个不同的元素m,n,所组成的点共有个,
又因为定义,所以由可得:,
在所有的点中,满足的有,,共3个,
由古典概型的概率计算公式可得:,
所以满足的概率为,
故答案为:.
15、答案：
解析：依题意,,所以,,,则,则,将函数的图象向左平移个单位长度,得关于原点对称,所以,即,因为,则,经验证符合题意.
故答案为:
16、答案：
解析：因为,
所以,
令,,
则时,,
判别式.
当时.,此时,故函数在上单调递增,无极值点,不合题意:
当时,设此时对应方程的两个正根为,,则,,
则,所以当,符合题意.
故答案为:
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）,则,
,
又,
.
（2）,即,
,
又,当且仅当时等号成立,
,则面积,
故面积的最大值.
18、答案：（1）65.9
（2）10
（3）
解析：（1）数学成绩的平均分为
根据语文成绩的正态分布知语文平均分为70分,所以语文平均分高些.
（2）语文成绩优秀的概率为,
数学成绩优秀的概率为,
语文成绩优秀人数为人,数学成绩优秀人数为人
（3）语文数学两科都优秀的4人,单科优秀的有6人,所有可能的取值为0,1,2,3,
,
,
X的分布列为
数学期望.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:在等腰梯形ABCD中,,且,
所以,,
在中,因为,,
则由余弦定理得,
所以,即,
又,PE,平面PEB,
故平面PEB.
（2）由（1）,面面PCD,面面,面PCD,
所以面ABCD,
又,如图建立空间直角坐标系,
因为,所以,
因为,,所以,
则,,,
因为,所以,则,
所以,,,,
设面EBQ和面PBQ的法向量分别为,,
则,即,取,得,
同理,,即,取,得,
所以,
易知二面角为钝角,故其余弦值为.
20、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意可得,
又因为,
所以,
所以椭圆C的方程为.
（2）证明:设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为2k,
因为P为,
则直线PA的方程为,直线PB的方程为,
联立直线PA与椭圆方程,,得,
因为点A,B分别是椭圆C和圆上位于y轴右侧的动点,所以,,
所以,
代入直线PA的方程可得,所以A为,
联立直线PA与圆方程,,得,
所以,代入直线PB的方程可得,
所以B为,
所以,
所以直线AB的方程为,
整理可得,
所以直线AB恒过定点.
21、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）当时,,则
1,切点为,故所求切线方程为,即
（2）①当时,易知函数在区间内单调递增.
又当且时,,当时
所以函数有且仅有一个零点
②当时,
设,则
于是,由,得:由,得所以函数在区间内单调递减,在区间单调增,所以是极小值点
当且时,
又可化为,可得,所以当时,
要使函数有且仅有两个零点,须且只需,即,整理得
设函数,则,由得,由得,所以函数在区间内单调递减,在区间内单调递增.又,所以不等式的解为或
综上,所求a的取值范围是
22、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因直线l的极坐标方程为:,
所以,
又因为,,
所以直线l的直角坐标方程为,即.
（2）联立l与C的方程,
即将(为参数,)代入l的直角坐标方程中,
可得,
即.
要使l与C有公共点,则有解,
因为,所以,
所以,
所以
所以.
23、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为,,则,.
当且仅当时取等号
得证.
（2）a,b,c都是正数,
故.成立,当且仅当取等号.
X
0
1
2
3