适用于新高考新教材2024版高考数学二轮复习考点突破练8空间距离折叠与探索性问题课件

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1.(2023广东湛江二模)如图1,在五边形ABCDE中,四边形ABCE为正方形, CD⊥DE,CD=DE,如图2,将△ABE沿BE折起,使得A至A1处,且A1B⊥DE.
(1)证明:DE⊥平面A1BE;(2)求平面CA1E与平面A1ED夹角的余弦值.
(2)解 取BE的中点O,连接A1O,CO,由等腰三角形的性质可知, A1O⊥BE,CO⊥BE.
由DE⊥BE,且CD⊥DE,可知OE∥CD,四边形OCDE为平行四边形,则CO∥DE,故CO⊥平面A1BE.令BE=2,以O为坐标原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,1),E(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(-1,1,0).
解 (1)过点P存在直线l,满足直线l∥平面ABCD.理由如下:过点P在平面PAD内作直线l平行于直线AD.因为l∥AD,l⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以l∥平面ABCD.
(2)取线段AD的中点为O,线段BC的中点为E,连接OE,OP,因为四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,所以OE∥AB.又AD⊥AB,所以AD⊥OE.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又PO∩OE=O,PO,OE⊂平面POE,所以AD⊥平面POE.在平面POE内过点O作直线ON⊥OE,交直线PE于点N,则直线OA,OE,ON两两垂直.以O为原点,OA,OE,ON所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
过点P作PF∥NO,交直线OE于点F.因为ON⊥OA,ON⊥OE,OA,OE⊂平面ABCD,OA∩OE=O,所以ON⊥平面ABCD,故PF⊥平面ABCD.
(1)求三棱柱ABC-DEF的体积.(2)在线段DF(含端点)上是否存在点G,使得平面GBC与平面ABC的夹角为60°?若存在,请指出点G的位置;若不存在,请说明理由.
解 (1)取BC中点M,连接AM,DM,如图所示.因为△ABC为正三角形,△DBC为等腰三角形,故AM⊥BC,DM⊥BC.又AM∩DM=M,AM,DM⊂平面ADM,所以BC⊥平面ADM.又BC⊂平面ABC,所以平面ADM⊥平面ABC,故AD在平面ABC的射影在射线AM上.∠DAM为侧棱AD与底面ABC所成角,即∠DAM=60°.
(2)存在点G,使平面GBC与平面ABC的夹角为60°.以M为坐标原点,过点M作平面ABC的垂线为z轴,MA,MB为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)是否存在点D,使得BC⊥PD?若存在,求出∠CAD的大小;若不存在,请说明理由.(2)当四棱锥P-ABDC体积最大时,求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值.
5.(2023广东佛山二模)如图所示的一块木料中,底面ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F是PC,AD的中点.
(1)若要经过点E和棱AB将木料锯开,在木料表面应该怎样画线,请说明理由并计算截面周长;(2)若要经过点B,E,F将木料锯开,在木料表面应该怎样画线,请说明理由.
解 (1)因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AB∥平面PCD.又AB⊂平面ABE,设平面ABE∩平面PCD=l,则AB∥l.设PD的中点为G,连接EG,AG,则EG∥CD.又AB∥CD,所以AB∥EG,即EG所在直线为直线l,则BE,EG,AG即为木料表面应画的线.因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥PA.又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD.又AG⊂平面PAD,所以AB⊥AG,即截面ABEG为直角梯形.又PA=AB=2,
(2)以点A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1),F(0,1,0),
6.(2023湖南长邵中学模拟)如图1,已知△AB'C是边长为2的等边三角形,D是边AB'的中点,DH⊥B'C,如图2,将△B'DH沿边DH翻折至△BDH.
(2)在图4中,DH⊥HC,DH⊥HB,HC∩HB=H,HC,HB⊂平面BHC,所以DH⊥平面BHC.
(方法二)延长AD,CH相交于点N,则点N即为点B',故平面BHC∩平面BDA=BN.过点H作HT⊥BN,垂足为T,连接DT.因为DH⊥平面BHC,BN⊂平面BHC,所以DH⊥BN.又HT∩DH=H,HT,DH⊂平面DTH,所以BN⊥平面DTH.又DT⊂平面DTH,则BN⊥DT,所以∠DTH即为平面BHC与平面BDA的夹角,