适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题4立体几何第1讲空间几何体的结构表面积与体积课件

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1.空间几何体的表面积与体积公式
球的表面积恰好是球的大圆面积的4倍
名师点析柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(S',S分别为上、下底面面积,h为高)
易错警示正四面体一定是正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体.
[例1-2]如图,有一圆柱形的开口容器(下底面密封),其轴截面是边长为2的正方形,P是BC的中点,现有一只蚂蚁位于外壁A处,内壁P处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为　　　　　. 
名师点析几何体的表面展开及其应用(1)圆锥、圆柱的侧面展开图分别为扇形和矩形,圆锥、圆柱的底面周长分别为扇形的弧长、矩形的一边长,据此建立圆锥、圆柱基本量的联系解决问题.(2)解决多面体或旋转体的表面上与长度有关的最值问题时,一般采用转化法,即将表面展开化为平面图形,通过“化折为直”或“化曲为直”来解决,注意展开前后哪些几何量发生变化,哪些不变.
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M为棱DD1上的一点,当A1M+MC取最小值时,B1M的长为(　　)
[例2-1]国家游泳中心(水立方/冰立方)的设计灵感来源于威尔-弗兰泡沫,威尔-弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进,开尔文胞体是一种多面体,它由正六边形和正方形围成(其中每个顶点处有1个正方形和2个正六边形),已知该多面体共有24个顶点,且棱长为1,则该多面体的表面积是(　　)
[例2-2] (2023·广东一模)已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等,若圆锥的轴截面是等边三角形,则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为(　　)
解析 设圆锥和圆柱的底面半径为r,高为h,圆锥的母线长为l.因为圆锥的轴截面是等边三角形,所以l=2r,
方法总结求几何体表面积的方法(1)对于简单几何体,常根据其结构特征求表面积,有公式的可直接利用公式求解.(2)对于组合体,先弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组成形式,再求组合体的表面积.
(2)(2023·甘肃兰州诊断测试)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式,常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,多见于亭阁式建筑,兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分如图所示,它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体,已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱柱各棱长均相等,则该结构的表面积为(　　)
A.1.0×109 m3B.1.2×109 m3C.1.4×109 m3D.1.6×109 m3
解析 由题意可得,此棱台的高h=157.5-148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0 km2=1.4×108 m2,S2=180.0 km2=1.8×108 m2,故该棱台的体积
≈1.4×109(m3),即增加的水量约为1.4×109 m3.故选C.
方法总结求几何体体积的基本方法(1)直接法:对于规则的几何体,可利用相关公式直接计算求解.(2)割补法:对于不规则的几何体,可将其分割成规则的几何体,进行体积计算;也可把不规则的几何体补成规则的几何体,进行体积计算.(3)转换法:主要用于求三棱锥(四面体)的体积,将三棱锥的顶点和底面进行转换,使其底面的面积可求(或容易求),高可求(或容易求),从而代入公式求得体积.
对点练3(1)(2023·福建莆田二模)某校科技社利用3D打印技术制作实心模型.如图,该模型的上部分是半球,下部分是圆台.其中半球的体积为144π cm3,圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度为1.5 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量约为(　　)(1.5π≈4.7)A.3 045.6 gB.1 565.1 gC.972.9 gD.296.1 g
解析 如图,将三棱锥P-AMN看作三棱锥A-PMN,即以A为顶点,△PMN为底面的三棱锥,将三棱锥P-ABC看作三棱锥A-PBC,即以A为顶点,△PBC为底面的三棱锥.
命题角度1　几何体的外接球问题[例4-1] (2023·湖南师大附中模拟)如图所示,一个球内接圆台,已知圆台上、下底面的半径分别为3和4,球的表面积为100π,则该圆台的体积为(　　)
解析 因为圆台外接球的表面积S=4πr2=100π,所以球的半径r=5.设圆台的上、下底面圆心分别为O2,O1,在上、下底面圆周上分别取点A,B,连接OO2,OO1,OA,OB,O2A,O1B,如图.因为圆台上、下底面的半径分别为3和4,所以|OB|=|OA|=5,|O1B|=4,|O2A|=3,
解析 如图,在三棱锥P-ABC中,AB2+PA2=20=PB2,则PA⊥AB,同理PA⊥AC,而AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.在△ABC中,AB=AC=4,BC=2,
方法总结求解多面体外接球问题的两种思路(1)补形法:对于同一顶点出发的三条棱互相垂直的锥体,侧面为直角三角形,或正四面体,或对棱均相等的四面体模型,可以还原到正方体或长方体中去求解;(2)确定球心法:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助某特殊底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解即可.
命题角度2　几何体的内切球问题[例4-3]若在母线长为5,高为4的圆锥中挖去一个小球,则剩余部分的体积的最小值为　　　　　. 
[例4-4] (2023·广东珠海模拟)半正多面体亦称“阿基米德体”,“阿基米德多面体”是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成,其可由正四面体切割而成,如图所示.已知MN=1,若在该半正多面体内放一个球,则该球表面积的最大值为　　　　.
解析 由题意知,当球的表面积最大时,该球的球心即为半正多面体所在正四面体的内切球的球心,记球心为O',正四面体为P-ABC,取BC中点D,连接AD,PD,连接PO'并延长,交AD于E,如图.
名师点析求几何体内切球的半径的常用方法(1)将空间问题转化为平面问题,通过构造直角三角形,利用平面知识求出内切球的半径.(2)利用体积分割求出内切球的半径.
解析 如图,取AD的中点E,BC的中点F,连接PE,EF,PF,则由平面PAD⊥平面ABCD,可知PE⊥平面ABCD,所以PE⊥EF.由题意及对称性可知四棱锥P-ABCD内可以放置的最大球的半径即为Rt△PEF内切圆的半径.
(2)(2023·湖南郴州三模)已知三棱锥P-ABC的棱长均为4,先在三棱锥P-ABC内放入一个内切球O1,然后再放入一个球O2,使得球O2与球O1及三棱锥P-ABC的三个侧面都相切,则球O2的表面积为　　　　　. 
解析 设△ABC的外接圆圆心为O(BC中点为D),取截面PAD,设球O1,球O2与平面PBC的切点为M,N,如图所示.