适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习题型专项练4解答题组合练A

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(1)求角C的大小;
(2)设CD是△ABC的角平分线,求证:.
2.(2023·浙江杭州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an.
(1)求a2及数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为dn的等差数列,求数列{}的前n项和Tn.
3.(2023·天津,17)如图,已知A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,M,N分别为BC,AB的中点.
(1)求证:A1N∥平面C1MA;
(2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值;
(3)求点C到平面C1MA的距离.
4.我市某医疗用品生产企业对原有的生产线进行技术升级,为了更好地对比技术升级前和升级后的效果,其中甲生产线继续使用技术升级前的生产模式,乙生产线采用技术升级后的生产模式,质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各200件该医疗用品,在抽取的400件产品中,根据检测结果将它们分为“A”“B”“C”三个等级,A,B等级都是合格品,C等级是次品,统计结果如表所示.
表1
表2
在相关政策扶持下,确保该医疗用品的每件合格品都有对口销售渠道,但按照国家对该医疗用品产品质量的要求,所有的次品必须由厂家自行销毁.
(1)请根据所提供的数据,完成上面的2×2列联表(表2),并依据α=0.001的独立性检验,能否认为产品的合格率与技术升级有关?
(2)在抽检的所有次品中,按甲、乙生产线生产的次品比例进行分层随机抽样,抽取10件该医疗用品,然后从这10件中随机抽取5件,记其中属于甲生产线生产的有X件,求X的分布列和均值.
(3)每件该医疗用品的生产成本为20元,A,B等级产品的出厂单价分别为m元、40元.已知甲生产线抽检的该医疗用品中有70件为A等级,用样本的频率估计概率,若进行技术升级后,平均生产一件该医疗用品比技术升级前多盈利不超过9元,则A等级产品的出厂单价最高为多少元?
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
5.已知函数f(x)=ex+1+ax2+2ax(a∈R).
(1)若f(x)在区间(-1,+∞)内单调递增,求a的取值范围;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2(x1ln 2,求a的取值范围.
6.(2023·广西桂林、崇左一模)如图,已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),O为坐标原点,过点F作直线l1与双曲线的渐近线交于P,Q两点,且点P在线段FQ上,OP⊥PQ,|OP|+|OQ|=|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)设A1,A2是C的左、右顶点,过点(,0)的直线l与C交于M,N两点,试探究直线A1M与A2N的交点S是否在某条定直线上?若是,求出该定直线方程;若不是,请说明理由.
题型专项练4 解答题组合练(A)
1.(1)解 由a+b=ccsB-bcsC及正弦定理得sinA+sinB=sinCcsB-sinBcsC.
又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,
所以sin(B+C)+sinB=sinCcsB-sinBcsC,
所以2sinBcsC+sinB=0.
因为B∈(0,π),
所以sinB≠0,所以csC=-
又C∈(0,π),所以C=
(2)证明 因为CD是△ABC的角平分线,且C=,
所以∠ACD=∠BCD=
在△ABC中,S△ABC=S△ACD+S△BCD,则CA·CBsinCA·CDsinCD·CBsin,
即CA·CB=CA·CD+CD·CB.
两边同时除以CA·CB·CD得
2.解 (1)由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2.
当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4.
当n≥2时,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,
两式相减,可得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,
∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an=2·2n-1=2n,n∈N*.
(2)由(1)可得an=2n,an+1=2n+1,
在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为dn的等差数列,
则有an+1-an=(n+1)dn,
∴dn=,
,
∴Tn=+…++…+,
Tn=2×()2+3×()3+…+n·()n+(n+1)·()n+1,
两式相减,可得Tn=+…+=1+,
∴Tn=3-
3.(1)证明 连接MN,由已知M,N分别为BC,AB的中点,得MN?AC.
又由题意可知,A1C1?AC,
∴MN?A1C1.
∴四边形A1NMC1是平行四边形.∴A1N∥C1M.
又A1N⊄平面C1MA,C1M⊂平面C1MA,
∴A1N∥平面C1MA.
(2)解 由已知AA1,AB,AC两两垂直,以A为原点,AB,AC,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(1,1,0),C1(0,1,2)=(2,0,0),=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,2,0).
由已知AB⊥AC,AB⊥AA1,是平面ACC1A1的一个法向量.
设平面C1MA的一个法向量为n=(x,y,z),则
解得
令z=1,得平面C1MA的一个法向量为n=(2,-2,1).
设平面C1MA与平面ACC1A1所成的角的大小为θ,
则csθ=
故平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值为
(3)解 设点C到平面C1MA的距离为d.
解法一(法向量法):d=
解法二(等积法):,
d=S△ACM·A1A.
易得C1A=,
C1M=A1N=,
AM=BC=,∴C1A=C1M.
∴点C1到直线AM的距离d1=
d1·|AM|=
易知S△ACM=S△ABC=(22)=1,
∴d=
4.解 (1)根据所提供的数据,可得2×2列联表如下.
零假设为H0:产品的合格率与技术升级无关.
根据列联表中的数据,
计算可得,χ2=20.571>10.828=x0.001,根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为产品的合格率与技术升级有关,此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)由于抽检的所有次品中,甲、乙生产线生产的次品数的比为4∶1,故抽取的10件中有8件是甲生产线生产的,2件是乙生产线生产的,所以X的所有可能取值为3,4,5,
所以P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,
所以X的分布列为
所以E(X)=3+4+5=4.
(3)甲生产线抽检的产品中有70件A等级,90件B等级,40件C等级,乙生产线抽检的产品中有130件A等级,60件B等级,10件C等级.
用样本的频率估计概率,
则技术升级前,单件产品的利润(单位:元)为m+40-20=m-2,
技术升级后,单件产品的利润(单位:元)为m+40-20=m-8.
由m-8-9,解得m≤50.
故A等级产品的出厂单价最高为50元.
5.解 (1)由题意知f'(x)=ex+1+2ax+2a≥0在区间(-1,+∞)内恒成立,即2a≥-在区间(-1,+∞)内恒成立.
令h(x)=-(x>-1),则h'(x)=-,
由h'(x)>0,得-10,所以h(x)在区间(-1,0)内单调递增,在区间(0,+∞)内单调递减,所以h(x)≤h(0)=-e,所以2a≥-e,即a≥-
(2)由题意知,x1,x2是方程f'(x)=0的两根,
又f'(-1)=1≠0,故x1,x2是-=2a的两根,令h(x)=-,
由(1)知h(x)在区间(-∞,-1)和(-1,0)内单调递增,在区间(0,+∞)内单调递减,
当x<-1时,h(x)的图象在x轴上方,
当x>-1时,h(x)的图象在x轴下方,此时当x=0时,h(x)取得最大值h(0)=-e,
所以当2a<-e,即a<-时,方程h(x)=2a有两根x1,x2,其中-1若x1+ln2≤0,即-1ln2一定成立;
若x1+ln2>0,即x1>-ln2,则x2-x1>ln2⇔x2>x1+ln2⇔h(x2)而h(x2)=h(x1)=2a,所以h(x1)所以-ln2所以当x2-x1>ln2时,-1所以2a=h(x1)6.解 (1)因为双曲线右焦点为F(2,0),所以c=2.
因为渐近线方程为y=±x,
所以tan∠POF=
因为OP⊥PQ,所以|OQ|2-|OP|2=|PQ|2,
即(|OQ|+|OP|)(|OQ|-|OP|)=|PQ|2,
又|OP|+|OQ|=|PQ|,
所以|OQ|-|OP|=|PQ|,
解得|OQ|=|PQ|,|OP|=|PQ|,
所以∠POQ=,所以∠POF=,
所以tan∠POF=,c=2,a2+b2=c2=4,
解得a=1,b=
所以双曲线C的方程为x2-=1.
(2)由题意知A1(-1,0),A2(1,0),直线MN的斜率存在且不为0,
设直线MN的方程为x=ty+,M(x1,y1),N(x2,y2).
联立整理得(3t2-1)y2+3ty-=0.
所以y1+y2=,y1y2=-,
所以ty1y2=(y1+y2).
直线A1M:y=(x+1),
直线A2N:y=(x-1),
联立两直线方程,解得
xS======2,
故直线A1M与直线A2N的交点S在定直线x=2上.
等级
A
B
C
频数
200
150
50
生产线
检测结果
合计
合格品
次品
甲
160
乙
10
合计
α
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
生产线
检测结果
合计
合格品
次品
甲
160
40
200
乙
190
10
200
合计
350
50
400
X
3
4
5
P