适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题突破练9三角恒等变换与解三角形

这是一份适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题突破练9三角恒等变换与解三角形，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.在钝角△ABC中,AB=2,sin B=,且△ABC的面积是,则AC=( )
A.B.2
C.D.
2.若tan,则=( )
A.-B.-3C.D.3
3.已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中R为△ABC外接圆的半径.若3asin A+3bsin B+4asin B=6Rsin2C,则sin Asin B-cs Acs B=( )
A.B.C.-D.-
4.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示.若实数n满足4sin218°+n2=4,则=( )
A.B.C.D.
5.(2023·河南周口模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2A+csin A=sin Asin B+bsin C,则该三角形的形状一定是( )
A.钝角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.锐角三角形
6.已知cs α+sin 2β=,sin α+sin βcs β=,则cs(α+2β)=( )
A.B.C.D.-
7.小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到一个池塘边(如图阴影部分),为了测量该池塘两侧C,D两点间的距离,除了观测点C,D外,他又选了两个观测点P1,P2,且P1P2=a,已经测得∠P1P2D=α,∠P2P1D=β,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组,就可以求出C,D间距离的是( )
①∠DP1C和∠DCP1;②∠P1P2C和∠P1CP2;③∠P1DC和∠DCP1.
A.①②B.①③
C.②③D.①②③
8.(2023·河南郑州二模)人脸识别技术应用在各行各业,改变着人类的生活,而所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图象,并从中提取出有效的识别信息,最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,余弦相似度similarity为向量夹角的余弦值,记作cs(A,B),余弦距离为1-cs(A,B).已知点P(sin α,cs α),Q(sin β,cs β),R(sin α,-cs α),若点P,Q的余弦距离为,点Q,R的余弦距离为,则tan αtan β=( )
A.7B.C.4D.
二、多项选择题
9.(2023·广东金山中学等四校联考)定义2×2行列式=a1a4-a2a3,若函数f(x)=,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的图象关于点,0中心对称
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)在区间0,上单调递增
D.f(x)的最小正周期为π
10.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b-2a+4asin2=0,则下列结论正确的是( )
A.角C一定为锐角
B.a2+2b2-c2=0
C.3tan A+tan C=0
D.tan B的最小值为
11.(2023·广东深圳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,sin A=,cs C=,则下列说法正确的是( )
A.cs A=±
B.B=
C.b=
D.△ABC的面积为7
12.(2023·广东茂名模拟)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2,下列说法正确的是( )
图1
图2
A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形
B.若BB'=3,sin∠ABB'=,则A'B'=2
C.若AB=2A'B',则AB'=BB'
D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍
三、填空题
13.已知△ABC的面积为2,AB=2,B=,则= .
14.已知tan θ,tan(-θ)是方程x2+ax-3=0的两个根,则a= .
15.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=2,a2=2b2+c2,则△ABC的面积的最大值为 .
16.现制作一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形OAB的半径为10,∠PBA=∠QAB=60°,AQ=QP=PB,工艺制造厂发现,若按此方案设计,当OP最长时,该奖杯比较美观,此时∠AOB= .
专题突破练9 三角恒等变换与解三角形
一、单项选择题
1.C 解析 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
依题意,三角形ABC是钝角三角形,c=2,sinB=,S△ABC=acsinB=,解得a=1,a当B为钝角时,csB=-=-,故b=,此时csC=>0,所以C为锐角,符合题意,故AC=
2.A 解析 因为,
由于csα=1-2sin2,sinα=2sincs,
所以=-tan=-
3.C 解析 由正弦定理=2R,
得sinA=,sinB=,sinC=,
代入3asinA+3bsinB+4asinB=6Rsin2C,得=6R,
化简得3a2+3b2+4ab=3c2,即a2+b2-c2=-ab,
所以csC==-
故sinAsinB-csAcsB=-cs(A+B)=csC=-
4.A 解析
5.C 解析 因为sin2A+csinA=sinAsinB+bsinC,由正弦定理=2R(2R为△ABC外接圆的直径),可得sinA+c=sinA+b,所以a(sinA+c)=b(sinA+c).又sinA+c>0,所以a=b,即△ABC为等腰三角形.
6.C 解析 由csα+sin2β=知2csα-cs2β=2①,因为sinα+sinβcsβ=,所以2sinα+sin2β=,将①②两个等式平方相加得4+1-4cs(2β+α)=4+,解得cs(α+2β)=
7.D 解析 根据题意,△P1P2D的三个角和三条边均可以求出,①中,,故CD=,故①可以求出CD;③与①条件等价.②中,在△P1P2C中,,故P1C=,在△P1CD中,利用余弦定理求解CD即可.
8.A 解析 由=(sinα,csα),=(sinβ,csβ),=(sinα,-csα),cs(P,Q)==sinαsinβ+csαcsβ=cs(α-β),cs(Q,R)==sinαsinβ-csαcsβ=-cs(α+β),所以=-,整理得tanαtanβ=7.
二、多项选择题
9.CD 解析 由题意f(x)=cs2x-sin2x-cs(+2x)=cs2x+sin2x=2cs(2x-),对于A,将x=代入f(x)的解析式,得f()=2cs0=2≠0,所以点(,0)不是中心对称点,错误;对于B,令x=0,得f(0)=2cs(-)=1≠2,所以y轴不是对称轴,错误;对于C,当x∈[0,]时,2x-[-,0],根据y=csx的性质知f(x)在区间[0,]上单调递增,正确;对于D,由f(x)的解析式知ω=2,T==π,正确.故选CD.
10.BC 解析 ∵b-2a+4asin2=0,∴b-2a+4asin2=0,∴b-2a+4acs2=0,∴b-2a+4a=0,
∴b+2acsC=0,∴csC<0,∴角C一定为钝角,A错误;
b+2acsC=0⇒b+2a=0⇒a2+2b2-c2=0,B正确;
b+2acsC=0⇒sinB+2sinAcsC=0⇒3sinAcsC+csAsinC=0⇒3tanA+tanC=0,C正确;
tanB=-tan(A+C)=,经检验“=”取得到,D错误,综上选BC.
11.BC 解析 由题设sinC=,则,即c=>a=4,故C>A.易知C为锐角,所以A为锐角,所以csA=,
又a2+b2-2abcsC=c2,即16+b2-b=,
整理得10b2-8b-85=(5b+17)(b-5)=0,故b=,
所以csB=,
又角B为三角形的内角,所以B=
综上,△ABC的面积S=bcsinA==7.
故A,D错误,B,C正确.故选BC.
12.ABD 解析 对于A选项,根据题意,题图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,故AA'=BB',AB'>BB',所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形,故A选项正确;对于B选项,由题知,在△ABB'中,BB'=3,sin∠ABB'=,∠AB'B=120°,所以cs∠ABB'=,所以sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=,所以由正弦定理得,解得AB'=5,因为BB'=AA'=3,所以A'B'=2,故B选项正确;对于C选项,不妨设AB=2A'B'=2,AA'=x,所以在△AB'B中,由余弦定理得AB2=AB'2+BB'2-2AB'·BB'cs∠AB'B,代入数据得AA'=x=,所以AB'=AA'+A'B'=+1=,BB'=AA'=,所以,故C选项错误;对于D选项,若A'是AB'的中点,则S△ABB'=BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C',所以S△ABC=3S△ABB'+S△A'B'C'=7S△A'B'C',故D选项正确.
三、填空题
13 解析 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则AB=2=c,S△ABC=acsinB=a×2=2,解得a=4,
∴b2=a2+c2-2accsB=16+4-2×4×2=12,
∴b=2,
14.-4 解析 因为tanθ,tan是方程x2+ax-3=0的两个根,所以tanθ+tan=-a,tanθtan=-3,Δ=a2-4×(-3)≥0,
所以tan=tan=-=1,故a=-4.
15 解析 由余弦定理及题意可得a2=b2+c2-2bccsA=2b2+c2=4,所以csA=-,则sinA=,则△ABC的面积S=bcsinA=
16. 解析 由题意可知,四边形ABPQ为等腰梯形.如图,连接OP,过点O作OM⊥QP垂足为点M,交AB于点C,则OC⊥AB,OM平分∠AOB,M为线段PQ的中点.
设∠AOC=θ,
则AB=20sinθ,OC=10csθ,
设AQ=QP=BP=x,过点Q作QE⊥AB垂足为点E,过点P作PF⊥AB垂足为点F,因为∠PBA=∠QAB=60°,所以AE=BF=x,CM=PF=x,EF=QP=x,所以AB=2x,所以AB=20sinθ=2x,即x=10sinθ,所以OM=OC+CM=10csθ+x=10csθ +5sinθ,所以OP2=OM2+MP2=(10csθ+5sinθ)2+(5sinθ)2 =100cs2θ+75sin2θ+100sinθcsθ+25sin2θ=100+50sin2θ,
因为sin2θ∈[-1,1],
所以当sin2θ=1即θ=时,OP2最大,也就是OP最长,此时∠AOB=