适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题突破练21圆锥曲线的定义方程与性质

这是一份适用于新高考新教材广西专版2024届高考数学二轮总复习专题突破练21圆锥曲线的定义方程与性质，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为,则m的值为( )
A.1B.2C.D.
2.(2023·广西桂林、河池、防城港联考)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为4,实轴长为6,则C的方程为( )
A.=1B.=1
C.=1D.=1
3.过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为2,则|AB|等于( )
A.4B.6C.8D.10
4.(2023·新高考Ⅰ,5)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=( )
A.B.
C.D.
5.(2023·天津,9)双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为( )
A.=1B.=1
C.=1D.=1
6.(2023·山东德州一模)过抛物线x2=2py(p>0)的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A,B两点,若点A,B到y轴的距离之和为4,则p的值为( )
A.1B.2C.3D.4
7.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率等于2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上且PF1⊥PF2,若△PAF1的面积为3a,则双曲线的虚轴长等于( )
A.B.2C.2D.4
8.(2023·山东聊城一模)研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,这个圆叫作椭圆的蒙日圆.设椭圆C的焦点为F1,F2,P为椭圆C上的任意一点,R为椭圆C的蒙日圆的半径.若的最小值为R2,则椭圆C的离心率为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9.已知双曲线C:9x2-16y2=144的左、右焦点分别为F1,F2,点P为C上的一点,且|PF1|=6,则下列说法正确的是( )
A.双曲线的离心率为
B.双曲线的渐近线方程为3x±4y=0
C.△PF1F2的周长为30
D.点P在椭圆=1上
10.(2023·安徽合肥开学考试)2022年4月,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆(都包含M,N点)组成的“曲圆”.如图,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,3),椭圆的短轴长等于半圆的直径,在平面直角坐标系中,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则( )
A.椭圆的离心率为
B.△AFG的周长为6+6
C.△ABF面积的最大值是
D.线段AB长度的取值范围是[6,3+3]
11.(2023·河北保定模拟)已知曲线C:=1,下列说法正确的是( )
A.若m>,则C是椭圆
B.若-C.当C是椭圆时,若|m|越大,则C越接近于圆
D.当C是双曲线时,若|m|越小,则C的张口越大
12.(2022·新高考Ⅰ,11)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则( )
A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2
三、填空题
13.(2023·广西柳州模拟)已知F是椭圆C:=1的右焦点,P为椭圆C上一点,A(1,2),则|PA|+|PF|的最大值为 .
14.(2023·山东泰安一模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若∠MAN=60°,则以(e,0)(e为双曲线C的离心率)为焦点的抛物线的标准方程为 .
15.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2),且x1<016.(2022·新高考Ⅰ,16)已知椭圆C:=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 .
专题突破练21 圆锥曲线的定义、方程与性质
一、单项选择题
1.B 解析 由题意,知抛物线y=mx2(m>0)的准线方程为y=-,根据抛物线的定义,可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y=-的距离,可得2+,解得m=2.
2.D 解析 不妨设右焦点F2(c,0),则F2到渐近线bx-ay=0的距离为=b=4.因为实轴长为2a=6,所以a=3,即C的方程为=1.
3.C 解析 抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程l:x=-1.
设线段AB的中点为M(x0,y0),如图,过A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线,|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=2(x0+1).
直线AB过抛物线的焦点F,显然直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程为x=my+1(m为常数),
代入抛物线的方程,消去x并整理,得y2-4my-4=0.
设A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y0==2m=2,解得m=1.
直线AB的方程为x=y+1,则x0=y0+1=2+1=3,|AB|=2×(3+1)=8.
4.A 解析 由题意,在C1:+y2=1中,a>1,b=1,c=,
∴e1=
在C2:+y2=1中,a=2,b=1,c=,∴e2=
∵e2=e1,,解得a=故选A.
5.D 解析 双曲线的渐近线方程为y=±x,过点F2作渐近线y=x的垂线,
如图所示.设点P(m,),F1(-c,0),F2(c,0),则有
因为PF2⊥OP,所以=-1,即=-1.
整理得m(a2+b2)=a2c.
又a2+b2=c2,所以m=,即P.
由题意,知点F2到渐近线y=x的距离|PF2|=2,即=b=2.
又,将b=2代入上式,整理得a2-2a+2=0,解得a=
故所求双曲线的方程为=1.
故选D.
6.B 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率k=tan45°=1,抛物线x2=2py(p>0)的焦点F(0,),故直线AB的方程为y=x+由消去y得x2-2px-p2=0,则Δ=(-2p)2-4×1×(-p2)=8p2>0,x1+x2=2p,x1x2=-p2<0,所以x1,x2异号.由题意可得|x1|+|x2|=|x1-x2|==2p=4,解得p=2.
7.D 解析 如图,不妨设点P在第一象限.双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率等于2,e==2.①
双曲线在第一、三象限的渐近线的斜率为
因为A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上,且PF1⊥PF2,
所以=x2+y2-c2=0.
因为y=x,所以P(a,b),△PAF1的面积为3a,可得(a+c)b=3a.③
解①②③,可得b=2,所以C的虚轴长等于4.
8.D 解析 设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c(a>b>0,c>0),不妨设椭圆的焦点在x轴上,中心在坐标原点,显然x=±a,y=±b均为椭圆的切线,即(a,b),(a,-b),(-a,b),(-a,-b)均在蒙日圆上,根据对称性分析可得,蒙日圆的圆心为坐标原点,半径R=则椭圆方程为=1,设椭圆上任一点P(acsθ,bsinθ),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-acsθ,-bsinθ),=(c-acsθ,-bsinθ),可得=(-c-acsθ)(c-acsθ)+(-bsinθ)(-bsinθ)=a2cs2θ-c2+b2sin2θ=(a2-b2)cs2θ-c2+b2(sin2θ+cs2θ)=c2cs2θ+b2-c2.注意到c2>0,cs2θ∈[0,1],故=c2cs2θ+b2-c2≥b2-c2,当且仅当cs2θ=0时,等号成立,即的最小值为b2-c2,故b2-c2=R2=(a2+b2),整理得4b2-5c2=a2,即4(a2-c2)-5c2=a2,整理得,即e=
二、多项选择题
9.BCD 解析 双曲线的标准方程为=1,所以a=4,b=3,则c=5,离心率e=,A错误;
渐近线方程为=0,即3x±4y=0,B正确;
|PF1|=6<2a=8,P在左支上,|PF2|=6+8=14,△PF1F2的周长为30,C正确;
|PF1|+|PF2|=20,因此P在椭圆=1(此椭圆是以F1,F2为焦点,长轴长为20的椭圆)上,D正确.
10.BD 解析由题知,椭圆中的几何量b=c=3,
所以a==3,所以e=,故A不正确;由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=6,所以△AFG的周长C△AFG=|FG|+6=6+6,故B正确;设A,B到y轴的距离分别为d1,d2,则S△ABF=S△AOF+S△OBF=d1·|OF|+d2·|OF|=(d1+d2),当A在短轴的端点处时,d1,d2同时取得最大值3,故△ABF面积的最大值是9,故C不正确;因为|AB|=|OB|+|OA|=3+|OA|,由椭圆性质可知3≤|OA|≤3,所以6≤|AB|≤3+3,故D正确.
11.BD 解析 对于A,m=2满足m>,代入曲线C的方程中,得=1,即x2+y2=4,表示以(0,0)为圆心,半径为2的圆,故A错误;对于B,当-且m≠2,焦点在x轴上时,<|m|<2,|m|越大,离心率越小,曲线C表示的椭圆越圆;焦点在y轴上时,|m|>2,|m|越大,离心率越大,曲线C表示的椭圆越扁平,故C错误;对于D,当曲线C:=1为双曲线时,2m2-4<0,整理成=1,则a=2,b=,c=,若|m|越小,则c=越大,而顶点位置不变,此时焦点离顶点越远,图象的张口就越大,故D正确.故选BD.
12.BCD 解析 ∵点A(1,1)在抛物线C上,
∴1=2p,∴p=,
∴抛物线C的方程为x2=y.∴抛物线C的准线为y=-,故A错误;
∵点A(1,1),B(0,-1),∴直线AB的方程为y=2x-1,联立抛物线C与直线AB的方程,得消去y整理得x2-2x+1=0,Δ1=(-2)2-4×1×1=0,∴直线AB与抛物线C相切,故B正确;
由题意可得,直线PQ的斜率存在,则可设直线PQ的方程为y=kx-1,联立直线PQ与抛物线C的方程,得消去y整理得x2-kx+1=0,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则
∴|k|>2,y1y2=(x1x2)2=1,
又|OP|=,|OQ|=,
∴|OP|·|OQ|==|k|>2=|OA|2,故C正确;
∵|BP|=|x1|,|BQ|=|x2|,
∴|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正确.
故选BCD.
三、填空题
13.4+2 解析 设椭圆的左焦点为F1(-1,0),
|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF1|=4+|PA|-|PF1|≤4+|AF1|=4+=4+2,当A,P,F1共线且F1在P,A之间时,等号成立.
14.y2=x 解析 依题意,A(a,0),双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0.
△MAN是边长为b的等边三角形,
所以A到MN的距离是b,
即,
所以e=
对于抛物线y2=2px,有,
所以2p=,
所以抛物线方程为y2=x.
15 解析 过F且斜率为的直线AB:y=(x+c),渐近线l:y=x,
由得B(),
由|FB|=3|FA|,得A(-),
而点A在双曲线上,于是=1,
整理得,所以离心率e=
16.13 解析 设椭圆的焦距为2c,F1,F2分别为左、右焦点.
∵椭圆的离心率e=,
∴a=2c,∴b=c,,
∴椭圆C的方程可化为=1,直线AF2的斜率=-
∵直线DE⊥AF2,∴kDE=-1(kDE为直线DE的斜率),∴kDE=
∴可设直线DE的方程为y=(x+c).
设点D(x1,y1),E(x2,y2),
由消去y整理得13x2+8cx-32c2=0.
则x1+x2=-,x1x2=-
则|DE|=
又|DE|=6,=6.
∴c=
连接AF1,则|AF1|=a=2c=,|F1F2|=2c=,
∴|AF1|=|F1F2|,
∴直线DE为线段AF2的垂直平分线,
连接EF2,DF2,则四边形ADF2E为轴对称图形,
∴△ADE周长=|DE|+|AE|+|AD|=|DE|+|EF2|+|DF2|=4a=8c=13.