新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题3函数与导数第5讲利用导数研究函数的零点问题

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题3函数与导数第5讲利用导数研究函数的零点问题，共6页。试卷主要包含了 已知函数f＝ax－xln x， 已知函数f＝a－ln x等内容，欢迎下载使用。
1. (2023·西城区校级三模)已知函数f(x)＝ax－xln x.
(1)当a＝1时，求f(x)的零点；
(2)讨论f(x)在[1，e]上的最大值；
【解析】 (1)f(x)＝ax－xln x的定义域为(0，＋∞)，
当a＝1时，f(x)＝x－xln x，零点为x＝e.
(2)f′(x)＝a－1－ln x，
令f′(x)＝0得x＝ea－1，
所以在(0，ea－1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(ea－1，＋∞)上f′(x)e2成立．
4. (2023·锡山区校级一模)已知函数f(x)＝－aln x＋eq \f(x2＋1－a,x)，x∈R.
(1)当a＝2时，证明：f(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立；
(2)判断函数f(x)的零点个数．
【解析】 (1)证明：当a＝2时，f(x)＝－2ln x＋x－eq \f(1,x)，x∈[1，＋∞)，
所以f′(x)＝－eq \f(2,x)＋1＋eq \f(1,x2)＝eq \f(x－12,x2)≥0，当且仅当x＝1时取等号，
所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(1)＝0，所以结论成立．
(2)f′(x)＝－eq \f(a,x)＋eq \f(2x·x－x2＋1－a,x2)＝－eq \f(a,x)＋eq \f(x2－1＋a,x2)＝eq \f(x2－ax＋a－1,x2)＝eq \f([x－a－1]x－1,x2)，
当a－1＝1，即a＝2时，f′(x)≥0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
f(1)＝－2ln 1＋eq \f(12＋1－2,1)＝0，
所以f(x)只有一个零点，
当a－1>1，即a>2时，在(0,1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(1，a－1)上f′(x)0，f(x)单调递增，
f(1)＝－aln 1＋eq \f(12＋1－a,1)＝2－a0时，g(x)0，xe－x