新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题5解析几何第1讲直线与圆

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题5解析几何第1讲直线与圆，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1. (2023·抚松县校级模拟)对方程eq \f(y－6,x＋3)＝2表示的图形，下列叙述中正确的是( C )
A．斜率为2的一条直线
B．斜率为－eq \f(1,2)的一条直线
C．斜率为2的一条直线，且除去点(－3,6)
D．斜率为－eq \f(1,2)的一条直线，且除去点(－3,6)
【解析】 方程eq \f(y－6,x＋3)＝2成立的条件知x≠－3，当x≠－3时，方程变形为y－6＝2(x＋3)，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线，但要除去点(－3，6)．故选C.
2. (2023·全国二模)已知直线l1：eq \r(3)x－3y＋1＝0，若直线l2与l1垂直，则l2的倾斜角是( B )
A．150°B．120°
C．60°D．30°
【解析】 ∵直线l1：eq \r(3)x－3y＋1＝0，∴kl1＝eq \f(\r(3),3)，∵直线l2与l1垂直，∴kl2·kl1＝－1，解得kl2＝－eq \r(3)，∴l2的倾斜角为120°.故选B.
3. (2023·河北七校联考)直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x，y轴上的截距和最小时，实数a的值是( D )
A．1B．eq \r(2)
C．2D．3
【解析】 当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝eq \f(a＋3,a－1)，令t＝a＋3＋eq \f(a＋3,a－1)＝5＋(a－1)＋eq \f(4,a－1).因为a＞1，所以a－1＞0.所以t≥5＋2eq \r(a－1·\f(4,a－1))＝9.当且仅当a－1＝eq \f(4,a－1)，即a＝3时，等号成立．
4. (2023·漳州质检)已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为( D )
A．垂直或平行B．垂直或相交
C．平行或相交D．垂直或重合
【解析】 因为a2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2.当a＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0，k1＝－eq \f(1,2)，k2＝2，所以k1·k2＝－1，则两直线垂直；当a＝2时，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y－2＝0，则两直线重合．
5. (2023·海淀区校级三模)已知圆O：x2＋y2＝1，直线3x＋4y－10＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为( C )
A．1B．eq \r(2)
C．eq \r(3)D．2
【解析】 圆O：x2＋y2＝1中，圆心O(0,0)，半径r＝1，设P(x0，y0)，则3x0＋4y0－10＝0，则|PA|＝eq \r(|PO|2－12)＝eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)－1)＝eq \f(1,4)eq \r(25x\\al(2,0)－60x0＋84)，当x0＝eq \f(30,25)＝eq \f(6,5)时，|PA|min＝eq \f(1,4)eq \r(36－60×\f(6,5)＋84)＝eq \f(1,4)eq \r(48)＝eq \r(3).故选C.
6.已知x2＋y2＝2x，则eq \f(y,x＋2)的最大值为( C )
A.eq \f(1,2)B．eq \f(1,3)
C．eq \f(\r(2),4)D．eq \f(\r(3),3)
【解析】 设eq \f(y,x＋2)＝k，则kx－y＋2k＝0，x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1,0)，半径为1，∵圆心(1,0)到直线kx－y＋2k＝0的距离小于等于1，∴eq \f(|3k|,\r(k2＋1))≤1，解得－eq \f(\r(2),4)≤k≤eq \f(\r(2),4)，∴eq \f(y,x＋2)的最大值为eq \f(\r(2),4).故选C.
7. (2023·河南模拟)直线l：mx＋y－m＋1＝0被圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝16所截得弦长的最小值为( A )
A．4eq \r(2)B．3eq \r(2)
C．2eq \r(2)D．eq \r(2)
【解析】 直线l：mx＋y－m＋1＝0，即m(x－1)＋y＋1＝0，直线l过定点P(1，－1)，圆C的圆心为C(－1,1)，r＝4，当PC⊥l时，直线l被圆C截得的弦长最短．因为|PC|＝eq \r(1＋12＋－1－12)＝2eq \r(2)，所以弦长的最小值为2eq \r(16－8)＝4eq \r(2).故选A.
8. (2023·河南模拟)已知圆O的直径AB＝4，若平面内一个动点M与点A的距离是它与点B距离的eq \r(2)倍，则△MAB面积的最大值为( D )
A．64B．12
C．6eq \r(2)D．8eq \r(2)
【解析】 以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，设M(x，y)，由题意可得：eq \r(x＋22＋y2)＝eq \r(2)·eq \r(x－22＋y2)，整理得：(x－6)2＋y2＝32.则M到AB所在直线的距离的最大值为4eq \r(2)，∴△MAB的面积的最大值为eq \f(1,2)×4×4eq \r(2)＝8eq \r(2).故选D.
二、多项选择题
9.若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的是( ABD )
A．直线l2的斜率为定值
B．当c＝25时，|PQ|的最小值为eq \f(3,2)
C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20
D．c≠10
【解析】 ∵l1∥l2，∴eq \f(a,3)＝eq \f(8,4)≠eq \f(c,5)，∴a＝6，c≠10，故A、D正确；∵|PQ|的最小值为两平行直线间的距离，∴当c＝25时，d＝eq \f(|10－25|,\r(62＋82))＝eq \f(3,2)，故B正确；当|PQ|的最小值为1时，d＝eq \f(|10－c|,\r(62＋82))＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误．
10. (2023·桃城区校级模拟)已知直线l：x＋y－4＝0，圆O：x2＋y2＝2，M是l上一点，MA，MB分别是圆O的切线，则( BD )
A．直线l与圆O相切
B．圆O上的点到直线l的距离的最小值为eq \r(2)
C．存在点M，使∠AMB＝90°
D．存在点M，使△AMB为等边三角形
【解析】 圆O：x2＋y2＝2的圆心为(0,0)，半径r＝eq \r(2)，圆心到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝eq \f(|0＋0－4|,\r(2))＝2eq \r(2)＞r，故直线l与圆相离，故A错误；∴圆O上的点到直线l的距离的最小值为2eq \r(2)－eq \r(2)＝eq \r(2)，故B正确；当OM⊥直线l时，OM＝2eq \r(2)，此时MA＝MB＝eq \r(6)，故此时，OA＜MA，∴∠AMO＜45°，∴∠AMB＜90°，故不存在点M，使∠AMB＝90°，故C不正确；当M在直线l上移动时，∠AMB越来越小，可接近0°，所以存在点M，使△AMB为等边三角形，故D正确；故选BD.
三、填空题
11. (2023·东莞市校级三模)若圆C与y轴相切，与直线l：y＝eq \f(\r(3),3)x也相切，且圆C经过点P(2，eq \r(3))，则圆C的半径为 1或eq \f(7,3) .
【解析】 由题意，在直线l：y＝eq \f(\r(3),3)x中，倾斜角为30°，∴圆C的圆心在两切线所成角的角平分线y＝eq \r(3)x上．设圆心C(a，eq \r(3)a)，则圆C的方程为：(x－a)2＋(y－eq \r(3)a)2＝a2，将点P(2，eq \r(3))的坐标代入上式，得(2－a)2＋(eq \r(3)－eq \r(3)a)2＝a2，解得：a＝1或a＝eq \f(7,3)，∴圆C的半径为1或eq \f(7,3).
12. (2023·惠州校级模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|－|PM|的最大值是 4＋eq \r(2) .
【解析】 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，则圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径为1，圆C2的圆心坐标为(3,4)，半径为3，则点C1(2,3)，点C2(3,4)在x轴的同侧，则|PC2|－|PC1|≤|C1C2|＝eq \r(2－32＋3－42)＝eq \r(2)，当且仅当C1、C2、P三点共线时取等号，则|PN|－|PM|≤(|PC2|＋3)－(|PC1|－1)＝|PC2|－|PC1|＋4≤|C1C2|＋4＝eq \r(2)＋4，即|PN|－|PM|的最大值是4＋eq \r(2).
四、解答题
13.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【解析】 (1)(代入法)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
14.已知圆P以点P(－2,1)为圆心，并且经过坐标原点O，设直线l：kx－y＋k＝0(k∈R)与圆P相交于M、N两点．
(1)求圆P的标准方程；
(2)若|OM|＝|ON|，求实数k及|MN|的值；
(3)当k变化时，求弦长|MN|的取值范围．
【解析】 (1)依题意，
圆P的半径r＝eq \r(－22＋1)＝eq \r(5)，
所以圆P的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
(2)∵|OM|＝|ON|，|PM|＝|PN|，
∴OP⊥MN，
又kOP＝－eq \f(1,2)，直线l的斜率为k＝2，
故直线l的方程为2x－y＋2＝0，
由点P到直线的距离d＝eq \f(|－4－1＋2|,\r(5))＝eq \f(3,\r(5))，
所以|MN|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(5－\f(9,5))＝eq \f(8,5)eq \r(5).
(3)当k变化时，直线l：kx－y＋k＝0经过定点A(－1,0)，
因为当PA垂直l时，|MN|最小，此时P到直线的距离d＝|PA|＝eq \r(2)，
所以|MN|min＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(3)，
又直线l：kx－y＋k＝0经过圆心P时，
|MN|max＝2r＝2eq \r(5)，
故|MN|的取值范围为[2eq \r(3)，2eq \r(5)]．
15. (2023·江西模拟)已知圆C过点O(0,0)，A(－1，eq \r(3))，B(2,2eq \r(3))．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若过点C且与x轴平行的直线与圆C交于点M，N，点P为直线x＝5上的动点，直线PM，PN与圆C的另一个交点分别为E，F(EF与MN不重合)，证明：直线EF过定点．
【解析】 (1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
又圆C过点O(0,0)，A(－1，eq \r(3))，B(2,2eq \r(3))．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,1＋3－D＋\r(3)E＋F＝0，,4＋12＋2D＋2\r(3)E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－2\r(3)，,F＝0，))
∴x2＋y2－2x－2eq \r(3)y＝0，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝4.
(2)证明：由题意得C(1，eq \r(3))，
∴直线MN：y＝eq \r(3)，
点M(－1，eq \r(3))，点N(3，eq \r(3))，
设点P(5，y0)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，
∴kPM＝eq \f(y0－\r(3),5－－1)＝eq \f(y0－\r(3),6)，
kPN＝eq \f(y0－\r(3),5－3)＝eq \f(y0－\r(3),2)，
∴3kPM＝kPN，
又kPM＝kEM＝eq \f(y1－\r(3),x1－－1)＝eq \f(y1－\r(3),x1＋1)，
kPN＝kFN＝eq \f(y2－\r(3),x2－3)，
∴9·eq \f(y1－\r(3)2,x1＋12)＝eq \f(y2－\r(3)2,x2－32)，
又E，F在圆C上，
∴(x1－1)2＋(y1－eq \r(3))2＝4，(x2－1)2＋(y2－eq \r(3))2＝4，
∴9·eq \f(4－x1－12,x1＋12)＝eq \f(4－x2－12,x2－32)，
即eq \f(9[x1＋12－4x1＋1],x1＋12)＝eq \f(x2－32－4x2－3,x2－32)，
∴9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,x1＋1)))＝1＋eq \f(4,x2－3)，
整理得：2x1x2－7(x1＋x2)＋20＝0，
当直线EF斜率存在时，设直线EF的方程为y＝kx＋b，
代入(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝4，得(1＋k2)x2＋(2kb－2eq \r(3)k－2)x＋b2－2eq \r(3)b＝0，
得b＝eq \r(3)－2k或b＝eq \r(3)－5k，
当b＝eq \r(3)－2k时，直线EF的方程为y－eq \r(3)＝k(x－2)，过点(2，eq \r(3))，
当b＝eq \r(3)－5k时，直线EF的方程为y－eq \r(3)＝k(x－5)，过点(5，eq \r(3))，在直线x＝5上，不成立，
当直线斜率不存在时，x1＝x2，即2xeq \\al(2,1)－14x1＋20＝0，解得x1＝2或x1＝5(舍去)，
∴直线EF过点(2，eq \r(3))成立，
综上所述，直线EF恒过点(2，eq \r(3))．