新教材适用2024版高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第3讲创新情境与数学文化

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第3篇方法技巧引领必考小题练透第3讲创新情境与数学文化，共5页。试卷主要包含了 荀子曰，546 1 B．0，5°＝cs 56等内容，欢迎下载使用。
1. (2023·天津)荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由题意可得：“积跬步”未必能“至千里”，但要“至千里”必须“积跬步”，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．故选B.
2. (2022·内蒙古赤峰高三统考阶段练习)
材料一：已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为S＝eq \r(pp－ap－bp－c)，其中p＝eq \f(a＋b＋c,2).这个公式被称为海伦一秦九韶公式．
材料二：阿波罗尼奥斯(Apllnius)在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
根据材料一或材料二解答：已知△ABC中，BC＝6，AB＋AC＝10，则△ABC面积的最大值为( C )
A．6 B．10
C．12 D．20
【解析】 令AB＝x，则AC＝10－x且BC＝6，故x∈(2,8)，而p＝eq \f(a＋b＋c,2)＝8，所以△ABC面积S＝eq \r(168－xx－2)＝eq \r(－16x－52＋144)，当x＝5时，Smax＝12.故选C．
3. (2022·河南高三校联考阶段练习)在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2°12′的正弦值为0.038 4,30°54′的正弦值为0.513 5，等等．则根据该表，416.5°的余弦值为( B )
A．0.546 1 B．0.551 9
C．0.550 5 D．0.573 6
【解析】 由题意，cs 416.5°＝cs 56.5°＝sin 33.5°＝sin 33°30′，查表可知sin 33°30′＝0.551 9.故选B.
4. (2022·浙江校联考模拟预测)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ(0°≤θb>0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2＋y2＝a2＋b2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．该图由法国数学家G-Mnge(1746—1818)最先发现．若椭圆C的离心率为e，左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与蒙日圆Γ相交于M，N，则eq \f(|PM|·|PN|,|PF1|·|PF2|)＝( B )
A．eq \f(1,e2) B．1
C．e2 D．以上答案均不正确
【解析】 令|PF1|·|PF2|＝m，因为|PF1|＋|PF2|＝2a，则|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，所以PFeq \\al(2,1)＋PFeq \\al(2,2)＝4a2－2m，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(PF1,\s\up6(→))＋\(PF2,\s\up6(→))＝2\(PO,\s\up6(→))，,\(PF1,\s\up6(→))－\(PF2,\s\up6(→))＝\(F2F1,\s\up6(→))，))所以eq \(PF1,\s\up6(→))2＋eq \(PF2,\s\up6(→))2＋2eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝4eq \(PO,\s\up6(→))2①，eq \(PF1,\s\up6(→))2＋eq \(PF2,\s\up6(→))2－2eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \(F2F1,\s\up6(→))2②则①＋②可得8a2－4m＝4eq \(PO,\s\up6(→))2＋4c2，解得eq \(PO,\s\up6(→))2＝2a2－c2－m，所以|PM|·|PN|＝(r－|PO|)(r＋|PO|)＝r2－|PO|2＝a2＋b2－(2a2－c2－m)＝m，故eq \f(|PM|·|PN|,|PF1|·|PF2|)＝1，故选B.
7. (2022·全国高三专题练习)2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))的值为( A )
A．24 B．6
C．6eq \r(3) D．6eq \r(2)
【解析】 在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，|eq \(OM,\s\up6(→))|＝4，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4cs \f(π,3)，4sin \f(π,3)))＝(2,2eq \r(3))，|eq \(MP,\s\up6(→))|＝eq \f(8,3)，即eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)，0))，|eq \(PN,\s\up6(→))|＝eq \f(2,3)，由分形知PN∥OM，所以eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(\r(3),3)))，所以eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(7\r(3),3)))，所以eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝2×5＋2eq \r(3)×eq \f(7\r(3),3)＝24.故选A．
8. (2022·广东深圳)享有“数学王子”称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一，y＝[x]被称为“高斯函数”，其中x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]＝2，[3]＝3，[－1.5]＝－2，设x0为函数f(x)＝x＋lg x－5的零点，则[x0]＝( B )
A．3 B．4
C．5 D．6
【解析】 因为函数f(x)＝x＋lg x－5在(0，＋∞)上单调递增，且f(4)＝lg 4－10，则存在唯一零点x0∈(4,5)，使得f(x0)＝0，由高斯函数的定义可知，[x0]＝4.故选B.
9. (2023·山西忻州)拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝(x－2)ln x在[1,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 f′(x)＝1＋ln x－eq \f(2,x)，令x0为函数f(x)＝(x－2)ln x在[1,2]上的“拉格朗日中值点”，则1＋ln x0－eq \f(2,x0)＝eq \f(f2－f1,2－1)＝0，令g(x)＝1＋ln x－eq \f(2,x)，则g′(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(2,x2)>0在[1,2]上恒成立，故g(x)＝1＋ln x－eq \f(2,x)在[1,2]上单调递增，又g(1)＝1－2＝－10，由零点存在性定理可得：存在唯一的x0∈[1,2]，使得g(x0)＝0.故选B.
10. (2022·湖北武汉)正整数1,2,3，…，n的倒数的和1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当n很大时1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)≈ln n＋γ.其中γ称为欧拉—马歇罗尼常数，γ≈0.577 215 664 901…，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数．设[x]表示不超过x的最大整数．用上式计算eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋…＋\f(1,2 022)))的值为(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 10≈2.30)( B )
A．7 B．8
C．9 D．10
【解析】 由题意知1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2 022)＝ln 2 022＋γ.而ln 2 022＝ln(2×3×337)＝ln 2＋ln 3＋ln 337≈1.79＋ln 337，又ln 300