新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题6概率与统计第2讲随机变量及其分布列

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题6概率与统计第2讲随机变量及其分布列，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1. (2023·天河区期末)已知随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，则P(X≥1)的值为( A )
A.eq \f(80,81)B．eq \f(16,81)
C．eq \f(65,81)D．eq \f(1,81)
【解析】 随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，则X的可能取值为0,1,2,3,4，P(X＝0)＝Ceq \\al(0,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4＝eq \f(1,81)，则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq \f(1,81)＝eq \f(80,81).故选A.
2. (2023·无锡模拟)甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不相等的概率是( A )
A．0.607 6B．0.751 6
C．0.392 4D．0.248 4
【解析】 两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32＋Ceq \\al(1,2)×0.6×0.4×Ceq \\al(1,2)×0.7×0.3＋0.62×0.72＝0.392 4，故两人投中次数不相等的概率为1－0.392 4＝0.607 6.故选A.
3. (2023·庐江县期末)随机变量X～B(100，p)，且E(X)＝20，则D(2X－1)＝( A )
A．64B．128
C．256D．32
【解析】 由于X～B(100，p)，且E(X)＝20，则100p＝20，得p＝0.2，D(X)＝100p(1－p)＝20×(1－0.2)＝16，D(2X－1)＝22D(X)＝64.故选A.
4. (2023·临川区校级月考)下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( B )
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X
【解析】 对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X，则X服从二项分布；对于B，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，选出女生的人数为X，则X服从超几何分布；对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X，则X服从二项分布；对于D，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是第一次摸出黑球时的次数，则X不服从超几何分布．故选B.
5. (2022·疏附县一模)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝eq \f(5,9)，则P(η≥2)的值为( B )
A.eq \f(32,81)B．eq \f(11,27)
C．eq \f(65,81)D．eq \f(16,81)
【解析】 ∵随机变量ξ～B(2，p)，P(ξ≥1)＝eq \f(5,9)，∴1－Ceq \\al(0,2)p0·(1－p)2＝eq \f(5,9)，∴p＝eq \f(1,3)，∴η～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,3)))，∴P(η≥2)＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋Ceq \\al(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))1＋Ceq \\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))0＝eq \f(11,27)，故选B.
6. (2023·温州模拟)随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝eq \f(1,3)，则D(3X－2)＝( C )
A.9B．7
C．5D．3
【解析】 ∵E(X)＝eq \f(1,3)，∴由随机变量X的分布列得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋a＋b＝1，,－\f(1,6)＋b＝\f(1,3)，))解得a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(1,2)，∴D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1－\f(1,3)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(1,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9).∴D(3X－2)＝9D(X)＝9×eq \f(5,9)＝5.故选C.
7. (2023·沙坪坝区校级模拟)抛一枚硬币，若抛到正面则停止，抛到反面则继续抛，已知该硬币抛到正反两面是等可能的，则以上操作硬币反面朝上的次数期望为( B )
A.eq \f(3,4)B．1
C．eq \f(9,8)D．eq \f(5,4)
【解析】 设反面朝上的次数为X，则X的可能取值为0,1,2，…，n，P(X＝k)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))k＋1，(k＝1,2,3，…n)，E(X)＝0×eq \f(1,2)＋1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＋…＋neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＋1①，eq \f(1,2)E(X)＝0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＋…＋neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＋2②，①－②得，E(X)＝eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＋1＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2))－n(eq \f(1,2))n＋1＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＋1，当n→＋∞时，E(X)＝1.故选B.
8. (2023·咸宁模拟)设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在(0,1)内减小时，( C )
A．D(X)减小B．D(X)增大
C．D(X)先减小后增大D．D(X)先增大后减小
【解析】 根据题意可得，E(X)＝eq \f(0＋a＋1,3)＝eq \f(a＋1,3)，D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(a＋1,3)))2·eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(a＋1,3)))2·eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(a＋1,3)))2·eq \f(1,3)＝eq \f(6a2－6a＋6,27)＝eq \f(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋\f(9,2),27)，所以D(X)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))单调递增，所以D(X)先减小后增大．故选C.
二、多项选择题
9. (2023·辽宁模拟)若随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(2,3)))，下列说法中正确的是( BCD )
A．P(X＝3)＝Ceq \\al(3,10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))7
B．期望E(X)＝eq \f(20,3)
C．期望E(3X＋2)＝22
D．方差D(3X＋2)＝20
【解析】 因X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(2,3)))，所以P(X＝3)＝Ceq \\al(3,10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))7，故A错误．E(X)＝10×eq \f(2,3)＝eq \f(20,3)，故B正确．E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×eq \f(20,3)＋2＝22，故C正确．D(X)＝10×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＝eq \f(20,9)，D(3X＋2)＝32D(X)＝9×eq \f(20,9)＝20，故D正确．故选BCD.
10. (2023·荆州模拟)下列结论正确的是( CD )
A．若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝eq \f(1,2)，则D(X)＝eq \f(1,2)
B．若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝8
C．若随机变量ξ服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,2)))，则P(ξ＝3)＝eq \f(1,4)
D．若随机变量η服从正态分布N(5，σ2)，P(η