2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题六函数与导数微专题4导数的综合应用大题考法3利用导数解决不等式恒成立存在性问题

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(1)当a＝1时，证明：f(x)≤ln x；
(2)已知eq \f(x－1,ln x)>eq \f(ln x,f（x）)在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
(1)证明：a＝1时，f(x)＝eq \f(x－1,x)，
令g(x)＝eq \f(x－1,x)－ln x，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝eq \f(1,x2)－eq \f(1,x)＝eq \f(1－x,x2)，
所以g(x)在(0，1)递增，在(1，＋∞)递减，
所以g(x)≤g(1)＝0，即eq \f(x－1,x)≤ln x.
(2)解：当a0时，因为eq \f(a（x－1）2,x)>(ln x)2，所以eq \r(a)eq \f(x－1,\r(x))>ln x，
令t＝eq \r(x)>1，所以eq \r(a)(t－eq \f(1,t))>2ln t，
当a≥1时，eq \r(a)(t－eq \f(1,t))≥t－eq \f(1,t)，
令h(t)＝t－eq \f(1,t)－2ln t，(t>1)，
因为h′(t)＝1＋eq \f(1,t2)－eq \f(2,t)＝eq \f(t2－2t＋1,t2)≥0，
所以h(t)在(1，＋∞)上单调递增，
所以t>1时，h(t)>h(1)＝0，所以eq \r(a)(t－eq \f(1,t))>2ln t，
所以a≥1时成立，
当00时，令h(x)＝g′(x)，
则h′(x)＝2ex＋eq \f(2a,（x＋1）2)＋cs x>0，
故h(x)即g′(x)在[0，π]上单调递增，
又g′(0)＝2－2a，
①当0