2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计01真题赏析类型五统计案例

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(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，eq \f(P（B|A）,P（B|A）)与eq \f(P（B|A）,P（B|A）)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
(ⅰ)证明：R＝eq \f(P（A|B）,P（eq \(A,\s\up6(－))|B）)·eq \f(P（eq \(A,\s\up6(－)) |eq \(B,\s\up6(－))）,P（A|eq \(B,\s\up6(－))）)；
(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|EQ \* jc2 \* hps10 \\ad(\s\up 9(—),B))的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．
附：K2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).
解：(1)补充列联表为：
计算K2＝eq \f(200×（40×90－10×60）2,100×100×50×150)＝24>6.635，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
(2)(ⅰ)证明：R＝eq \f(P（B|A）,P（eq \(B,\s\up6(－))|A）)∶eq \f(P（B|eq \(A,\s\up6(－))）,P（eq \(B,\s\up6(－))|eq \(A,\s\up6(－))）)＝eq \f(P（B|A）,P（eq \(B,\s\up6(－))|A）)·eq \f(P（eq \(B,\s\up6(－))|eq \(A,\s\up6(－))）,P（B|eq \(A,\s\up6(－))）)＝eq \f(\f(P（AB）,P（A）),\f(P（Aeq \(B,\s\up6(－))）,P（A）))·eq \f(\f(P（eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))）,P（eq \(A,\s\up6(－))）),\f(P（eq \(A,\s\up6(－))B）,P（eq \(A,\s\up6(－))）))＝eq \f(P（AB）·P（Aeq \(B,\s\up6(－))）,P（eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))）·P（eq \(A,\s\up6(－))B）)＝eq \f(\f(P（A B）,P（B）),\f(P（eq \(A,\s\up6(－))B）,P（B）))·eq \f(\f(P（eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))）,P（eq \(B,\s\up6(－))）),\f(P（Aeq \(B,\s\up6(－))）,P（eq \(B,\s\up6(－))）))＝eq \f(P（A|B）,P（eq \(A,\s\up6(－))|B）)·eq \f(P（eq \(A,\s\up6(－))|eq \(B,\s\up6(－))）,P（A|eq \(B,\s\up6(－))）).
(ⅱ)利用调查数据，P(A|B)＝eq \f(40,100)＝eq \f(2,5)，P(A|B)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10)，P(EQ \* jc2 \* hps10 \\ad(\s\up 9(—),A)|EQ \* jc2 \* hps10 \\ad(\s\up 9(—),B))＝1－P(A|B)＝eq \f(3,5)，P(EQ \* jc2 \* hps10 \\ad(\s\up 9(—),A)||EQ \* jc2 \* hps10 \\ad(\s\up 9(—),B))＝1－P(A|EQ \* jc2 \* hps10 \\ad(\s\up 9(—),B))＝eq \f(9,10)，所以R＝eq \f(\f(2,5),\f(3,5))×eq \f(\f(9,10),\f(1,10))＝6.
2．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
并计算得eq \i\su(i＝1,10, )xeq \\al(2,i)＝0.038，eq \i\su(i＝1,10, )yeq \\al(2,i)＝1.615 8，eq \i\su(i＝1,10, )xiyi＝0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r＝eq \f(eq \i\su(i＝1,n, )（xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(eq \i\su(i＝1,n, )（xi－\(x,\s\up6(－))）eq \i\su(i＝1,n, )（yi－\(y,\s\up6(－))）2))，eq \r(1.896)≈1.377.
解：(1)设这种树木平均一棵的根部横截面积为eq \(x,\s\up6(－))，平均一棵的材积量为eq \(y,\s\up6(－))，
则根据题中数据得：eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(0.6,10)＝0.06(m2)，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(3.9,10)＝0.39 (m3)．
(2)由题可知，r＝eq \f(eq \i\su(i＝1,10, )（xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(eq \i\su(i＝1,10, )（xi－\(x,\s\up6(－))）2eq \i\su(i＝1,10, )（yi－\(y,\s\up6(－))）2))
＝eq \f(eq \i\su(i＝1,10, )xi yi－n\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\r(（xi－\(x,\s\up6(－))）2（eq \i\su(i＝1,10, ) yi－\(y,\s\up6(－))）2))
＝eq \f(0.013 4,\r(0.002×0.094 8))
＝eq \f(0.013 4,0.01×\r(1.896))
＝eq \f(0.013 4,0.013 77)
≈0.97.
(3)设总根部面积和X，总材积量为Y，则eq \f(X,Y)＝eq \f(\(x,\s\up6(－)),y)，故Y＝eq \f(0.39,0.06)×186＝1 209(m3)．不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
不够良好
良好
合计
病例组
40
60
100
对照组
10
90
100
合计
50
150
200
样本号i
1
2
3
4
5
6
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
样本号i
7
8
9
10
总和
—
根部横截面积xi
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
—
材积量yi
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
—