2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微专题2统计案例大题考法3非线性回归方程

这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微专题2统计案例大题考法3非线性回归方程，共3页。试卷主要包含了7＋2×0＋3×0，1x－3，9－6×3，8－1，6－0等内容，欢迎下载使用。

(1)该公司科研团队通过分析散点图的特征后，计划分别用①y＝bx＋a和②y＝edx＋c两种方案作为年销售量y关于年投资额x的回归分析模型，请根据统计表的数据，确定方案①和②的经验回归方程；(注：系数b，a，d，c按四舍五入保留一位小数)
(2)根据下表中数据，用相关指数R2(不必计算，只比较大小)比较两种模型的拟合效果哪个更好，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量是多少？
参考公式及数据：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )（x i－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1, n, )（x i－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )x i yi－n\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1, n, )xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2),
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)),R2＝1－eq \f(\i\su(i＝1,n, )（yi－eq \(y,\s\up6(^))i）2,\i\su(i＝1, n, )（y i－\(y,\s\up6(－))）2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )(yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2,\i\su(i＝1, n, )yeq \\al(2,i)－n\(y,\s\up6(－))2)
eq \i\su(i＝1,6, )xizi＝－1×0.7＋2×0＋3×0.4＋4×1.1＋5×1.8＋6×2.5＝28.9，e3.4＝30.
解析：(1)由题可得eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)(0.5＋1＋1.5＋3＋6＋12)＝4，eq \i\su(i＝1,6, )xiyi ＝1×0.5＋2×1＋3×1.5＋4×3＋5×6＋6×12＝121,eq \i\su(i＝1,6, )xeq \\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
所以b＝eq \f(\i\su(i＝1,6, )x i yi－6\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6, )xeq \\al(2,i)－6\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(121－6×4×3.5, 91－6×3.52)≈2.11，a＝eq \(y,\s\up6(－))－beq \(x,\s\up6(－))＝4－2.11×3.5≈－3.4，
方案①回归方程y＝2.1x－3.4，
对y＝edx＋c两边取对数得：ln y＝dx＋c，令z＝ln y，z＝dx＋c是一元线性回归方程，eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)(－0.7＋0＋0.4＋1.1＋1.8＋2.5)＝0.85，
d＝eq \f(\i\su(i＝1,6, )x i yi－6\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6, )xeq \\al(2,i)－6\(x,\s\up6(－))2)eq \f(28.9－6×3.5×0.85,91－6×3.52)≈0.63，
c＝eq \(z,\s\up6(－))－deq \(x,\s\up6(－))＝0.85－0.63×3.5≈－1.4，
方案②回归方程y＝e0.6x－1.4.
(2)方案①相关指数Req \\al(2,1)＝1－eq \f(18.29,\i\su(i＝1,n, )yeq \\al(2,i)－n\(y,\s\up6(－))2)，
方案②相关指数Req \\al(2,2)＝1－eq \f(0.65,\i\su(i＝1,n, )yeq \\al(2,i)－n\(y,\s\up6(－))2)，Req \\al(2,1)＜Req \\al(2,2)，
故模型②的拟合效果更好，精度更高，
当研发年投资额为8百万元时，产品的年销售量y＝e4.8－1.4＝e3.4＝30(千件).
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解答非线性回归方程问题时，变量置换是关键，即将非线性回归问题转化为线性回归问题．,
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(2023·广州二模)一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x(单位：千万元)对每件产品成本y(单位：元)的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi(i＝1，2，3，…，10)的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：eq \(x,\s\up6(－))＝6.8，eq \(y,\s\up6(－))＝70，3，eq \i\su(i＝1,10, )eq \f(1,xi)＝3,eq \i\su(i＝1,10, )eq \f(1, xeq \\al(2,i))＝1.6，eq \i\su(i＝1,10, )eq \f(yi,xi)＝350.
(1)根据散点图可知，可用函数模型y＝eq \f(b,x)＋a拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；
(2)已知该产品的年销售额m(单位：千万元)与每件产品成本y的关系为m＝－eq \f(y2,500)＋eq \f(2y,25)＋eq \f(200,y－10)＋100.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据(1)的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？(注：年利润＝年销售额－年投入成本)
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小乘估计分别为eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )u iui－n\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n, )u2 i－n\(u,\s\up6(－))2),eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(v,\s\up6(－))－eq \(β,\s\up6(^))eq \(u,\s\up6(－)).
解：(1)令u＝eq \f(1,x)，则y关于u的线性回归方程为y＝α＋βu，,由题意可得eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )u iyi－10\(u,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n, )ueq \\al(2,i)－10\(u,\s\up6(－))2)＝eq \f(350－210,1.6－0.9)＝200，
eq \(α,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(β,\s\up6(^))eq \(u,\s\up6(－))＝70－200×0.3＝10，则y＝10＋200u，
所以，y关于x的回归方程为y＝10＋eq \f(200,x).
(2)由y＝10＋eq \f(200,x)可得x＝eq \f(200,y－10)，
年利润M＝m－x－10＝－eq \f(y2,500)＋eq \f(2y,25)＋eq \f(200,y－10)＋100－eq \f(200,y－10)－10＝－eq \f(1,500)(y－20)2＋90.8，
当y＝20时，年利润M取得最大值，此时x＝eq \f(200,20－10)＝20，
所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．x
1
2
3
4
5
6
y
0.5
1
1.5
3
6
12
z＝ln y
－0.7
0
0.4
1.1
1.8
2.5
经验回归方程残差平方和
y＝bx＋a
y＝edx＋c
eq \i\su(i＝1,5, )(yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2
18.29
0.65