2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微专题3随机变量及其概率分布列大题考法1离散型随机变量的期望和方差

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(1)记第一次比赛时从盒中取出的3个球中旧球的个数为X，求X的分布列与数学期望；
(2)求第二次比赛时取出的球为新球的概率.
解：(1)依题意，从盒中取出的3个球中旧球的个数X的所有可能取值为0，1，2，3，
所以P（X＝0）＝Ａeq \f(Ceq \\al(0,3)Ceq \\al(3,9),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(84,220)＝eq \f(21,55)，
P(X＝1)＝eq \f(Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,9),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(108,220)＝eq \f(27,55)，P(X＝2)＝eq \f(Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,9),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(27,220)，
P(X＝3)＝eq \f(Ceq \\al(3,3)Ceq \\al(0,9),Ceq \\al(3,12))＝eq \f(1,220)，
所以X的分布列为：
所以E(X)＝0×eq \f(21,55)＋1×eq \f(27,55)＋2×eq \f(27,220)＋3×eq \f(1,220)＝eq \f(33,44).
(2)设事件A表示第二次比赛时取出的球为新球，事件Bi为第一次比赛时取出的3个球中有i个新球，其i＝0，1，2，3，
由(1)可得P(B0)＝eq \f(1,220)，P(B1)＝eq \f(27,220)，P(B2)＝eq \f(27,55)，P(B3)＝eq \f(21,55)，
根据题意，P(A|B0)＝eq \f(9,12)＝eq \f(3,4)，P(A|B1)＝eq \f(8,12)＝eq \f(2,3)，
P(AB2)＝eq \f(7,12)，P(AB3)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，
所以根据全概率公式可得P(A)＝eq \i\su(i＝1,3, )P(B1)P(AB1)＝eq \f(1,220)×eq \f(3,4)＋eq \f(27,220)×eq \f(2,3)＋eq \f(27,55)×eq \f(7,12)＋eq \f(21,55)×eq \f(1,2)＝eq \f(9,16).
1．求离散型随机变量的分布列的关键是准确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式求出概率．
2．如果可以判定离散型随机变量服从超几何分布或者二项分布可以直接套用公式解决问题．
(2023·揭阳模拟)某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从6个跟团游团队和3个私家游团队中随机抽取一些团队展开满意度调查，并将这些团队依次编号．
(1)若一次抽取两个号码，求这两个号码全是私家游团队的概率；
(2)假设有放回地一次性抽取1个号码，连续抽取4次，设4次抽到私家游团队的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
解：(1)这两个号码全是私家游团队的概率为eq \f(Ceq \\al(2,3),Ceq \\al(2,9))＝eq \f(1,12).
(2)由题意可知ξ的取值为0，1，2，3，4，
有放回地一次性抽取1个号码，每次抽到私家游团队的概率为eq \f(1,3)，P(ξ＝0)＝(eq \f(2,3))4＝eq \f(16,81)，
P(ξ＝1)＝Ceq \\al(1,4)·eq \f(1,3)·(eq \f(2,3))3＝eq \f(32,81)，
P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,4)·(eq \f(1,3))2·(eq \f(2,3))2＝eq \f(8,27)，
P(ξ＝3)＝Ceq \\al(3,4)·(eq \f(1,3))3·eq \f(2,3)＝eq \f(8,81)，
P(ξ＝4)＝(eq \f(1,3))4＝eq \f(1,81)，
ξ的分布列为：
E(ξ)＝0×eq \f(16,81)＋1×eq \f(32,81)＋2×eq \f(8,27)＋3×eq \f(8,81)＋4×eq \f(1,81)＝eq \f(4,3).X
0
1
2
3
P
eq \f(21,55)
eq \f(27,55)
eq \f(27,220)
eq \f(1,220)
ξ
0
1
2
3
4
P
eq \f(16,81)
eq \f(32,81)
eq \f(8,27)
eq \f(8,81)
eq \f(1,81)