2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微专题3随机变量及其概率分布列大题考法2概率与统计的综合

这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微专题3随机变量及其概率分布列大题考法2概率与统计的综合，共3页。试卷主要包含了002×10＋0等内容，欢迎下载使用。

将收看该节目时间不低于80分钟的观众称为“考古热爱者”．将上述调查所得到的频率视为概率．
(1)求出a的值，并估计该地区的观众收看《回望2022—国内国际十大考古新闻》的平均时间(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(2)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样的方法抽取10名观众，记被抽取的10名观众中的“考古热爱者”人数为X，求X的数学期望；
(3)按是否为“考古热爱者”用分层抽样的方法从这200名观众中抽取10名观众，再从抽取的10名观众中随机抽取3名，Y表示抽取的观众中是“考古热爱者”的人数，求Y的分布列．
解：(1)由题意可得0.002×10＋0.012×10＋0.020×10＋0.022×10＋0.020×10＋0.014×10＋a×10＝1，
解得a＝0.010，
估计该地区的观众收看《回望2022—国内国际十大考古新闻》的平均时间为：
x＝0.002×10×25＋0.012×10×35＋0.020×10×45＋0.022×10×55＋0.020×10×65＋0.014×10×75＋0.010×10×85＝57.8.
(2)“考古热爱者”对应的频率为0.01×10＝eq \f(1,10)，
用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取1名观众，该观众是“考古热爱者”的概率为eq \f(1,10)，则X～B(10，eq \f(1,10))，所以X的数学期望E(X)＝10×eq \f(1,10)＝1.
(3)根据分层抽样原则知，抽取的10人中，有“考古热爱者”10×eq \f(1,10)＝1(人)，非“考古热爱者”10×eq \f(9,10)＝9(人)，
则Y所有可能的取值为0，1，
因为P(Y＝0)＝eq \f(Ceq \\al(3,9),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(7,10)，P(Y＝1)＝eq \f(Ceq \\al(2,9)Ceq \\al(1,1),Ceq \\al(3,10))＝eq \f(3,10)，
所以Y的分布列为：
注意概率与统计的衔接点即可，审题是关键．
(2023·深圳龙岗区校级一模)某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设xi表示第i天的平均气温，yi表示第i天参与活动的人数，i＝1，2，…，20，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：
eq \i\su(i＝1,20, ) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝80，eq \i\su(i＝1,20, ) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝9 000，eq \i\su(i＝1,20, ) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝800.
(1)根据所给数据，用相关系数r(精确到0.01)判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；
(2)现有两个家庭参与套圈，A家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为eq \f(3,10)，B家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,6)，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费20元，每个小白兔价值40元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？
附：相关系数r＝eq \f(eq \i\su(i＝1,n, )xiyi－n\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\r(eq \i\su(i＝1,n, )（xi－\(x,\s\up6(－))）2eq \i\su(i＝1,n, )（yi－\(y,\s\up6(－))）2))
解：(1)由题可知r＝eq \f(eq \i\su(i＝1,20, )xiyi－20\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\r(eq \i\su(i＝1, 20, )（xi－\(x,\s\up6(－))）2eq \i\su(i＝1, 20, )（yi－\(y,\s\up6(－))）2))＝
eq \f(eq \i\su(i＝1,20, )（xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\r(eq \i\su(i＝1, 20, )（xi－\(x,\s\up6(－))）2eq \i\su(i＝1, 20, )（yi－\(y,\s\up6(－))）2))eq \f(800,\r(80×9 000))＝eq \f(2\r(2),3)≈0.94，
故可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)设A家庭中套中小白兔的人数为X1，则X1～B(3，eq \f(3,10))，
所以E(X1)＝3×eq \f(3,10)＝eq \f(9,10).
设A家庭的盈利为X2元，则X2＝40X1－60，
所以E(X2)＝40E(X1)－60＝－24.
设B家庭中套中小白兔的人数为Y1，
则Y1的所有可能取值为0，1，2，3，
P(Y1＝0)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(5,6)＝eq \f(5,12)，
P(Y1＝1)＝eq \f(1,3)×eq \f(3,4)×eq \f(5,6)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \f(5,6)＋eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(31,72)，
P(Y1＝2)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \f(5,6)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,4)×eq \f(1,6)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(5,36)，
P(Y1＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,72)，
所以E(Y1)＝0×eq \f(5,12)＋1×eq \f(31,72)＋2×eq \f(5,36)＋3×eq \f(1,72)＝eq \f(3,4).
设B家庭的盈利为Y2元，则Y2＝40Y1－60，
所以E(Y2)＝40E(Y1)－60＝40×eq \f(3,4)－60＝－30.
因为－24>－30，所以B家庭的损失较大．Y
0
1
P
eq \f(7,10)
eq \f(3,10)