2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微中微抛物线中的切线问题角度2利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题

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设抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点为F，准线为l，点P为C上的一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M，且|MF|＝|FP|，eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点Q为C外的一点且Q点不在坐标轴上，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，过点Q作y轴的垂线，垂足为S，连接AS，BS，证明：直线AS与直线BS关于y轴对称．
(1)解：因为|PM|＝|PF|＝|FM|，所以△PFM为等边三角形，所以∠FMP＝∠PFM＝60°，
又eq \(FM,\s\up6(→))·eq \(FP,\s\up6(→))＝|FM|·|FP|cs∠PFM＝|FM|2cs 60°＝2，所以|FM|＝2，
设直线l交y轴于N点，则在Rt△MNF中∠NMF＝30°，|NF|＝1＝p，所以C的方程为x2＝2y.
(2)证明：设点Q(a，b)(a≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又C的方程为x2＝2y可化为y＝eq \f(x2,2)，所以y′＝x，
所以过A点且与C相切的直线的斜率为x1，过点B且与C相切的直线的斜率为x2，所以直线QA的方程为y－y1＝x1(x－x1)，直线QB的方程为y－y2＝x2(x－x2)．
又直线QA与QB均过点Q，b－y1＝x1(a－x1)，b－y2＝x2(a－x2)，
又xeq \\al(2,1)＝2y1，xeq \\al(2,2)＝2y2，所以y1＝ax1－b，y2＝ax2－b，
所以直线AB的方程为y＝ax－b，
联立方程y＝ax－b和x2＝2y得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝2y，,y＝ax－b，))
消去y得x2－2ax＋2b＝0，
因为b≠0，所以x1≠0，x2≠0，
因为x1x2＝2b，
又S(0，b)，
则直线AS的斜率k1＝eq \f(y1－b,x1)；直线BS的斜率k2＝eq \f(y2－b,x2)，所以k1＋k2＝eq \f(（x1＋x2）（\f(x1x2,2)－b）,x1x2)，
因为eq \f(x1x2,2)－b＝0，
所以k1＋k2＝0，
所以直线AS与直线BS关于y轴对称．