2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题1直线与圆小题考法3直线与圆的位置关系

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A．±eq \f(\r(5),2) B．±eq \f(2\r(5),5) C．±eq \f(\r(2),2) D．±eq \f(\r(2),4)
(2)(多选题)(2023·汕头一模)已知直线l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若圆C与直线l1，l2都相切，则下列选项一定正确的是( )
A．l1与l2关于直线y＝x对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
解析：(1)设直线与圆的交点为A，B，
由题意可得△ABC是顶角为120°的等腰三角形，
则几何关系可得圆心到直线的距离为eq \f(1,2)×2＝1，
即：d＝eq \f(|2m＋0＋m|,\r(m2＋n2))＝1，整理可得：8m2＝n2，
当n＝0时，m＝0，方程mx＋ny＋m＝0不表示直线，舍去，
当n≠0时，eq \f(m,n)＝±eq \f(\r(2),4)，所以直线l的斜率为k＝－eq \f(m,n)＝±eq \f(\r(2),4).
故选D.
(2)对于A，设直线l1：2x－y－3＝0上任意一点(x0，2x0－3)关于直线y＝x对称的点为(m，n)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2x0－3－n,x0－m)＝－1，,\f(m＋x0,2)＝\f(n＋2x0－3,2)，))解得m－2n＋3＝0，所以点(m，n)在直线l2：x－2y＋3＝0上，
所以l1与l2关于直线y＝x对称，故A正确；
对于B，因为圆C的圆心在x轴上，设圆心为(a，0)，
又圆C与直线l1，l2都相切，所以r＝eq \f(|2a－3|,\r(5))＝eq \f(|a＋3|,\r(5))，解得a＝0或a＝6，
当a＝0时，r＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5)，当a＝6时，r＝eq \f(9,\r(5))＝eq \f(9\r(5),5)，故B错误；
对于C，由圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，得圆心C(a，b)，半径为r，
因为圆C与直线l1，l2都相切，
所以r＝eq \f(|2a－b－3|,\r(5))＝eq \f(|a－2b＋3|,\r(5))，
解得a＋b－6＝0或a＝b，
所以圆心C(a，b)在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上，故C正确；
对于D，由圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
得圆心C(a，b)，半径为r，
因为圆C与两坐标轴都相切，
得圆心到x轴的距离为|b|，
到y轴的距离为|a|，
所以r＝|a|且r＝|b|，即|a|＝|b|，解得a＝b或a＝－b，
当a＝b时，由题意可得eq \f(|2a－b－3|,\r(5))＝|a|，解得a＝b＝－eq \f(3（\r(5)＋1）,4)或a＝b＝eq \f(3（\r(5)－1）,4)，
当a＝－b时，不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确．
故选ACD.
答案：(1)D (2)ACD
解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
1．(多选题)(2023·茂名模拟)已知A，B为圆O：x2＋y2＝1上的两点，P为直线l：x＋y－2＝0上一动点，则( )
A．直线l与圆O相离
B．当A，B为两定点时，满足∠APB＝eq \f(π,2)的点P有2个
C．当|AB|＝eq \r(3)，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值是2eq \r(2)＋1
D．当PA，PB为圆O的两条切线时，直线AB过定点(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))
解析：对于A，圆的圆心到直线的距离为：eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)>1，所以直线l与圆O相离，所以A正确；
对于B，当A，B为两定点时，如果两个定点是圆的直径上的两点，AB与直线垂直时，不可能有满足∠APB＝eq \f(π,2)的点P，所以B不正确；
对于C，当|AB|＝eq \r(3)时，此时圆的圆心到直线的距离为eq \f(1,2)，只要AB与直线x＋y－2＝0不平行，过AB的直线与直线x＋y－2＝0相交，此时|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的值没有最大值，所以C不正确；
对于D，因为点P为直线x＋y－2＝0上，所以设P(t，2－t)，
圆O：x2＋y2＝1的圆心为C(0，0)，
所以PO中点坐标为(eq \f(t,2)，eq \f(2－t,2))，且|PO|＝eq \r(t2＋（2－t）2)，
所以以PO为直径的圆Q方程为(x－eq \f(t,2))2＋(y－eq \f(2－t,2))2＝eq \f(t2＋（2－t）2,4)，即x2＋y2－tx－(2－t)y＝0，
圆Q与圆O的公共弦直线方程为tx＋(2－t)y－1＝0，
即t(x－y)＋2y－1＝0，令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,2y－1＝0，))解得x＝y＝eq \f(1,2)，
即直线tx＋(2－t)y－1＝0过定点(eq \f(1,2)，eq \f(1,2))，D正确．
故选AD.
答案：AD
2．(多选题)(2023·东莞市模拟)已知直线l过点M(1，2)且与圆C：(x－2)2＋y2＝5相切，直线l与x轴交于点N，点P是圆C上的动点，则下列结论中正确的有( )
A．点N的坐标为(－3，0)
B．△MNP面积的最大值为10
C．当直线l与直线ax－y＋1＝0垂直时，a＝2
D．tan ∠MNP的最大值为eq \f(4,3)
解析：由题可得点M(1，2)在圆C上，
因为kMC＝eq \f(2－0,1－2)＝－2，所以直线l的斜率k＝eq \f(1,2)，因此直线l的方程为x－2y＋3＝0，
令y＝0，解得x＝－3，
所以点N的坐标为(－3，0)，故A正确；
因为点P是圆C上的动点，
所以点P到直线l的最大距离d＝2r＝2eq \r(5)，
又因为|MN|＝eq \r(（1＋3）2＋（2－0）2)＝2eq \r(5)，所以△MNP的面积最大值为eq \f(|MN|·d,2)＝10，故B正确；
因为直线l：x－2y＋3＝0与直线ax－y＋1＝0垂直，
所以eq \f(1,2)a＝－1，解得a＝－2，故C错误；
当直线lNP与圆C相切时，锐角∠MNP最大，即tan ∠MNP最大，此时∠MNP＝2∠MNC，
因为tan ∠MNC＝eq \f(|MC|,|MN|)＝eq \f(\r(5),2\r(5))＝eq \f(1,2)，所以tan ∠MNP＝eq \f(2tan ∠MNC,1－tan2∠MNC)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq \f(4,3)，故D正确．
故选ABD.
答案：ABD