2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题2圆锥曲线的方程与几何性质小题考法2圆锥曲线的几何性质

这是一份2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题五解析几何微专题2圆锥曲线的方程与几何性质小题考法2圆锥曲线的几何性质，共5页。

A．eq \f(\r(10－2\r(5)),2) B．eq \f(5－\r(5),2)
C．10－4eq \r(5) D．eq \r(10－4\r(5))
(2)(多选题)(2023·广州天河区三模)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：y2＝x上不同于原点O的两点，点F是抛物线C的焦点，点M是线段AB的中点，则( )
A．C的准线为y＝－eq \f(1,4)
B．当直线AB的斜率k存在时，k＝eq \f(1,y1＋y2)
C．当A，B，F三点共线时，|AB|＝x1＋x2＋eq \f(1,2)
D．当直线AB过点(1，0)时，|OM|＝eq \f(1,2)|AB|
解析：(1)由y＝2x＋eq \f(1,x)的两条渐近线分别为y＝2x，x＝0，
所以该函数对应的双曲线焦点在y＝2x，x＝0夹角(锐角)的角平分线l上，
设l：y＝kx且k>2，若α，β分别是y＝kx，y＝2x的倾斜角，故tan α＝k，tan β＝2，
故α－β为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，
由tan (α－β)＝tan (eq \f(π,2)－α)＝eq \f(1,tan α)，即tan (α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(k－2,1＋2k)＝eq \f(1,k)，
整理得k2－4k－1＝0，可得k＝2＋eq \r(5)(负值舍去)，
所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C一条渐近线斜率为eq \f(b,a)＝eq \f(1,2＋\r(5))＝eq \r(5)－2，
故e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋（9－4\r(5)）)＝eq \r(10－4\r(5)).
故选D.
(2)抛物线C：y2＝x的焦点F(eq \f(1,4)，0)，
准线方程为x＝－eq \f(1,4)，故A错误；
A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C：y2＝x的点，可得yeq \\al(2,1)＝x1，yeq \\al(2,2)＝x2，可得yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝x1－x2，
可得k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(1,y1＋y2)，所以B正确；
由抛物线的定义可得，过焦点F的弦AB的长为x1＋x2＋p＝x1＋x2＋eq \f(1,2)，故C正确；
设直线AB的方程为x＝my＋1，
与抛物线的方程联立可得y2－my－1＝0，可得m2＋4>0，
y1＋y2＝m，y1y2＝－1，
x1x2＝(y1y2)2＝1，
可得x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝m2＋2，
|AB|＝eq \r(1＋\f(1,m2))·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝eq \r(\f(1＋m2,m2))·eq \r(（m2＋2）2－4)＝eq \r(（m2＋1）（m2＋4）)，
|OM|＝eq \r(（\f(x1＋x2,2)）2＋（\f(y1＋y2,2)）2)＝eq \f(1,2)eq \r(（m2＋2）2＋m2)≠eq \f(1,2)|AB|，故D不正确．
故选BC.
答案：(1)D (2)BC
1．分析圆锥曲线参数之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键．
2．确定椭圆和双曲线的离心率的值或者范围，其关键就是建立一个参数之间的方程或不等式，然后利用参数之间的确定关系化简求解．
3．熟练记忆圆锥曲线中的常见二级结论常常事半功倍，但需要注意这些结论的适用条件．
1．(2023·湖北模拟)已知F1，F2分别是双曲线Γ：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，eq \(CB,\s\up6(→))＝3eq \(F2A,\s\up6(→))，BF2平分∠F1BC，则双曲线Γ的离心率为( )
A.eq \r(7) B.eq \r(5) C.eq \r(3) D.eq \r(2)
解析：因为eq \(CB,\s\up6(→))＝3eq \(F2A,\s\up6(→))，所以△F1AF2∽△F1BC，
设|F1F2|＝2c，则|F2C|＝4c，
设|AF1|＝t，则|BF1|＝3t，|AB|＝2t，
因为BF2平分∠F1BC，由角平分线定理可知，eq \f(|BF1|,|BC|)＝eq \f(|F1F2|,|F2C|)＝eq \f(2c,4c)＝eq \f(1,2)，
所以|BC|＝2|BF1|＝6t，所以|AF2|＝eq \f(1,3)|BC|＝2t，
由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，即2t－t＝2a，t＝2a， ①
又由|BF1|－|BF2|＝2a得|BF2|＝3t－2a＝2t，
所以|BF2|＝|AB|＝|AF2|＝2t，即△ABF2是等边三角形，
所以∠F2BC＝∠ABF2＝60°，
在△F1BF2中，由余弦定理知
cs ∠F1BF2＝eq \f(|BF1|2＋|BF2|2－|F1F2|2,2·|BF1|·|BF2|)，
即eq \f(1,2)＝eq \f(4t2＋9t2－4c2,2·2t·3t)，化简得7t2＝4c2，
把①代入上式得e＝eq \f(c,a)＝eq \r(7)，所以离心率为eq \r(7).
故选A.
答案：A
2．(多选题)(2023·湛江一模)已知F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A(x1，y1)为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点B(x2，0)，则下列结论正确的有( )
A．0B．∠F1AB＝∠F2AB
C．x1x2＝ab
D．若cs ∠F1AF2＝eq \f(1,3)，且eq \(F1B,\s\up6(→))＝3eq \(BF2,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率e＝2
解析：对于C，eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，则y＝eq \r(\f(b2,a2)x2－b2)(x>a)，
则y′＝eq \f(\f(b2,a2)x,\r(\f(b2,a2)x2－b2))，
则在点A(x1，y1)处的切线斜率为y′＝eq \f(\f(b2,a2)x1,\r(\f(b2,a2)xeq \\al(2,1)－b2))＝eq \f(b2x1,a2y1)，所以在点A(x1，y1)处的切线方程为y－y1＝eq \f(b2x1,a2y1)(x－x1)，
又eq \f(xeq \\al(2,1),a2)－eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，则切线方程为eq \f(x1x,a2)－eq \f(y1y,b2)＝1，
所以eq \f(x1x2,a2)－eq \f(y1×0,b2)＝1，即x1x2＝a2，故C错误；
对于A，由x1x2＝a2得x2＝eq \f(a2,x1)，又x1>a，则0对于B，因为F1(－c，0)，F2(c，0)，B(eq \f(a2,x1)，0)，
所以|F1B|＝eq \f(a2,x1)＋c，|BF2|＝c－eq \f(a2,x1)，
所以eq \f(|F1B|,|BF2|)＝eq \f(\f(a2,x1)＋c,c－\f(a2,x1))＝eq \f(cx1＋a2,cx1－a2)，
由eq \f(xeq \\al(2,1),a2)－eq \f(yeq \\al(2,1),b2)＝1得yeq \\al(2,1)＝eq \f(b2xeq \\al(2,1),a2)－b2，
所以|AF1|＝eq \r(（x1＋c）2＋yeq \\al(2,1))＝eq \r(（x1＋c）2＋\f(b2xeq \\al(2,1),a2)－b2)＝eq \r(\f(c2,a2)xeq \\al(2,1)＋2cx1＋a2)＝eq \f(c,a)x1＋a，
所以|AF2|＝|AF1|－2a＝eq \f(c,a)x1－a，
所以eq \f(|AF1|,|AF2|)＝eq \f(\f(c,a)x1＋a,\f(c,a)x1－a)＝eq \f(cx1＋a2,cx1－a2)＝eq \f(|F1B|,|BF2|)，
设点A到x轴的距离为h，则S△AF1B＝eq \f(1,2)|F1B|h＝eq \f(1,2)|AF1||AB|sin ∠F1AB，
S△AF2B＝eq \f(1,2)|F2B|h＝eq \f(1,2)|AF2||AB|sin ∠F2AB，
eq \f(S△AF1B,S△AF2B)＝eq \f(|F1B|,|F2B|)＝eq \f(|AF1|sin ∠F1AB,|AF2|sin ∠F2AB)，
又eq \f(|AF1|,|AF2|)＝eq \f(|F1B|,|BF2|)，则∠F1AB＝∠F2AB，故B正确；
对于D，eq \(F1B,\s\up6(→))＝(eq \f(a2,x1)＋c，0)，eq \(BF2,\s\up6(→))＝(c－eq \f(a2,x1)，0)，
因为eq \(F1B,\s\up6(→))＝3eq \(BF2,\s\up6(→))，即eq \f(a2,x1)＋c＝3(c－eq \f(a2,x1))，
所以x1＝eq \f(2a2,c)，|AF1|＝eq \f(c,a)x1＋a＝eq \f(c,a)×eq \f(2a2,c)＋a＝3a，
|AF2|＝eq \f(c,a)x1－a＝eq \f(c,a)×eq \f(2a2,c)－a＝a，
所以cs ∠F1AF2＝eq \f(|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2,2×|AF1|×|AF2|)＝eq \f(9a2＋a2－4c2,6a2)＝eq \f(5,3)－eq \f(2,3)e2＝eq \f(1,3)，解得e＝eq \r(2)，故D错误．
故选AB.
答案：AB